8.4列联表独立性分析案例1

湘教版列联表独立性分析案例

8.4列联表独立性 列联表独立性 分析案例1( 分析案例 (一)高二数学 选修2-32011-6-30 郑平正 制作

第三章

统计案例

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在许多实际问题中，我们需要考察两种因素的关系。例如： 在许多实际问题中，我们需要考察两种因素的关系。例如： 数学解题能力是否与性别有关；高考升学率是否与补课有关。 数学解题能力是否与性别有关；高考升学率是否与补课有关。为 了分析这些问题，我们需要获取一些数据， 了分析这些问题，我们需要获取一些数据，并对数据进行分析处 对所得的结论作出判断。 理，对所得的结论作出判断。某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关， 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽 样调查， 个成年人， 样调查，共调查了 100 个成年人，其中吸烟者 54 人，不吸烟者 46 人，调查结果是：吸烟的 54 人中 39 人患病， 15 人不患病； 调查结果是： 人患病， 人不患病； 人患病， 人不患病。 不吸烟的 46 人中 21 人患病， 25 人不患病。

根据这些数据能否断定：患肺癌与吸烟有关吗？ 根据这些数据能否断定：患肺癌与吸烟有关吗？

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案例 患肺癌与吸烟是否有关？ 肺癌与吸烟的调查数据 患肺癌 吸烟 不吸烟 总计 未患肺癌 总计

n11 =39 n21 =21 n+1 =60

n12 =15 n22 =25 n+2 =40

n1+ =54 n2+ =46

n =100

分析： 吸烟的人在调查总人数中所占的百分比：54% 患肺癌的人在调查总人数中所占的百分比：60% 既吸烟又患肺癌的人在调查总人数中所占的百分比：39% 显然， × 60% ≠ 39%。 54% 我们有理由相信吸烟是与肺癌有关的。

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n11 n1+ n+1 若 ，则吸烟是与肺癌无关联，可以认为它们相 = n n n n1+ n+1 互独立。这个式子还可以改写为：n11 = .在吸烟与患肺癌 n n1+ n+1 问题中， ≈ 32.4<39 ,这说明既吸烟又患肺癌的人数比独 n立时要多，在这种情况下，吸烟会使患肺癌的人数增加。

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实际上，为了应用概率论得到统计量的近似的分布，统计学 家最终选用了：

n11 n1+ n+1 2 n12 n1+ n+2 2 ( ) ( ) n n + n n n χ 2 = n[ n n1+ n+1 n1+ n+2 n n n n n21 n+1 n2+ 2 n22 n2+ n+2 2 ) ( ) ( n n + n n n + n n+1 n2+ n2+ n+2 n n n n来衡量独立性的大小

n(n11n22 n12 n21 ) 2 2 可以化简为 χ = n1+ n2+ n+1n+2

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怎样描述实际观测值与估计值的差异呢？ 怎样描述实际观测值与估计值的差异呢？ 统计学中采用

( 观 测 值 预 期 值 )2 用 卡 方 统 计 量 :χ 2 = ∑ 预期值 来刻画实际观测值与估计值的差异.a+b a+c 2 a+b b+d 2 (a n × × ) (b n × × ) 2 n n n n k = + a+b a+c a+b b+d n× × n× × n n n n c+d a+c 2 c+d b+d 2 (c n × × ) (d n × × ) n n n n + + c

+d a+c c+d b+d n× × n× × n n n n

即

n(ad bc) 2 化简得 k 2 = (a + c)(b + d )(a + b)(c + d )

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独立性检验用χ2统计量研究 这类问题的方法 步骤

通过数据和图表分析， 通过数据和图表分析，得到 结论是： 结论是：吸烟与患病有关 结论的可靠 程度如何？ 程度如何？

第一步： 假设吸烟 患病之间没有关系 吸烟和 第一步：H0: 假设吸烟和患病之间没有关系 第二步：列出2×2列联表 第二步：列出2吸烟 不吸烟 总计 患病 a c a+c 不患病 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

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第三步：引入一个随机变量： 第三步：引入一个随机变量：卡方统计量

k =2

( a + b )( c + d )( a + c )( b + d )其中 n = a + b + c + d

n ( ad bc )

2

第四步：查对临界值表，作出判断。 第四步：查对临界值表，作出判断。P(χ2 ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 x0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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P(χ2 ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 x0

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

例如 0.1%把握认为A 99.9%把握认 0.1%把握认为A 99.9%把握认 把握认为 χ > 10.828 与B无关 为A与B有关 1%把握为 把握为A 1%把握为A与B 99%把握认 99%把握认 2 χ > 6.635 无关 为A与B有关 90%把握认 90%把握认 10%把握认为 10%把握认为 2 χ > 2.706 为A与B有关 A与B无关 没有充分的依据显示A 没有充分的依据显示A与B有关 2 χ < 2.706 但也不能显示A ,但也不能显示A与B无关2

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独立性检验 患病之间没有关系 解：H0: 吸烟和患病之间没有关系 患病 吸烟 不吸烟 总计 通过公式计算 39 21 60 不患病 15 25 40 总计 54 46 100

100 ( 39 × 25 15 × 21) χ = ≈ 7.307 54 × 46 × 60 × 402 2

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成立的情况下， 已知在 H 0 成立的情况下，

P ( χ ≥ 6.635) ≈ 0.0102

χ 2大于6.635概率非常 成立的情况下， 6.635概率非常 即在 H 0 成立的情况下， 大于6.635

小，近似为0.010 近似为0.0102

=7.307的观测值远大于6.635, 的观测值远大于6.635 现在的 χ =7.307的观测值远大于6.635,出 现这样的观测值的概率不超过0.010 0.010。 现这样的观测值的概率不超过0.010。 故有99%的把握认为H 不成立，即有99% 99%的把 故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把 99%的把握认为 握认为“患病与吸烟有关系” 握认为“患病与吸烟有关系”。

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500人身上试验某种血清预防感冒作用 人身上试验某种血清预防感冒作用， 例 1. 在 500 人身上试验某种血清预防感冒作用 ， 把他们 P(χ2 ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 一年中的感冒记录与另外500 500名未用血清的人的感冒记 一年中的感冒记录与另外 500 名未用血清的人的感冒记 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 录作比较

,结果如表所示。 录作比较，结果如表所示。问：该种血清能否起到预防 感冒的作用？ 感冒的作用？ 未感冒 感冒 合计 使用血清 未使用血清 合计 258 216 474 242 284 5262

500 500 1000

感冒与是否使用该血清没有关系。 解：设H0:感冒与是否使用该血清没有关系。

1000(258 × 284 242 × 216 ) 2 ≈ 7.075 χ = 474 × 526 × 500 × 500 因当H 成立时， 的概率约为0.01,故有 因当 0成立时，χ2≥6.635的概率约为 的概率约为 ，故有99%的把握认 的把握认 为该血清能起到预防感冒的作用。 为该血清能起到预防感冒的作用。

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例2:为研究不同的给药方式(口服与注射0.010 0.005 0.001 P(χ≥x为研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效 0.10 0.05 0.025 ) 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 果(有效与无效)是否有关，进行了相应的抽样调查， x0 有效与无效)是否有关，进行了相应的抽样调查， 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 调查的结果列在表中，根据所选择的193 193个病人的数 调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数 能否作出药的效果和给药方式有关的结论？ 据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？ 口服 注射 合计χ2 =

有效 58 64 122

无效 40 31 712

合计 98 95 193

药的效果与给药方式没有关系。 解：设H0:药的效果与给药方式没有关系。

193(58 × 31 64 × 40 ) ≈ 1.3896 <2.072 122 × 71 × 98 × 95 因当H 成立时， 的概率大于15%,故不能否定假设 因当 0成立时，χ2≥1.3896的概率大于 的概率大于 ， H0,即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。 即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。

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例3:气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人 ：气管炎是一种常见的呼吸道疾病， P(χ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比， 员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比， x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 所得数据如表所示， 它们的疗效有无差异？ 所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？ 复方江剪刀草 胆黄片 合计 有效 184 91 275 无效 61 9 702

合计 245 100 345

两种中草药的治疗效果没有差异。 解：设H0:两种中草药的治疗效果没有差异。

345(184 × 9 61 × 91) 2 ≈ 11.098 χ = 275 × 70 × 245 × 100

因当H 成立时， 的概率为0.001,故有 因当 0成立时，χ2≥10.828的概率为 的概率为 ，故有99.9%的把握 的把握 认为，两种药物的疗效有差异。 认为，两种药物的疗效有差异。

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课堂小结 1.在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关 系的一种统计方法。2.为使不同的样本容量的数据有统一

的评判标准，构造了一

n(n11n22 n12 n21 ) 2 2 个随机变量 χ = n1+ n2+ n+1n+2P(χ2 ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 x0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

作业 P87 习题 10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ete1.html