第02章 各向异性弹性力学基础

南航复合材料力学课件,第二章

第二章

各向异性 弹性力学基础

§2.1 各向异性弹性力学基本方程 §2.2 各向异性弹性体的本构关系 §2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数回总目录

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§2.1(1)

§2.1 各向异性弹性力学 基本方程各向异性弹性力学基本方程包括：1°工程应力方程 2°工程应变方程 3°平衡方程 4°几何关系方程 5°变形协调方程 6°物理方程

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工程应力

x xy xz yx y yz zx zy z

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工程应变

x yx zx

xy y zy

xz yz z

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几何关系方程

u x , x v y , y w z , z

yz zx xy

w v ; y z u w ; z x v u . x y

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变形协调方程 (1)6个应变分量是通过 3 个位移分量表示的，因此， 6 个应变分量不是互不相 关的，之间存在必然联系： (1)已知3个位移分量， 解唯一； (2)已知6个应变分量， 如何？方程个数超过未知 数个数，解不唯一。

x 2 2 y x x y2

2 y2

2 xy2

y2 2

z yz 2 2 z y y z2 2

z x xz 2 2 x z z x

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变形协调方程(2)意义：分割成无数个小 6 xz 面体，每个小单元体发 生变形。如果应变分量 x y 不满足协调方程，则变 xy 形后，不能将小单元体 拼合成连续体，产生小 y z 裂缝。为使变形后连续， yz 应变分量必须满足协调 方程。因此变形协调方 z x 程是保证物体连续的一 个必要条件。

yz 2 x 2 z x y z yz zx 2 y 2 x y z x zx xy 2 z 2 y z x y

xy

6个变形协调方程，其中只有3个独立。

对于单连通物体，变形协调方程也是保证物体连续的充分条件。

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平衡方程(物体内部的平衡条件)2 x xy xz u fx 2 x y z t 2 v yx y yz fy 2 y z t x 2 z w zy zx fz 2 y z t x

注：以上关系与各向同性体相同

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应力边界条件(物体边界部分的平衡条件)

fx = xl + yxm + zxn fy = xyl + ym + zyn fz = xzl + yzm + zn

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物理方程

(本构关系) Hooke 定理： x C 11 y C 21 z C 31 yz C 41 zx C 51 C 61

xy C 12 C 22 C 32 C 42 C 52 C 62 C 13 C 23 C 33 C 43 C 53 C 63 C 14 C 24 C 34 C 44 C 54 C 64 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 65 C 16 x C 26 y C 36 z C 46 yz C 56 zx C 66 xy

记作{ }=[C]{ }, [C]—刚度矩阵， 可以证明， [C]是对称矩阵，因此它只 有21个独立变量。如何证明？

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物理方程

同样，可用应力分量表示应变分量：

S [S]=[C]-1—柔度矩阵。

同样， [S]也是对称矩阵，它也有 21个独立变量。

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§2.2

§2.2 各向异性弹性体的 本构关系 2.2.1 具有一个弹性对称面的材料 2.2.2 正交各向异性材料 2.2.3 横观各向同性材料 2.2.4 各向同性材料

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§2.2

x 1 y 2 z 3 应力 yz 4 zx 5 xy 6

应变

yz zx xy

x 1 y 2 z 3 2 yz 4 2 zx 5 2 xy 6

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§2.2

1 1 应变势能密度为： W C 2 2 1 2

W C11 1 C12 1 2 C13 1 3 C14 1 4 C15 1 5 C16 1 6 2 1 2 C22 2 C23 2 3 C24 2 4 C25 2 5 C26 2 6 2 1 C33 32 C34 3 4 C35 3 5 C36 3 6 2 1 2 C44 4 C45 4 5 C46 4 6 2 1 C55 52 C56 5 6 2 1 2 C66 6 2

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2.2.1有一个弹性对称面的材料 如果物体内每一 点都有这样一个平面， 在此平面的对称点上 弹性性能相同，这样 的材料就具有一个弹 性对称面。弹性主轴 概念。 如取 xoy 坐标面与弹性对称面平行，取 A 与 A’ 为相互对称点，则它们的弹性性能相同。 即将z轴转到z’轴时，应力应变关系不变。

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2.2.1有一个弹性对称面的材料

此时：z=-z’,w=-w’,(新旧坐标系) w v w v yz ( ) yz 4 y z y z u w u w z x ( ) zx 5 z x z x

其余应变分量不变

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2.2.1有一个弹性对称面的材料

为保证W值不变,将含有 xz和 yz( 4与 5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立 变量。 C 11 C 12 C 13 C 0 0 C 16 C 12 C 13 C 22 C 23 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 16 C 26 C 36 13 0 0 C 66

C 44 C 45 C 45 C 55 0 0

C 26 C 36

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2.2.1 有一个弹性对称面的材料

同理： S11 S 12 S13 s 0 0 S16 S12 S 22 S 23 0 0 S 26 S13 S 23 S 33 0 0 S 36 0 0 0 S 44 S 45 0 0 0 0 S 45 S 55 0 S16 S 26 S 36 0 0 S 66

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2.2.2正交各向异性材

料

如果具有三个正交弹性对称面，则：

c11 c12 c13 0 0 0 c c c 0 0 0 12 22 23 c13 c23 c33 0 0 0 c 0 0 0 c 0 0 44 0 0 0 0 c55 0 0 0 0 0 0 c66

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2.2.2正交各向异性材料 S11 S12 S13 S 0 0 0 S12 S 22 S 23 0 0 0 S13 S 23 S 33 0 0 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 0 S 66

只有九个独立系数 重要性质，正剪无耦合

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2.2.3横观各向同性材料

各向同性面—在该平面内，各点的弹 性性能在各方向上相同。 假定：1,2,3都是弹性 主轴，1-2面是各向同性 面。 则：S11=S22, S13=S23, S44=S55, C11=C22,C13=C23, C44=C55

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