材料力学学习指导与试题(附各章试题)

王奥运

土木工程（10）班

材料力学学习指导与练习

第一章 绪论

1.1预备知识

一、基本概念 1、 构件

工程中遇到的各种建筑物或机械是由若干部件(零件)组成的。这些部件(零件)称为构件，根据其几何特征可分为：杆件、板、块体和薄壁杆件等。其中杆件是本课程的研究对象。 2、 承载能力

要保证建筑物或机械安全地工作，其组成的构件需安全地工作，即要有足够的承受载荷的能力，这种承受载荷的能力简称承载能力。在材料力学中，构件承载能力分为三个方面： (1) 强度：构件抵抗破坏的能力。 (2) 刚度：构件抵抗变形的能力。

(3) 稳定性：构件保持原有平衡形式的能力。 3、 材料力学的任务

在保证构件既安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件的设计提供理论依据和计算方法。而且，还在基本概念、理论和方法等方面，为结构力学、弹性力学、钢筋混凝土、钢结构等后续课程提供基础。 4、 变形固体的基本假设

建筑物、机械等的各种构件都是由各种固体材料制成的，在载荷的作用下都会发生尺寸和形状的变化，因此在材料力学研究的构件都是变形固体。而且为了简化计算，对变形固体作了如下假设： (1) 连续性假设

即认为物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质。 (2) 均匀性假设

即认为扬物体在其整个体积内材料的结构和性质相同。 (3) 各向同性假没

即认为物体在各个方向具有相同的性质。 5、 内力、截面法和应力

(1) 材料力学研究的内力是外部因素(载荷作用、温度变化、支座沉降等)引起构件不同部分

之间相互作用力的变化。

(2) 用假想截面将构件截开为两部分，取其中任一部分利用静力平衡方程求解截面上内力的

方法称为截面法，是材料力学求解内力的基本方法。

(3) 内力的面积分布集度称为应力，单位是：N/m(Pa)、MN/m(MPa)。应力是一个矢量，垂

直于截面的分量称为正应力，用表示；切于截面的分量称为剪应力，同表示。 6、 变形、位移及应变

(1) 构件在外力作用下会发生尺寸和形状的改变，称为变形。

(2) 变形会使构件上各点、各线和各面的空间位置发生移动，称为位移。构件内某一点的原

来位置到其新位置所连直线的距离，称为该点的线位移；构件内某一直线段或某一平面在构件变形时所旋转的角度，称为该线或该面的角位移。

(3) 描述材料变形剧烈程度的物理量称为应变，通常可区分为线应变和切应变，都是无量纲

量。

7、 杆件变形的基本形式 (1) 轴向拉伸或压缩 (2) 剪切 (3) 扭转 (4) 弯曲

二、重点与难点 1、变形固体

材料力学研究的对象是变形固体，而理论力学研究的对象是刚体，因此在引用理论力学中的一些基本原理时须特别小心。 2、小变形

材料力学把实际构件看作均匀连续和各向同性的变形固体，并主要研究弹性范围内的小变形情况。由于构件的变形和构件的原始尺寸相比非常微小，通常在研究构件的平衡时，仍按构件的原始尺寸进行计算。 3、内力与应力

材料力学研究的是外力引起的内力，内力与构件的强度、刚度密切相关。截面法是材料力学的最基本的方法。应力反映内力的分布集度。 4、位移与应变

材料力学研究的是变形引起的位移，应变反映一点附近的变形情况。线应变和切应变是度量一点处变形程度的两个基本量。

三、 课程的地位及学好本课程的关键

1、课程的地位和作用

材料力学是一门重要的专业基础课。本课程的基本概念、基本理论和基本方法等方面，为结构力学、弹性力学、钢筋混凝土、钢结构等后续课程提供基础。通过本课程的学习，可以培养学生具有初步的工程计算设计的素质。 2、 应注意的一些问题

理论力学课程中把物体抽象为质点或刚体，研究它们的平衡及运动规律，它们的理论基础是牛顿三大定律。

材料力学课程把物体视为弹性体，在弹性范围内，研究其变形和破坏规律，因此，理论力学中的原理在材料力学中并不都适用的，要加以具体分析，“力的可传性原理”就是一例。

1.2典型题解

一、问答题

1、为什么在理论力学课程中，可以把物体看作是刚体；但在材料力学课程中，却把构件看作是变形体？

答：两门课程研究内容不相同。在理论力学静力学课程中，主要是研究物体的平衡问题，而物体的变形对物体的平衡基本没有影响，为了简化计算，可以把物体看作刚体。但在材料力学课程中，主要是研究构件的强度、刚度和稳定性问题，而构件的刚度和稳定性都与构件的变形有关，所以在材料力学课程中必须把构件看作变形体 2、 为什么要对变形固体作连续性、均匀性和各向同性假没？

答：材料力学在推导公式，定理过程中用到连续函数这一数学工具，并且推导的公式，定理 在整个构件所有位置、所有方向都适用，这样就要求变形固体是连续的、均匀的和各向同性的。但实际上，变形固体从其物质结构而言是有空隙的，但这空隙的大小与构件的尺寸相比 极其微小，故假设固体内部是密实无空隙的，是连续的。同样，变形固体的结构和性质并非处处相同，也并非各个方向性质都相同，例如金属晶粒之间的交接处与晶粒内部的性质显然不同，每个晶粒在不同的方向有不同的性质，但材料力学研究的是宏观问题，变形固体中的点不是纯数学意义无大小的点，每一个点包含大量的金属晶粒，那么，点与点之间在统计角度而言是相同的，因此可以认为变形固体是均匀的和各向同性的。

3、 构件上的某一点、若任何方向都无应变，则该点无位移，试问这种说法是否正确？为什

么？

答：不正确。因为构件可以发生刚体位移。

4、 一等直杆如图1.1所示，在外力F作用下，_________。 (A) 截面a的轴力最大 (B) 截面b的轴力最大

(C) 截面c的轴力最大 (D) 三个截面上的轴力一样大 答：正确答案为D

1.3 练习题

一、选择题

1、根据均匀性假设，可认为构件的( ) 在各处相同。 (A)应力 (B) 应变 (C)材料的弹性系数 (D) 位移

2、构件的强度是指( )，刚度是指( )，稳定性指( )。

(A)在外力作用下构件抵抗变形的能力 (B) 在外力作用下构件保持原有平衡态的能力 (C) 在外力作用下构件抵抗破坏的能力 二、是非判断题

1、因为构件是变形固体，在研究构件平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。( ) 2、外力就是构件所承受的载荷。( )

3、用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。( ) 4、应力是横截面上的平均内力。( )

5、杆件的基本变形只是拉(压)、剪、扭和弯四种，如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。( )

6、材料力学只限于研究等截面杆。( )

第二章

2.1预备知识

一、基本概念

1、 轴向拉伸与压缩

承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。 2、 轴力和轴力图

轴向拉压杆的内力称为轴力，用符号FN表示。当FN的方向与截面外向法线方向一致时，规定为正，反之为负。求轴力时仍然采用截面法。

求内力时，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。如果结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。设正法在以后求其他内力时还要到。

为了形象的表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”。作法是：以杆的左端为坐标原点，取χ轴为横坐标轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。 3、 横截面上的应力

根据圣维南(Saint-Venant)原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有

??N A正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负。 4、 斜截面上的应力

与横截面成?角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力?的关系为：

???1?cos2???????2 ?????sin2???2??角的符号规则：杆轴线x轴逆时针转到?截面的外法线时，?为正值；反之为负。

切应力的符号规则：截面外法线顺时针转发900后，其方向和切应力相同时，该切应力

为正值；反之为负值。

当?=00时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。当?=±450时，切应力达到极值。

5、轴向拉伸与压缩时的变形计算与虎克定律

（1） 等直杆受轴向拉力F作用，杆的原长为l，面积为A，变形后杆长由l变为l+?l，则杆的轴向伸长为

?l?用内力表示为

Fl EA?l?FNl EA上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。

用应力与应变表示的虎克定律为 ??E?

2

（2） 在弹性范围内，杆件的横向应变ε和轴向应变ε有如下的关系；

?·?－??

式中的μ称为泊松（Poisson）比（横向变形系数）。

6、材料在拉伸和压缩时的力学性质 6.1 低碳钢在拉伸时的力学性质： （1）低碳钢应力-应变曲线分为四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段。 （2）低碳钢在拉伸时的三个现象：屈服（或流动）现象，颈缩现象和冷作硬化现象。 （3）低碳钢在拉伸时的特点（图2—1）：

a.比例极限ζp：应力应变成比例的最大应力。

b.弹性极限ζe：材料只产生弹性变形的最大应力。 c.屈服极限ζs：屈服阶段相应的应力。

d.强度极限ζb：材料能承受的最大应力。 （4）低碳钢在拉伸时的两个塑性指标：延伸率δ δ=

l1?l?100% l 工程上通常将δ?5%的材料称为塑性材料，将δ?5％的材料称为脆性材料。 断面收缩率? ?=

A?A1?100% A6.2 工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%残余应变时所对应的应力值作为屈服极限，以?0。2表示，称为名义屈服极限。

6.3 灰铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低。 6.4 材料在压缩时的力学性质：

（1）低碳钢压缩时弹性模量E和屈服极限ζS与拉伸时相同，不存在抗压强度极限。 （2）灰铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高得多，是良好的耐压、减震材料。

6.5 破坏应力：塑性材料以屈服极限 ζS（或ζ0.2）为其破坏应力；脆性材料以强度极限ζb为其破坏应力。7、强度条件和安全系数

材料丧失工作能力时的应力，称为危险应力，设以ζ0表示。对于塑性材料，?0

??s

对于脆性材料，?0??b

为了保证构件有足够的强度，它在荷载作用下所引起的应力（称为工作应力）的最大值应低于危险应力，考虑到在设计计算时的一些近似因素，如

（1）荷载值的确定是近似的；

（2）计算简图不能精确地符合实际构件的工作情况；

（3）实际材料的均匀性不能完全符合计算时所作的理想均匀假设；

（4）公式和理论都是在一定的假设上建立起来的，所以有一定的近似性；

（5）结构在使用过程中偶而会遇到超载的情况，即受到的荷载超过设计时所规定的标准荷载。

所以，为了安全起见，应把危险应力打一折扣，即除以一个大于1的系数，以n表示，称为安全因数，所得结果称为许应力，即?????0n (2—14）

对于塑性材料，应为

?????S （2—15）

nS对于脆性材料，应为

?????bsnbc （2—16）

式中ns和nbc分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。

8、简单拉压超静定问题

超静定结构的特点是结构存在多余约束，未知力的数目比能列的平衡方程数目要多，仅仅根据平衡条件不能求出全部未知力，必须根据变形和物理条件列出与多余约束数相同的补充方程；这类问题称之超静定问题。多余约束数目，称之为超静定次数。多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要求又是必须的，从这层意义上讲，不是多余的。 求解超静定问题的步骤：

(1) 根据约束性质，正确分析约束力，确定超静定次数 (2) 列出全部独立的平衡方程

(3) 解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关系，列出变形协调方程

(4) 将物理关系式代入变形协调方程，得到充方程，将其与平衡方程联立，求出全部未 知力。

拉压超静定问题大致有三类： a. 桁架系统 b. 装配应力 c. 温度应力

二、重点与难点

1、拉压杆的强度条件和三种强度向题。

2、低碳拉伸实验和材料力学参数的意义及作用。 3、超静定问题的求解

(1) 解超静定问题的关键是列出正确的变形几何条件

(2) 在列出变形几何条件时，注意所假设的杆件变形应是杆件可能发生的变形。同时，假设的内力符号应和变形一致。

三、解题方法要点

2.2典型题解

一、计算题

1、 变截面杆受力如图，P=20kN。A1=400mm2，A2=300mm2，A3=200mm2。材料的E=200GPa。

试求：(1)绘出杆的轴力图；(2) 计算杆内各段横截面上的正应力；(3)计算A端的位移。

50kN 30kN 10kN

300mm 400mm 400mm

解：(1)杆的轴力图如图所示，各段的轴力

N1??10kN，N2??40kN，N3?10kN

FN

10kN 10kN 40kN (2) 各段横截面上的正应力为

N1?10?103?1????2.5?107Pa??25MPa ?6A1400?10N2?40?1037?2????13.3?10Pa??133MPa ?6A2300?10N310?103?3???5?107Pa?50MPa ?6A3200?10

（3）A端的位移为

N1l1N2l2N3l3?10?103?0.3SA??l1??l2??l3????EA1EA2EA3200?109?400?10?6??40?10?0.410?10?0.4?4???2.04?10m??0.204mm9?69?6200?10?300?10200?10?200?1033

二、计算题

图示三角托架，AC为刚性梁，BD为斜撑杆，问斜撑杆与梁之间夹角应为多少时斜撑杆重量为最轻？

L A θ B C F D

解：BD斜杆受压力为FBD，由平衡方程

?MA?0FBD?sin??h?ctg??F?L?0得：FBD?

F?L

h?cos?为了满足强度条件，BD杆的横截面面积A应为

A?FBDF?L ?[?]h?[?]?cos?BD杆的体积应为

V?A?LBD?显然，当??F?Lh2?F?L??

h?[?]?cos?sin?[?]?sin2?时，V最小，亦即重量最轻。

?4

三、计算题

图所示拉杆由两段胶合而成，胶合面为斜截面m-m。其强度由胶合面的胶结强度控制，胶合面的许用拉应力[?]?62MPa，许用切应力[?]?38MPa，拉杆的横截面面积A?500mm。试求最大拉力的数值。

解：拉杆的横截面的应力

2??NF? AA斜截面正应力强度条件：

????2(1?cos2?)?F(1?cos2?)?[?] 2A拉力F应满足

F?A?[?]500?10?6?62?106??41.33kN cos2?cos2300斜截面切应力强度条件：

????2sin2??Fsin2??[?] 2A拉力F也应满足

2?A?[?]2?500?10?6?38?106F???43.88kN

sin2?sin600所以最大拉力 Fmax?41.33kN

四、计算题

图示为埋入土中深度为l的一根等截面桩，在顶部承受载荷F。选荷载完全由沿着桩周摩擦力fs所平衡，fs按线性分布，如图所示。试确定桩的总压缩量，以F，L，E，A表示。

F y f2=ky dy fs y L dy y f2 dy O 解：(1) 求常数k。桩周微段dy上的摩擦力 dFs?fsdy?kydy 整条桩的摩擦力为

Fs?dFs?由平衡条件可知

??L0kL2kydy?

2kL2 F?Fs?

2即 k?2F L2y (2) 确定桩的总压缩量。由图可知，桩任意截面上的轴力为 FN(y)?其中，微段dy的压缩量为 d(?L)?所以桩的总压缩量为 ?L??0ky2ykydy??()2F

2LFN(y)dy EA?L0d(?L)??L0LFN(y)dyFFL2??ydy? 20EA3EAEAL 讨论 应用胡克定律求轴向拉压杆件的变形时，在L长度内的轴力FN和截面积A都

应为常数，如其不然，则应先求出微段内的变形，然后在全杆长度积分。在解本题中，就应用了这种方法。另外，由于杆上的分布力是按线性规律变化，它们的合力也要用积分法求出。

五、图示一结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2。试求杆EC和FD的内力。

h C A C`a FAy A FN1 a FN2 B F

解：结构为一次超静定，可从下列三个方面来分析。

(1)静力方面 取隔离体如图，设两杆的轴力分别为FN1和FN2。欲求这两个未知力，有效的平衡方程只有一个，即

?MA?0,D D` B F

a FAx FN1?a?FN2?2a?F?3a?0 (1)

(2) 几何方面 刚性杆AB在力F作用下，将绕A点顺时针转动，由此，杆EC和FD产生伸长。由于是小变形，可认为C、D两点铅垂向下移动到C`和D`点。设杆EC的伸长为CC`=Δ1，FD的伸长为DD`=Δ2，由图可知，它们有几何关系：

?11? (2) ?22这就是变形谐调方程或变形条件。 (3)物理方程 根据胡克定律，有 ?1?这是物理方程。

将式(3)代入式(2)，得

2FN1hFh,?2?N2 (3)

E1A1E2A2FN1FN2 (4) ?EA1EA2将方程(4)和方程(1)联立求解，即得

FN1?

3E1A1FE1A1?4E2A26E1A1FE1A1?4E2A2

FN2?结果表明，对于超静定结构，各杆内力的大小与各杆的刚度成比例。

2.3 练习题

一、概念题

1、选择题

(1)现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是( )

A 1杆为钢，2杆为铸铁 B 1杆为铸铁，2杆为钢 C 2杆均为钢 D 2杆均为铸铁

1 A 2 B

C

(2)桁架受力和选材分别如图A、B、C、D，从材料力学观点看，图( )较为合理。

P

钢 P

铸铁 铸铁 （A） 钢 （B）

钢 铸铁 铸铁 (C)

P 钢 P (D)

(3)轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确的说法应是( ) A 1-1、2-2面上应力皆均匀分布

B 1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布 C 1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布 D 1-1、2-2面上应力皆非均匀分布

1 2 P P 1 2

(4)图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( ) A 平动 B 转动 C 不动

D 平动加转动

F

(5)有A、B、C三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图所示，曲线( )材料的弹性模量E大，曲线( )材料的强度高，曲线( )材料的塑性好。

ζ A B C ε

(6) 材料经过冷作硬化后，其( )。 A 弹性模量提高，塑性降低 B 弹性模量降低，塑性提高 C 比例极限提高，塑性提高 D 比例极限提高，塑性降低

2、是非判断题

二、计算题

1、图为变截面圆钢杆ABCD，己知P1=20kN，P2=P3=35kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，求杆的最大最小应力。

D 3 C P3 2 P2 l2 l1 B A 1 P1

O l3

2、己知变截面杆，1段为d1=20mm的圆形截面，2段为a2=25mm的正方形截面，3

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