南京航空航天大学《高等工程应用数学》

例1.1.1A1?1???，易得limAn??0,2?，limAn??0,1?。因为limAn2k?1??0,2??,A2k??0,1??(k?1,2,?)n??n??n??k?k??? ??0,1??limAn??0,2?，?An?n?1不收敛。

n???定理1.2.1 设映射 f1:X?Y，f2:Y?Z，f3:Z?W，则有（1）f3?(f2?f1)?(f3?f2)?f1 ；（2） IB?f1?f1?IA?f1。

证明 显然，f3?(f2?f1)与(f3?f2)?f1都是X到W的映射。对任意x?X，有[f3?(f2?f1)](x)?f3[(f2?f1)(x)]?f3[f2(f1(x))] [(f3?f2)?f1](x)?(f3?f2)(f1(x))?f3[f2(f1(x))]因此，f3?(f2?f1)?(f3?f2)?f1。

?1定理1.2.2 设映射f:X?Y是可逆的，则f的逆映射f是唯一的。证明 设映射g:Y?X和h:Y?X均为f的逆映射，则f?g?IY，h?f?IX 。于是由定理1.2.1，有h?h?IY?h?(f?g)?(h?f)?g?IX?g?g

定理1.2.3 映射f:X?Y是可逆映射的充分必要条件为f是X到Y的双映射。证明1、必要性.设f:X?Y是可逆映射，

?1?1?1则存在映射f:Y?X。对任意x1,x2?X，如果f(x1)?f(x2)，则有(f?f)(x1)?(f?f)(x2)从而x1?x2 。因此f?1?1?1是X到Y的单映射。对任意y?Y，若f(y)?x?X，则f(x)?f(f(y))?(f?f)(y)?y。因此f是X到Y的满映射。于是，f是X到Y的双映射。2、充分性. 设f是X到Y的双映射，则对任意y?Y，存在惟一的x?X使得f(x)?y。定义映射g为g:Y?X， g(y)?x，则(f?g)(y)?f(g(y))?f(x)?y，即f?g?IY，并且对任意x?X，(g?f)(x)?g(f(x))?g(y)?x，即g?f?IX。由定义1.2.4知，g?f?1为f的逆映射。

m?mn?n例1.3.2 设Rm?n表示实数域上所有m?n矩阵的集合，对于A,B?Rm?n，如果存在可逆矩阵P?R,Q?R，使得 B?PAQ，则称矩阵A与B相抵。B?P?1AP，相似。B?PTAP，则称矩阵A与B相合。

定理1.3.1设R是集合A内的一个等价关系，a,b?A，则[a]?[b]当且仅当aRb。证明 设aRb。任取c?[a]，则cRa。由传递性得cRb，从而c?[b]。因此，[a]?[b]。由对称性得bRa，于是由刚才证得的结论有[b]?[a]。所以[a]?[b]。 反之，设[a]?[b]。因为a?[a]?[b]，所以aRb。

定理1.3.2 集合A上的每个等价关系R都决定A的一个分类。反之，集合A的每个分类都决定A上的一个等价关系。证明 如果R是A上的等价关系，则AR给出了A的一个分类。反过来如果{Bi}是A的一个分类，令R?{(x,y)|存在Bi(i?I)，使得x,y?Bi}则R是A上的一个等价关系。

定理1.4.1 (Zorn引理)设A是非空的偏序集，如果A的每个子序集都在A中有上界，则A必有极大元。证明 1、由Zorn公理知A有最大子序集B。由定理条件知B有上界b?A。2、下面证明b就是A的极大元。事实上，假设b不是A的极大元，则存在a?A使b?a,b?a，从而{a}?B也是A的子序集。显然a?B，即B是{a}?B的真子集，这与B是A的最大子序集矛盾。

AAA定理1.5.2 设A是一个非空集合，则A?2。证明 1、先证A?2，只需构造A?2的一个单映射f。?x?A，令f(x)??x??2A，?x?为单点集合，则f为A?2A的一个单映射，因此A?2A。2、再证A?2A，即不存在A?2A的

AA双映射。反证法。若存在双映射g:A?2，注意?x?A，g(x)?2，即g(x)为A的一个子集，构造A的子集

B??x|x?A,且x?g(x)??2A由于g是双映射，所以?y?A，使g(y)?B。不论y?B(?g(y))还是y?B(?g(y))，

A都与B的定义矛盾。因此不存在A?2的双映射。得证。 第二章 代数结构与线性空间

??定理2.1.2设A,B是两个非空集合，和?分别是A和B上的代数运算。如果A与B同态，则（1）若适合结合律，则?也

?适合结合律；（2）若适合交换律，则?也适合交换律。

定理2.2.2 设G是一个群，则对任意a,b,c?G，如果ab?ac或ba?ca，则b?c；（2）对任意a,b?G，方程ax?b与ya?b在G中都有唯一解。证明 （1）以ab?ac为例，由群G的定义，对任意a?G，存在a?1?G。用a?1左乘ab?ac?1?1?1?1?1两边得a(ab)?a(ac)则(aa)b?(aa)c即eb?ec其中e为G的单位元，所以b?c。（2）对a?G，有a?G。

?1?1?1?1于是ab?G，并且有a(ab)?(aa)b?eb?b。上式说明ab为方程ax?b在G中的解，即ax?b在G中有解。

?1设x1,x2都是方程ax?b在G中的解，则ax1?ax2由（1）得x1?x2。因此方程ax?b在G中有唯一解。同理可证ba为方程ya?b在G中的唯一解。

?1定理2.2.4 设H是群G的非空子集，则H是G的子群当且仅当对?a,b?H,有ab?H。证明1、必要性. 对?a,b?H，

?1?1由定理2.2.3（2）知，b?H，从而ab?H。2、充分性. 因为H非空，对?a?H，则e?a?a?1?H，即H有单位元e。

?1?1?1ab(?1)?1?H，即H对又因为e,a?H，所以a?e?a?H，即H中任意元素在H中有逆元。对?a,b?H，有b?H,ab?于G的运算封闭。显然，H对于G的运算满足结合律，故H是一个子群。 如果G1，G2是群G的两个子群，因为G1\\G22中没有单位元，所以G1\\G2不是G的子群。一般地，G1?G2未必是G的子群。例如，R按通常的向量加

22法构成一个加法群。记G???x?|x?R?,G???0?|y?R?，则G1，G2都是R的子群，但G1?G2不是R的子群。

????2????1??0????y??定理2.2.6 设G1，G2是群G两个子群，则它们的乘积G1G2是G的子群当且仅当G1G2?G2G1。证明 1、如果G1G2是G的

?1?1?1?1?1?1a2a，GG子群，对任意gi?Gi(i?1,2)，则gg，并且(g1g2)?G1G2。记(g1g则ai?Gi，g1g2?(a1a2)?a2a1?G2G1，2)12?12?1?11?G，且G1G2是G子群，则[(g2g1)?1]?1?g2g1?G1G2，从而G1G2?G2G1。另一方面，对g2g1?G2G1，由g1g2?(g2g1)?G12GG,yy?12，从而G2G1?G1G2。故，G1G2?G2G1。2、若GG对任意a,b?G1G2，记a?xx其中xi,yi?Gi(i?1,2)，12?21，12b?1?1?1则ab?x1(x2y2)y1?G1G2G1?G1G1G2?G1G2。由定理2.2.4知，G1G2是G子群。 定理2.2.8 整数加法群Z的每个子群H都是循环群，即H = {0}或H?span(m)，其中m是H中最小正整数。证明 若H = {0}，则结论显然成立。若H?{0}，则H中必有最小正整数m，从而span(m)?{km|k?Z}?H。另一方面，对任意h?H，

- 1 -

有h?qm?r，其中q,r?Z，并且0?r?m，则r?h?qm?H。因为m是H中最小正整数，则r?0，从而h?qm?span(m)，因此H?span(m)。于是，H?span(m)。

定理2.2.9 设G与G?是两个群，e与e?分别是G与G?的单位元，?是G到G?的一个同态映射，则（1）?(e)?e?；

?1?1（2）对任意a?G，?(a)?(?(a))。

定理2.2.10 设G与G?是两个群，?是G到G?的一个同态映射，则（1）Ker(?)是G的子群；（2）R(?)是G?的子群； （3）?是一个单映射当且仅当Ker(?)?{e}。证明 （1）由定理2.2.9知，Ker(?)非空。对任意a,b?Ker(?)，有

?1?1?1则?(ab)??(a)?(b)?e?e??e?，即ab?Ker(?)，由定理2.2.4知，Ker(?)?(a)??(b)?e?,?(b?1)?(?(b))?1?e?。

?1是G的子群。（2）由定理2.2.9知，R(?)非空。对任意a?,b??R(?)，存在a,b?G，使?(a因为ab?G，)?a,?(?)bb??。

?1?1?1由定理2.2.9有a?(b?)??(a)(?(b))??(ab)?R(?)。由定理2.2.4，R(?)是G?的子群。（3）若?是G到G?的一个单映射，则对任意a?Ker(?)，有?(a)??(e)?e?。因此a?e，即Ker(?)?{e}。反之，若Ker(?)?{e}，则任意a,b?G?1?1?1且a?b，有ab?e。故e???(e)??(ab)??(a)(?(b))，?(a)??(b)，即?是单映射。 定理2.2.12 设H是群G的一个子群，则（1）对?a?H，有|H|?|Ha|?|aH|；（2）|G/R|?|G/R?|。证明 （1）令

?1从而|H|?|Ha|。类似可证：（2）令?:Ha?aH,HaG?R/ ?:h?ha,h?H则?是H到Ha上的双映射，|H|?|aH|。

则?是G/R到G/R?的双映射，从而|G/R|?|G/R?|。定理2.2.13 设H是群G的子群，则|G|?|G/H|?|H|。证明 由 定理2.2.12（1）知，每一个右陪集Ha（左陪集aH）与H等势。因为G/R是G关于R商集，则G?a?G?Ha，故得证。

?1定理2.2.14 设N是群G的一个子群，则下列等价：1、N是G的正规子群；2、对任意a?G，都有aNa?N；3、对任

?1?1意a?G，都有aNa?N；4、对任意a?G，n?N，都有ana?N。证明 （1）?（2）因为N是G的正规子群，

?1?1?1则任意a?G，都有Na?aN，从而有aNa?(aN)a?N(aa)?Ne?N。（2）?（3）和（3）?（4）显然成立。（4）??1?1?1?1?1（1）设x?Na，则存在n?N使得x?na。由（4）有ana?an(a)?N,即存在n1?N，使ana?n1。因此有x?na?an1?aN，故Na?aN。反之，设y?aN，则存在n?N使得y?an。由（4）有ana?1?N，即存在n2?N，

?1使ana?n2。因此有y?an?n2a?Na，故aN?Na。故，对任意a?G有Na?aN，N是G的正规子群。

定理2.2.15 设N是群G的一个正规子群，在G/N上规定运算：(Na)(Nb)?N(ab),?Na,Nb?G/N，则G/N关于此运算构成一个群。证明 1、首先证明运算结果与两个陪集代表元的选取无关。事实上，对?Na,Nb,Na1,Nb1?G/N，如果Na?Na1,Nb?Nb1，即aa1?1,bb1?1?N，则存在n,n1?N，使得aa1?1?n,bb1?1?n1，从而(ab)(a1b1)?1?abb1?1a1?1?an1a1?1。因为N

?1?1?1N(ab)?N(a1b1)。是群G的正规子群，则存在n2?N，使得an1?n2a，于是(ab)(a1b1)?an1a1?n2aa1?n2n?N。因此，

2、对Na,Nb?G/N，由(Na)(Nb)?N(ab)知，(Na)(Nb)?G/N，且陪集间的乘法归结为陪集代表元乘法，所以结合

?1律成立。N?Ne?G/N是单位元，且对任意Na?G/N，则Na?GN是Na的逆元。得证。 定理2.2.16 设?是群G到群G?同态映射，则（1）Ker(?)是G正规子群；（2）G/Ker(?)与R(?)同构。证明（1）由定

?1?1?1理2.2.10，Ker(?)是G子群，且对任意a?G，n?Ker(?)，则由定理2.2.9，?(ana)??(a)?(n)?(a)??(a)e?(?(a))?e?，即ana?1?Ker(?)。得证。（2）记N?Ker(?)，令?:G/N?R(?),?(Na)??(a),?Na?G/N则?是G/N到R(?)?1?1?1?1的同构映射。事实上，若Na?Nb?G/N，则ab?N，?(a)(?(b))??(a)?(b)??(ab)?e?，从而?(a)??(b)。于是，?是G/N到R(?)的一个映射。因为?是G到R(?)的同态满映射，所以?是G/N到R(?)的一个满映射，且如果

?1则a从而?(ab)?e?，于是?(a)??(b)。则?是G/N到R(?)双映射。因为对任意Na,Nb?G/N，b?1?N，Na?Nb，

?(NaNb)??(Nab)??(ab)??(a)?(b)??(Na)?(Nb)，因此?是G/N到R(?)同构映射。

定理2.2.17 设A是一个非空集合，A上所有一一变换所作成一个变换群。证明 如果?1,?2是A上的一一变换，由定理1.2.4知，?2?1是A上的一一变换。由定理1.2.1知，A上的所有一一变换作成一个半群。A上的恒等变换I是单位元。设?是A

?1上的任意一个一一变换。由定理1.2.3知，存在A上的一个一一变换??1，使得???I。得证。 定理2.3.7 设S是域F的非空子集，则S是F的子域的充要条件1、S含非零的元素；2、有a?b?S；3、?a,b?S，?a,b?S，

?1b?0，有ab?S。证明 1、必要性显然成立。2、充分性。因为S??，由（2）知，S关于加法作成F的一个子加群。

?1由（1）知S至少含有两个元素。设e为F的单位元，对任意a,b?S，若a?0，b?0。由（3）知，aa?e?S，且eb?1?b?1?S，从而有a(b?1)?1?ab?S；若a，b中至少有一个为零元，则必有ab?S，故S对于F的乘法是封闭的。因此，S是域F的一个子环。由于S的所有非零元素对于F的乘法构成一个群，因此S是一个除环。又S是域F的子集，则S关于乘法适合交换律，所以S是F的子域。

定理2.3.8 设R和R?是两个环，并且R与R?同态，则1、R的零元的像是R?的零元；2、R中元素a的负元素的像是a的像的负元素；3、如果R是交换环，则R?也是交换环；4、如果R有单位元e，则R?也有单位元e?，并且e?是e的像。 证明1、因为环R与R?同态，则存在R到R?的一个同态满映射?。对任意a??R?，存在a?R，使得?(a)?a?。于是 a???(a)??(a?0)??(a)??(0)?a???(0)则R的零元0的像?(0)是R?的零元。2、对任意a?R，有

?(0)??(a?a)??(a?(?a))??(a)??(?a)因为?(0)是R?的零元，故有?(?a)???(a)。3、由定理2.1.2知，若R是交换环，则R?也是交换环。4、如果R有单位元e，则对任意a??R?，有a?R，使得?(a)?a?，故a???(a)??(a?e)??(a)??(e)?a???(e)，因此?(e)是R?的单位元。

定理2.3.4 设S是环R的非空子集，则S是R的子环的充分必要条件是对任意a,b?S，都有a?b?S，ab?S。 定理2.3.9 设R和R?是两个环，?是R到R?的同态映射，则（1）Ker(?)是R的子环；（2）R(?)是R?的子环；（3）

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Ker(?)?{0}的充分必要条件是?是R到R?的单映射。证明(1)显然Ker(?)是R的非空子集, 对任意a,b?Ker(?)，即

即a?由定理2.3.4知，Ker(?)?(ab)??(a)?(b)?0，bab,Ke?r(?)，?(a)?0，?(b)?0则?(a?b)??(a)??(b)?0，

是R的子环。（2）显然R(?)是R?的非空子集。设u,v?R(?)，则存在a,b?R，使得?(a)?u，?(b)?v从而

（3）1、u?v??(a)??(b)??(a?b)?R(?)，uv??(a)?(b)??(ab)?R(?)，由定理2.3.4知，R(?)是R?的子环。

必要性。设Ker(?)?{0}。对a,b?R，如果?(a)??(b)，则?(a)??(b)?0，即?(a?b)?0，于是a?b?Ker(?)，从而a?b?0，即a?b，所以?是单映射。2、充分性。如果?是环R到环R?的单映射，显然0?Ker(?)，则对任意a?R，a?0，有?(a)??(0)，于是a?Ker(?)，所以Ker(?)?{0}。

定理2.3.11 设R是的一个环，I是R的非空子集。则I是R的一个理想当且仅当（1）对任意a,b?I，都有a?b?I；（2）对任意a?I与任意r?R，都有ar?I，ra?I。

(i)(i?1,?,m)}，则I是R的一个理想。证明 对定理2.3.13 设R是一个环，对a1,?,am?R，令I?{s1???sm|si?spana????sm??I(si??span(ai))，由si?si??span(ai)(i?1,?,m)，有 任意a?s1???sm?I(si?span(ai))，b?s1?)???(sm?sm?)?I，且对任意r?R，由rsi,sir?span(ai)(i?1,?,m)，有ra?rs1???rsm?I，a?b?(s1?s1ar?s1r???smr?I。由定理2.3.11知，I是R的一个理想

定理2.3.14 整数环Z是主理想整环。证明 设I是Z的一个非零理想，m是I中的最小正整数，因为Z是整环，则span(m)?{qm|q?Z}?I。另一方面，对任意n?I，有带余除法有n?qm?r，其中q,r?Z且0?r?m，则r?n?qm?I，而m是I中的最小正整数，故r?0，即n?span(m)，从而I?span(m)。因此I?span(m)。 定理2.3.15 设I是环R的一个理想，在RI上规定运算：则RI(a?I)?(b?I)?(a?b)?I，(a?I)(b?I)?(ab)?I,?a,b?R，关于这两个运算构成一个环。证明 由定理2.2.15的证明可知，对任意a,b,c?R，如下法则(a?I)?(b?I)?(a?b)?I，

(a?I)(b?I)?(ab)?I，是RI上的两个运算，并且运算结果与两个陪集代表元的选取无关。由定理2.2.15知，RI对上述加法构成一个交换群，且([a][b])[c]?[ab][c]?[(ab)c]?[a(bc)]?[a][bc]?[a]([b][c])

[a]([b]?[c])?[a][b?c]?[a(b?c)]?[ab?ac]?[ab]?[ac]?[a][b]?[a][c]上述乘法构成一个半群，乘法对加法具有分配律。得证。 定理2.3.16 设?是环R到环R?的同态映射，则（1）Ker(?)是R的一个理想；（2）环RKer(?)与R(?)同构，即

RKer(?)?R(?)。证明 （1）由定理2.3.9知，Ker(?)是R的子环。对任意a?Ker(?)，即?(a)?0，对任意r?R，有?(ra)??(r)?(a)??(r)0?0，?(ar)??(a)?(r)?0?(r)?0，则ra,rb?Ker(?)。因此，Ker(?)是R的理想。（2）令?:R/Ker(?)?R(?),?([a])??(a),?[a]?R/Ker(?)，则?是RKer(?)到R(?)的同构映射。

事实上，对任意a,b?R，若[a]?[b]，则a?b?Ker(?)，?(a?b)??(a)??(b)?0，从而?(a)??(b)。于是?是RKer(?)到R(?)的一个映射。因为?是R到R(?)的同态满映射，所以?是RKer(?)到R(?)的一个满映射，且如果[a]?[b]，则a?b?Ker(?)，从而?(a?b)??(a)??(b)?0，于是?(a)??(b)。所以?是RKer(?)到R(?)的双映射。由于?([a]?[b])??([a?b])??(a?b)??(a)??(b)??([a])??([b])，?([a][b])??([ab])??(ab)??(a)?(b)??([a])?([b])，得证。

定理2.4.3 设V为域F上的线性空间，?1,?,?r与?1,?,?s是V中两个向量组。如果?1,?,?r可经?1,?,?s线性表示，并且r则向量组?1,?,?r线性相关。证明 因为向量组?1,?,?r可由向量组?1,?,?s线性表示，即?is ?s，

??aji?j，i?1,?,r，作线性组合

j?1x1?1???xr?r??xi?aji?j??i?1j?1rs?a11x1?a12x2???a1rxr?0(ajixi)?j。考虑齐次线性方程组??a21x1?a22x2???a2rxr?0，因为上述齐次线性方程组未知数

?j?1i?1?????as1x1?as2x2???asrxr?0s?rx1,?,xr的个数r大于方程的个数s，从而有非零解x1,?,xr，即存在不全为零的元素x1,?,xr，使得x1?1???xr?r?0。得证。

定理2.4.7 除了零空间{0}之外，域F上线性空间V 一定存在一组基。证明 设V是非零线性空间，V中线性无关向量所构成

?，则V?非空，并且V?按集合的包含关系“?”定义一个偏序集。若U?U??是V中线性无关子集的子集的全体记为V12?中任一子序集必有上界。由Zorn引理知，V?有极大元，即V有极一个子序集，则U??Ui仍为一个线性无关子集，故V大线性无关子集S，即S是线性无关的，但任意真包含S的子集一定不是线性无关的，于是S生成V。事实上，设若不然，必有向量??V\\S，则?不是S中向量的线性组合。于是，{?}?S是真包含S的线性无关子集，这与S是极大线性无关子集矛盾。因此，V的基存在。

定理2.4.8 设?1,?,?s与?1,?,?t是线性空间V中两个向量组，则(1)span(?1,?,?s)=span(?1,?,?t)当且仅当?1,?,?s与?1,?,?t等价；(2)dim(span(?1,?,?s))=rank(?1,?,?s)，并且span(?1,?,?s)的基是向量组?1,?,?s的一个极大

?j(j?1,?,t)san(?1,?,?s)=span(?1,?,?t)，线性无关组。证明 (1)1、若p则?i(i?1,?,s)可以由?1,?,?t线性表示；

可以由?1,?,?s线性表示。因此?1,?,?s与?1,?,?t等价。2、反过来，如果?1,?,?s与?1,?,?t等价，则可以由?1,?,?s线性表示的向量都可以由?1,?,?t线性表示；反之亦然。因而span(?1,?,?s)=span(?1,?,?t)。（2）设向量组?1,?,?s的秩是r，并且?1,?,?r(r?s)是?1,?,?s的一个极大线性无关组。因为?1,?,?s与?1,?,?r等价，所以

span(?1,?,?s)=span(?1,?,?r)。由定理4.2.1知span(?1,?,?r)的维数是r，并且?1,?,?r是span(?1,?,?r)一组基。

- 3 -

定理2.4.9 设V是域F上的有限维线性空间，W是V的子空间，则W?V当且仅当dim(W)?dim(V)。证明 必要性显然成立，下面证充分性。设dim(W)?n，?1,?,?n为W的一组基。因为?i?W?V，则?1,?,?n是V中线性无关向量组。

pan(?1,?,?n)?W，即V?W。因为dim(V)?dim(W)?n，所以?1,?,?n是V的一组基。于是对任意??V，有??s因此W?V。

定理2.4.11 设V1，V2是域F上线性空间V的两个子空间，则V1?V2是V的子空间。证明 因为0?V1?V2，所以V1?V2非空。对??,??V1?V2及?k?F，则???1+?2，???1+?2， ?1，?1?V1，?2，?2?V2于是

????(?1??1)?(?2??2),k??k?1?k?2由于V1，V2是V的子空间，所以?1??1?V1,?2??2?V2，k?1?V1,k?2?V2，从而????V1?V2，k??V1?V2。因此V1?V2是V的子空间。

定理2.4.12设V1，V2,V3是域F上线性空间V的子空间，则1、V1?V2=V2?V1，V1?V2=V2?V1；2、（V1?V2）?V3?V1?(V2?V3)，（V1?V2）+V3?V1?(V2?V3)；3、若V1?V3,V2?V3，则V1?V2?V3；4、若V3?V1,V3?V2，则V3?V1?V2；5、V1?V2?V1当且仅当V2?V1；6、V1?V2?V2当且仅当V2?V1；7、V1?V2?V1?V2当且仅当

（6）显然成立。（5）充分性显然成立。下面证必要性。对任意??V2，??V1，则V1?V2或V2?V1。证明 (1)－(4) ，

于是??(???)???V1，因此V2?V1。(7)由(5)即知充分性显然成立。下面用反证法证必要性。假设V1?V2????V1。

与V2?V1均不成立，则存在??V1,??V2，但??V2,??V1。令?????，则??V1?V2，但??V1,??V2，于是??V1?V2。从而V1?V2?V1?V2，这与条件矛盾。因此V1?V2或V2?V1。

21??0?。令V例2.4.9 在R中，e??1?1?0??,e2???1???????span(e1),V2?span(e2),V3?span(e1?e2)，则

V1?(V2?V3)?V1?R2?V1,(V1?V2)?(V1?V3)?{0}?{0}?{0}。 V2,V3是域F上线性空间V的子空间，定理2.4.13设V1，且V2?V1，则V1?(V2?V3)?V2?V1?V3。证明 因为V2?V1，

则V2?V1?V2?V1?(V2?V3)。而V1?V3?V1?(V2?V3)，于是V2?V1?V3?V1?(V2?V3)。对任意

??V1?(V2?V3)?V2?V3，则?2?V2,?3?V3，而?2??3???V1。因为V2?V1, 则?3????2?V1?V2?V1,从而?3?V1?V3,???2??3?V2?V1?V3,即V1?(V2?V3)?V2?V1?V3. 于是V1?(V2?V3)?V2?V1?V3。 定理2.4.14（维数公式）设V1，V2是域F上线性空间V的两个有限维子空间，则V1?V2与V1+V2都是有限维的，并且 dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1?V2)证明 因为V1是有限维的，而V1?V2是V1的子空间，所以V1?V2也是有限维的。设dim(V1)=n1，dim(V2)=n2，dim(V1?V2)?m。取V1?V2的一组基?1,?,?m，把它扩充成V1的一组基

?1,?,?m,?1,?,?n1?m，且把?1,?,?m也扩充成V2的一组基?1,?,?m,?1,?,?n2?m，则V1=span(?1,?,?m,?1,?,?n1?m)，

。考虑等式 V2=span(?1,?,?m,?1,?,?n2?m)且V1+V2=span(?1,?,?m,?1,?,?n1?m,?1,?,?n2?m）

k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m?q1?1???qn2?m?n2?m?0令 ??k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m =?q1?1???qn2?m?n2?m由第一个等式知??V1；而由第二个等式有??V2，于是??V1?V2。因此?可以由?1,?,?m线性表示，即??l1?1???lm?m，则l1?1???lm?m?q1?1???qn2?m?n2?m?0因为?1,?,?m,?1,?,?n2?m线性无关，则得l1???lm?q1???qn2?m?0，因而?=0。从而有k1?1???km?m?p1?1???pn1?m?n1?m?0由于?1,?,?m,?1,?,?n1?m线性无关，得k1???km?p1???pn1?m?0。这就证明了?1,?,?m,?1,?,?n1?m

,?1,?,?n2?m线性无关。由定理2.4.8知?1,?,?m,?1,?,?n1?m,?1,?,?n2?m是V1+V2的一组基，因此V1+V2是有限维的，且dim(V1+V2)=n1?n2?m。

定理2.4.15 设V1，V2是域F上线性空间V的两个子空间，则下面的叙述是等价的。（1）和V1+V2是直和；（2） 和V1+V2中零向量的表示法唯一，即若?1+?2=0（?1?V1，?2?V2），则?1=0且?2=0；（3）V1?V2={0}。证明（1）?（2）是显然的。（2）（3）任取??V1?V2，因为零向量可表示为0=?+（??），（2）得?=0。因此V1?V2={0}。???V1，???V2由

（3）?（1）若V1?V2={0}，设??V1+V2有两个分解式?=?1+?2=?1??2， ?1,?1?V1，?2,?2?V2

则?1??1=?(?2??2)，其中?1??1?V1，?2??2?V2，从而?1??1，?2??2?V1?V2。于是?1??1，?2??2，即向量?的分解式是唯一的。因此和V1+V2是直和。 ?定理2.4.16 设U是域F上有限维线性空间V的一个子空间，则存在V的一个子空间W使得V=U?W。证明 因为V是有限维的，不妨设dim(V)?n，则U也是有限维的。假定dim(U)?m，取U的一组基?1,?2,?,?m，把它扩充成V的一组

pan(?m?1,?,?n)，基?1,?2,?,?m,?m?1,?,?n。令W?s则W即满足要求。 定理2.4.20 设V与V?是域F上线性空间，

则V中向量组?1,?,?m线性相关当且仅当?(?1),?,?(?m)是V?中线性相关向量组；若V是n维，?为V到V?的同构映射，

?1,?,?n是V的一组基，则V?也是n维，并且?(?1),?,?(?n)是V?的一组基。

n定理2.4.22设V是域F上的n维线性空间，则V与F同构。证明 设?1,?2,?,?n是V的一组基。对V中任一向量?，

x?它可唯一地表示为??x1?1?x2?2???xn?n。令?:V?F， ??x1?1?x2?2???xn?n → x=??1?，则?是V到

?x2???????x??n?nFn上的双映射，并且?保持运算关系不变。事实上，对k?F及V中向量?，有??y1?1?y2?2???yn?n， ????(x1?y1)?1?(x2?y2)?2???(xn?yn)?n，k??kx1?1?kx2?2???kxn?n。因为

- 4 -

?(?)?x??x1?，???x2???????x??n??(?)??y1???，则?(??y?y??2?????y??n???)?x?y??(?)??(?)，?(k?)?kx?k?(?)，即?是V到Fn的

同构映射。因此，n维线性空间V与Fn同构。

定理2.4.23 域F上的两个有限维线性空间V与V?同构的充要条件是它们维数相同。证明必要性由定理2.4.20(2)即得。充分性。设dim(V)?dim(V?)?n。由定理2.4.22知，V与Fn同构，且V?与Fn同构。因为线性空间同构是等价关系，得证。

m?n定理2.4.24 若域F上n元非齐次线性方程组Ax?b,A?F,b?Fm有解，则它的解集合是一个线性流形?0?N(A)，其中?0是Ax?b的一个解，N(A)是A的零空间。证明 设线性方程组Ax?b的所有解组成的集合记为S，则

?0?N(A)?S。任取??S，则???0?N(A)。于是???0?(???0)??0?N(A)，所以S??0?N(A)。因此，S??0?N(A)。

??V/W，k?F，令???(??W)?(??W)?(???)?W， ?,????定理2.4.26 设W是域F上线性空间V的子空间，对???k(??W)?k??W，（1）k?（2）则V/W按上述加法与数量乘法构成数域P上的线性空间。证明（1）和（2）（结果

不依赖于代表元的选取。设???W???W,???W???W，则?????W,?????W。因为W是V的子空间， (?????)?(???)?(????)?(????)?W，k???k??k(????)?W，从而(?????)?W?(????)?W,k???W?k??W。 上式说明（2.4.1）和（2.4.2）定义了V/W上的加法与数量乘法，并且由定理2.4.25容易验证V/W按（1）和（2）定义的加法与数量乘法构成域F上的线性空间。

定理2.4.27 设W是域F上有限维线性空间V的子空间，则dim(V/W)?dim(V)?dim(W)。证明1、设dim(V)?n,dim(W)?m，?1,?,?m是W的一组基。把?1,?,?m扩充成V的一组基?1,?,?m,?m?1,?,?n。任取??W?V/W，设

??W?(x1?1?x2?2???xn?n)?W?(x1?1?W)???(xm?m?W)?(xm?1?m?1?W)???(xn?n?W)??x1?1?x2?2???xn?n，则。

?W???W?xm?1(?m?1?W)???xn(?n?W)?xm?1(?m?1?W)???xn(?n?W)这表明V/W中任一向量可经?m?1?W,?,?n?W线性表示。

2、下面证明?m?1?W,?,?n?W线性无关。现设km?1(?m?1?W)???kn(?n?W)?W，则

(km?1?m?1???kn?n)?W?W，从而km?1?m?1???kn?n?W。于是km?1?m?1???kn?n??k1?1???km?m， 即k1?1???km?m?km?1?m?1???kn?n?0。因为?1,?,?m,?m?1,?,?n线性无关，所以k1???km?km?1???kn?0，因此?m?1?W,?,?n?W线性无关，即?m?1?W,?,?n?W是V/W的一组基，则dim(V/W)?n?m?dim(V)?dim(W)。 定理2.5.8 环R上两个自由模同构当且仅当它们的维数相同。证明 设M与M?都是环R上的自由模。如果M与M?同构，则存在M到M?的同构映射?，从而?将M的基映射为M?的基。因为?是双映射，所以dim(M)?dim(M?)。反之，若dim(M)?dim(M?)，设B和B?分别为M和M?的基，因为B和B?的基数相同，则存在B到B?的一个双映射?。这个双映射可线性扩充为M到M?上的同构映射，故M与M?同构。

子模S也是一个陪集。证：设M是环R上的模，S是M的子模。在M上定义一个关系“～”：对任意?,??M，?~?当且仅当????S，则这个关系～是M中的一个等价关系。模M按等价关系～可构造商集M/~。因为等价关系～是由M

?表示包含的子模S确定的，所以将M/~称为模M对子模S的商集，记为M/S。此商集元素为等价关系～的等价类。用?????S?{???|??S}。通常称?可表示?元素?的等价类。类似于线性空间中商集的元素，对任意??M，包含元素?的等价类??，所以子模S也是一个陪集。 ??S为S在M中的一个陪集，于是M/S?{??S|??M}。因为S?0?S?0第三章 拓扑结构

定理3.1.2设X是一个非空集合，?是X的一簇子集。如果（1）X?（2）对B1,B2??，x?B1?B2，存在Bx??，B；

B??使得x?Bx?B1?B2，则??{A|存在?A??,使得A?上的拓扑，并且?是X上唯一一个以?为基的拓扑；B}是XB??A2）反之，如果?是X上某个拓扑的基，则?必满足条件（1）和（。证明 1、当?满足条件（1）和（2）时，则由定义3.1.1，

容易验证?是X上的一个拓扑。如果??也是X上的以?为基的一个拓扑，则对任意A???，A必是?中某些元素的并，从而A??。于是????。如果A??，则A是?中某些元素的并。因为????，从而A是??中某些元素的并，所以A???，

***B；又得????。因此????。2、反之，若已知X上的拓扑?，而?是?的基，则X??，从而X是?中元素的并，即X???B，x?B1B?B?X。另一方面，所以因此X?即?满足条件（1）。如果B1,B2??，B，?中所有元素都是X的子集，2*B??B??则B1?B2??，从而B1?B2是?中元素的并，于是存在一个Bx??，使得x?Bx?B1?B2，即?满足条件（2）。

ccA?X，定理3.1.4 设(X,?)是一个拓扑空间，则A为闭集当且仅当A?X\\A为开集。证明1、 如果A为闭集，任给x?A，

Vx?U，有x?A，从而x不是A的极限点。于是存在x的邻域U，使得U?A??。因为U是x的邻域，则存在Vx??，使x?cccccc从而A?Vx，即A是?中一簇开集的并，因此A是开集。2、反过来，如果A是开集，则对任意x?A，A就是x的

x?Ac一个开邻域，而Ac中没有A的点，从而x不是A的极限点，即A的极限点必不属于Ac，故A的极限点皆在A中，于是A

是闭集。

定理3.1.6 设(W,?W)为拓扑空间(X,?)的子拓扑空间，则（1）W的子集M是拓扑空间(W,?W)中的开集当且仅当存在X中的开集A，使得M?A?W；（2）W的子集V是拓扑空间(W,?W)中的闭集当且仅当存在X中的闭集B，使得V?B?W；

??????- 5 -

（3）如果?是X的拓扑基，则???B|B?A?W,A???为W的拓扑基；（4）设x?W?X，如果Ux为x在X中的邻域基，则Vx??V|V?U?W,U?Ux?为x在W中的邻域基。证明（ 1）由子拓扑空间的定义即得。设(X,?)为拓扑空间，W?X为非空子集，令?W??AW|AW?A?W,A???，称(W,?W)为(X,?)的子拓扑空间或拓扑子空间，并称?W为?诱导的拓扑。（2）由定理3.1.4知，V是W中的闭集当且仅当W\\V为W中的开集。由（1）可知W\\V为W中的开集当且仅当存在X中的开集A，使得W\\V?A?W。而A是X中的开集当且仅当存在X中的闭集B使A?X\\B，从而

（3）任给W的开集M，由（1）知，存W\\V?W?A?W?(X\\B)?(W?X)\\(W?B)?W\\(W?B)?W?B?V。

在X中的开集A，使M?A?W。因为?是X的拓扑基，则存在?1??使A?(W?Bi)。Bi，于是M?W?A?Bi??1Bi??1 因此，???B|B?A?W,A???为W的拓扑基。（4）其证明与（3）的证明类似。

定理3.1.7 设X，Y是两个拓扑空间，映射f:X?Y，则下列叙述等价：（1）f为X到Y的连续映射；（2）Y中的任何

?1闭集B的原像f(B)都是X中的闭集；（3）f在X中每一点都连续。证明 (1)?(2) 若f为X到Y的连续映射，则Y中

?1?1任何开集V的原像f(V)都是X中的开集。设B是Y中的闭集，则Y\\B为Y中的开集。于是f(Y\\B)为X中的开集。

?1?1?1?1?1容易证明：f(Y\\B)?f(Y)\\f(B)?X\\f(B)。所以f(B)为X中的闭集。完成类似可证(2)?(1)。(1)?3) 若f为X到Y的连续映射，则Y中任何开集V的原像f?1(V)都是X中的开集。对?x?X，设U为f(x)在Y中的一个邻域，

?1?1?1?1则存在Y中的一个开集V，使f(x)?V?U，因为f(V)是X中包含x的开集，且x?f(V)?f(U)，所以f(U)为x在X中的邻域，即f在x点连续。(3)?(1) 设V是Y中任一开集，则对?x?f?1(V)，有f(x)?V，从而V是f(x)的

?1?1?1?1邻域。因为f(x)在x连续，则f(V)为x的邻域，从而有开集Ux?f(V)，使x?Ux?f(V).于是f(V)?Ux，

?1?1x?f(V)即f(V)为X中的开集。

定理3.1.8 设X,Y,Z是拓扑空间，映射f:X?Y，g:Y?Z都是连续映射，则g?f:X?Z是连续映射。证明 对Z中

?1的任意开集V，因为g:Y?Z是连续映射，则g(V)是Y中的开集。又由于f:X?Y是连续映射，则f?1[g?1(V)]?(g?f)?1(V)是X中的开集，从而g?f:X?Z是连续映射。 定理3.1.9 设X为拓扑空间，则下列等价：（1）X为不连通空间；（2）存在X中的非空开集A,B，使A?B??,A?B?X；（3）X中存在既开又闭的非空真子集。证明(1)?(2) 设X不连通，则存在非空闭集A,B，使A?B??,A?B?X。令

??B??B?,B??X\\A?Ac，B??Ac?Bc?(A?B)c??,A??Ac?Bc?(A?B)c?X。(2)?(3) 若存在X中?为开集，且A??X\\B?Bc，则AA的非空开集A,B，使A?B??A则B?X\\从而B是X中既开又闭的非空真子集。(3)?(1) 若X,?B?X，A是闭集，中存在既开又闭的非空真子集A，则A的余集B?X\\A也是既开又闭的真子集，且A?B?A?(X?A)??,A?B?A?(X?A)?X，故X不连通。

例3.1.8 欧氏拓扑空间R是连通空间。证：如果R中存在既开又闭的非空真子集A, B使得A?B??,A?B?R，任取

??A?[a,b],B??B??有上界，从而有上确界，记为b?。因为A?是[a,b]，则Aa?A,b?B，则a?b。不妨设a?b。令A??A。因为A?B??，则b??b，从而(b?,b]?B?，从而b??A?B。?。因为B?也是闭集，所以[b?,b]?B闭集，则b??A这与A?B??矛盾，因此(R,?)是连通空间。

定理3.1.10 设X，Y是两个拓扑空间，映射f:X?Y为连续映射。若f是同胚映射，X是连通空间，则Y也是连通空间。证明 采用反证法。假设Y不连通，则存在Y的非空开集A,B，使得A?B??,A?B?Y。由连续映射的定义可知，f?1(A),f?1(B)为X中的开集，且f?1(A)?f?1(B)?f?1(A?B)??，f?1(A)?f?1(B)?f?1(A?B)?X，这与X是连通空间矛盾。因此Y是连通空间。

定理3.1.11 设X1,X2是两个拓扑空间，并且是连通空间，则积空间X1?X2也是连通空间。证明 1、首先证明对

?x?(x1,x2)?X1?X2,x1?X2与X2同胚。事实上，令g:x1?X2?X2,g(x1,x2)?x2，则g是x1?X2?X2的双映射。

?1?1在g与g的映射下，X2中的开集W与x1?X2中的开集x1?W互为原像，即g与g都连续，故g:x1?X2?X2为同胚映射，x1?X2与X2同胚。2、同理可证：对?x?(x1,x2)?X1?X2，X1?x2与X1也同胚。

由X1,X2连通可知，x1?X2与X1?x2都连通。3、下面证明X1?X2连通。采用反证法。假设X1?X2不连通，则存在两个

x?2X)?(1X2?)y。x,x)?Ay,(?y,y1)2B?既开又闭的非空不相交真子集A,B使X1?X2?A?B。取x?(，令Yx,y?(112因为(x1?X2)?(X1?y2)?(x1,y2)非空，且x1?X2与X1?y2都连通，所以Yx,y是一个包含x与y的连通子集，但Yx,y?A与Yx,y?B都是Yx,y的既开又闭的非空不相交真子集，且(Yx,y?A)?(Yx,y?B)?Yx,y。这与Yx,y连通矛盾，因此X1?X2连通。

定理3.1.12 Hausdorff空间中收敛序列的极限是唯一的。证明 设X为Hausdorff空间，{xn}?X为收敛序列，并且

x,y?X(x?y)都是序列{xn}的极限，则存在x,y的开邻域Ux,Uy，使得x?Ux,y?Uy，且Ux?Uy??。由序列极限的定义知，存在正整数Nx,Ny，当n?Nx时，有xn?Ux，而当n?Ny时，有xn?Uy。于是，当n?max{Nx,Ny}时，有xn?Ux?Uy。这与Ux?Uy??矛盾。因此x?y。

定理3.1.13 设X,Y均为拓扑空间，并且X为Hausdorff空间，则（1）若W是X的子拓扑空间，则W也是Hausdorff空间；（2）若Y与X同胚，则Y也是Hausdorff空间；（3）若Y是Hausdorff空间，则X?Y也是Hausdorff空间。证明 （1）对??1,?2?W?X,?1??2，因为X是Hausdorff空间，则存在开邻域A1,A2，使?1?A1，?2?A2，且A1?A2??，而A1?W，A2?W都是W中的不相交开邻域，故W是Hausdorff空间。（2）设f:对?y1,y2?Y,y1?y2，X?Y为同胚映射，

?1?1?1?1?1则f(y1)?f(y2)。因为X是Hausdorff空间，则存在f(y1)，f(y2)的不相交开邻域V1,V2。因为f也是连续的，

,(x,2y)2?XY?,(x,1y)1(?,x2y)2所以f(V1),f(V2)分别为y1,y2在Y中的不相交开邻域，得证。（3）对?(x1,y1)，则x1?x2或

???- 6 -

y1?y2。不妨设x1?x2，则x1,x2存在各自互不相交的开邻域U与V。而U?Y与V?Y分别是(x1,y1)与(x2,y2)在X?Y中的不相交开邻域，所以X?Y是Hausdorff空间。定理3.1.13表明Hausdorff空间是同胚不变的、可遗传的、有限可乘积的。

例3.1.10 （1）欧氏拓扑空间R不是紧空间，因为?(n?1,n?1)|n?Z?是R的开覆盖，它没有对R的有限子覆盖。R中的

11?开区间(0,1)不是紧集，因为?它没有对(0,1)的有限子覆盖。（2）若X为离散拓扑空间，,)|n?1,2,??是(0,1)的开覆盖，?(?n?2n?则X为紧空间的充要条件是X为有限集。 定理3.1.14 设X,Y为拓扑空间。（1）若X为紧空间，则X的每一个闭子集A都是X的紧集；（2）若Y与X同胚，则X是紧空间当且仅当Y是紧空间；（3）若f:X?则f(A)是Y中的紧集；（4）若A为XY是连续映射，并且A为X中的紧集，

中的紧集，f:A?R是连续映射，则f(A)为有界闭集，且f(A)有最大值和最小值。证明 （1）若X为紧空间，A是X的一个闭子集，{Gi}为A的任一开覆盖。因为A是闭集，则X\\A是开集，从而{Gi}?(X\\A)为X的一个开覆盖。因为Xnn是紧空间，则存在{Gi}?(X\\A)中的有限个开集{Gi}i?1?(X\\A)覆盖X，从而{Gi}i?1覆盖A，故A为紧集。（2）若拓扑

?1空间Y与X同胚，则存在同胚映射f:X?Y。若X为紧空间，{Gi}为Y的任一开覆盖，则{f(Gi)}为X的一个开覆盖。

?1nn于是存在有限个开集{f(Gi)}i?1覆盖X，则{Gi}i?1覆盖Y，因此Y是紧空间。反之亦然。（3）设{Gi}为f(A)的任一开覆

?1?1?1?1f(Gi)都是X中的开集，并且(Gi)}是紧盖，由f(A)??Gi，有A?f(?Gi)??f(Gi)。因为f是连续映射，则nnn{f?1nn?1集A的开覆盖，从而存在有限个开集{f(Gi)}i?1覆盖A，即A?于是f(A)?f(f(Gi))?Gi，即{Gi}i?1f?1(Gi)。

i?1f(A)是有界闭集，从而i?1i?1是{Gi}对f(A)的有限子覆盖，故f(A)是Y中的紧集。（4）由（3）知f(A)是R中的紧集，故

sup{f(A)}和inf{f(A)}都存在且都属于f(A)。

定理3.1.15 设X为Hausdorff空间，A是X中的紧集。对x?A，则存在开集U,V，使得x?U,A?V，并且U?V??。

???证明 任给

y?A，则y?x。因为X是Hausdorff空间，则x和y有各自的开邻域Ux和Vy，且Ux?Vy??。于是{Vy|y?A}构成A

的开覆盖。因为A是X中的紧集，则{Vy令U?|y?A}存在对A的有限子覆盖{Vyi}in?1。对每个Vyi，有x的开邻域Uxi，满足Uxi?Vyi??。

?Vyi??。令V??Vyi?1n?Ui?1nxi，则U是包含x的开集，并且U，则V是包含A的开集，并且

iU?V??(U?Vyi)??i?1n。

定理3.1.16 Hausdorff空间中每个紧集都是闭集。证明 设X为Hausdorff空间，A是X中的紧集，则对x?A，由定理3.1.15，存在开集U,V，A是闭集。 A?V，并且U?V??。即对x?X\\A，有x的邻域Uxi?X\\A，这说明X\\A是开集，从而?定理3.1.17 设Ai(i?1,2,?)是Hausdorff空间X中的非空紧集序列。若A??.证明 记1?A2???An??，则?Ai?i?1Gi?A1\\Ai(i?1,2,?)，由定理3.1.16知Ai是闭集，则Gi是A1中的开集，且G1???Gn??。假若Ai??，则????mi?1?G??，则G覆盖，即{Gi}是A1的开覆盖，从而存在A1的有限子覆盖{Gi}k?1。又因为G1??G?(A\\A)?A\\A?Aimn??ki1i1?i1?i?1i?1A\\Gi?1A1，从而1im??，这与Ai?A1\\Gi??矛盾。故?Ai??. 使得x?U,mm第四章 距离空间

引理3.2.1 如果实数

i?1p?1,q?1且1?1?1，则对任意非负实数a,b，有ab?pqapbq。证明 若

a?0或b?0，显然成立。下面考虑a,b?pq均为正实数的情况。对x?0,0???1，记f(x)?x???x。 1、容易验证f(x)在x?1处达到最大值1??，从而f(x)?1??，

，则AB?A?B。由此再令apq1p1q即x??1????x。2、对任意正实数A,B，中令x?A，??1，

Bp11???q?A1p，b?B1q，得证。

定理3.2.2 设(V,d)为距离空间，{xk}, {yk}是V中的收敛点列，且xk?x,yk?y(k??)，则（1）{xk}的极限是唯一的；（2）{xk}的任何子点列{xki}都收敛于{xk}的极限；（3）{xk}是有界的；（4）d(xk,yk)?d(x,y)(k??)。

x)?d(x,xk)?d(xk,~x)，当k??时，d(x,xk)?0,d(xk,~x)?0，从而证明 （1）设x,~x都是{xk}的极限，则0?d(x,~（2）的证明留给读者。（3）由xk?x(k??)知，存在正数K，使得当k?K时，d(xk,x)?1。d(x,~x)?0。因此x?~x。

取r?max(1,d(x1,x),?,d(xK?1,x)}?1，则{xk}?U(x,r)。（4）由度量空间定义，有d(xk,yk)?d(xk,x)?d(x,y)?d(y,yk)，d(x,y)?d(x,xk)?d(xk,yk)?d(yk,y)从而|d(xk,yk)?d(x,y)|?d(xk,x)?d(yk,y)，令k??即得结论。 定理3.2.3 距离空间(V,d)中的开集具有如下性质：（1）空集?和V都是开集；（2）任意多个开集的并是开集；（3）有限个开集的交是开集。证明（1）空集?中没有元素，当然满足开集的定义。显然，V中任一点的邻域都是V的子集，故V是开集。（2）设{Mi}(i?I)为任意多个开集，其中I为指标集，M?M，则对?x?M，存在某个Mi，使x?Mi。由于Mi为开集，所以

?ii?I存在x的一个邻域U(x,?)?Mi，于是U(x,?)?M，即M??Mii?I为开集。（3）设{Mi}i?1为n个开集，M?n?Mi?1ni，则对?x?M，

- 7 -

有x?Min(i?1,?,n)。由于Mi为开集，则存在x的一个邻域U(x,?i)?Mi，取??min??1,?,?n?，有U(x,?)?M，故

M??Mi为开集。

i?1定理3.2.4 距离空间都是Hausdorff空间。证明 对距离空间(V,d)，令??{G|G是度量空间V中的开集}，称?为由距离d所导出的拓扑。类似于定理3.2.3的证明，容易验证：(V,?)是拓扑空间。对?x,y?V,x?y，记d(x,y)?2?，U(x,?),U(y,?)分别是x和y的开邻域。如果z?U(x,?)?U(y,?)，则2??d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)?2?，故U(x,?)?U(y,?)??。因此(V,?)是Hausdorff空间。

定理3.2.5设(V,d)为距离空间，

A?V，x?V。则（1）x是A的极限点当且仅当在A中存在一个点列{xk}满足xk?x并且

xk?x(k??)；（2）A是闭集的充分必要条件是A中任何一个收敛点列必收敛于A中的一点；（3）A是闭集当且仅当A?A。证明（1）1、

如果x是A的极限点，则任意邻域U(x,?)必含有A中异于x的点，于是对每个正整数k，必有xk不同于x的点列{xk}满足d(xk,x)1?U(x,)?A且xk?x，即A中存在

k?1k。因此xk?x(k??)。2、反过来，如果A中存在一个点列{xk}满足xk?x并且

xk?x(k??)，则点列{xk}中必有无穷多个点彼此不同（因为如果点列{xk}只有有限个点组成，则点x在其中重复出现无穷多次，而xk?x(k??)，所以xk?x。这与xk?x矛盾）。设{xk}是{xk}中互不相同的点组成的子点列，U(x,?)是任意邻域。

j由于xkj?x(j??)，所以存在正整数J，当j?J时xkj?U(x,?)。这说明任意邻域U(x,?)都含有A中不同于x的点，因此x是A的极限点。（2）1、必要性 设A是闭集，{xk}是A中任一收敛点列且xk?x(k??)。如果xk?x，则x?A；如果对所有的k都有xk?x，则由（1）知，x是A的极限点，从而x?A?，因为A是闭集，所以x?A。2、充分性 对A的任一极限点x?A?，由（1）知在A中存在一个点列{xk}满足xk?x并且xk?x(k??)。由充分性条件得x?A，所以A??A。因此A是闭集。（3）由闭集和闭包的定义即得。设(V,d)为距离空间，A?V,x?V，若x的任一邻域都含有A中异于x的点，则称x为A的一个极限点或聚点。A的极限点全体所成的集合称为A的导集，记为A?。若A??A，则称A为

V中的闭集。若A?A?，则称A为V中的自密集。若A?A?，则称A为V中的完全集。记A?A?A?，称A为A的闭包。

定理3.2.6设(V,d)为距离空间，A?V，x?V。则（1）x?A；（2）A中存在点列{xk}满足xk?x(k??)；

（3）x的任一邻域都有A中的点。证明 (1)?(2)设x?A，则x?A或x?A?。如果x?A，令xk?x(k?1,2,?)，则{xk}是A中的点列且xk?x(k??)。如果x?A?，则由定理3.2.5知，A中存在一个点列{xk}满足xk?x(k??)。 (2)?(1)设{xk}?A且xk?x(k??)。如果x?A，则x?A。如果x?A，则由{xk}?A知xk?x且

xk?x(k??)，由定理3.2.5知，x是A的极限点，即x?A?。总之，x?A。(1)?(3)设x?A，如果x?A，则x的任一邻域都有A中的一点，例如x。如果x?A?，但x?A，则x的任一邻域U(x,r)都含有A中异于x的点，U(x,r)中当

1然有A中的点。(3)?(1)设x的任一邻域都有A中的一点，则对任意正整数k ，U(x,)中有A中的点xk，从而点列{xk}?A且

k1d(xk,x)?，所以xk?x(k??)。由（2）知x?A。

kc定理3.2.8 设(V,d)为距离空间，A?V。则A为V中的闭集当且仅当A的余集A为开集。证明1、必要性 若A为闭集，则?x?V\\A都不是A的极限点，即存在x的一个邻域U(x,?)，使U(x,?)?A??，于是U(x,?)?V\\A，即V\\A为开集。2、充分性 若V\\A是开集，则?x?V\\A，存在x的一个邻域U(x,?)?V\\A，于是U(x,?)?A??，即x不是A的极限点，故A为闭集。

定理3.2.9 设(V,d)为距离空间，A?V，E?V，则下列叙述等价：（1）A在E中稠密；（2）E?A；（3）对?x?E，存在A中的点列{xk}，使得xk?x(k??)。证明 (1)?(2)设A在E中稠密，则对?x?E，x的任一邻域都含有A的点。由定理3.2.6知x?A，故E?A。(2)?(1)设E?A，则对?x?E，有x?A。由定理3.2.6知，x的任一邻域都

含有A的点，则A在E中稠密。

1则对?x?E，则对任意正整数k ，从而点列{xk}?A(1)?(3)设A在E中稠密，U(x,)中有A中的点xk，x的任一邻域都含有A的点。

k1且d(xk,x)?，所以xk?x(k??)。

k (3)?(1)对?x?E，存在A中的点列{xk}满足xk?x(k??)，由定理3.2.6知x?A，则E?A，从而A在E中稠密。

定理3.2.10 设(X,dx),(Y,dy)为两个距离空间，f:X?Y，则下列叙述等价：（1）f为X上的连续映射；（2）Y中任一

?1?1开集E的原像f(E)是X中的开集；（3）Y中任一闭集B的原像f(B)是X中的闭集；（4）X中的任一点列{xk}，若xk?x(k??)，则有f(xk)?f(x)(k??)。证明 (1)?(2)设E为Y中的开集，若f?1(E)??，则f?1(E)是X中

?1?1的开集。若f(E)??，则?x?f(E)，有f(x)?E。于是在Y中存在f(x)的一个邻域U(f(x),?)?E。由连续映射

?1?1的定义，存在x的一个领域U(x,?)，使f(U(x,?))?U(f(x),?)?E，即U(x,?)?f(E)，f(E)是X中的开集。(2)?(1)对?x0?X,???0，令E?U(f(x0),?)，则E为Y中的开集。因此f?1(E)为X中的开集，且x0?f?1(E)。

- 8 -

于是存在x0的某个邻域U(x0,?)，使U(x0,?)?f(E)?f(U(f(x0),?))，即f(U(x0,?))?U(f(x0),?))，于是对满足dx(x,x0)??的所有x都有dy(f(x),f(x0))??，因此f在x0连续。由x0的任意性，f为X上的连续映射。(2)?(3)?1?1?1?1?1设B为Y中的闭集，则Y\\B为Y中的开集。因为f(Y\\B)?f(Y)\\f(B)?X\\f(B)为X中的开集，所有f(B)为X中的闭集。(3)?(2)同理可证。(1)?(4)设{xk}?X,x?X,limxk?x。对??0，存在正整数K，使得当k?K时

k??dx(xk,x)??。因为f在x连续，则对??0，当k?K时dy(f(xk),f(x))??。故f(xk)?f(x)(k??)。(4)?(1)采用反证法。假设存在x?X，f在x不连续，则存在?0?0，对于任意的正整数k都存在

?1?11?，但dy(f(xk),f(x))??0，即limxk?x，而?f(xk)?k?1不收敛于f(x)，这与（4）矛盾。

k??k定义3.2.13 设(X,dx),(Y,dy)为两个距离空间，f:X?Y。如果对任意x,y?X，都有dx(x,y)?dy(f(x),f(y))，则称映射f为X到Y的等距映射。等距映射一定是单映射。

定理3.2.11 设(X,dx),(Y,dy)为两个距离空间，f:X?Y是双映射，并且是等距映射，则f为X到Y的同胚映射。证明

?1因为在等距映射下X中开集的像是Y中的开集。因为f是双映射，则f:Y?X也是等距映射，从而Y中开集的原像也是

?1X中的开集。因此，f和f都是连续映射，故f:X?Y是同胚映射。 xk?X,dx(xk,x)?定理3.2.12 设(X,d)为距离空间，即对??X中收敛点列一定是Cauchy点列。证明 设

xn?x，?xn?n?1?X是收敛的点列，则?x?X，使limn????0,?N?0,?n?N，有d(xn,x)??2。因此，对?m,n?N，有d(xm,xn)?d(xm,x)?d(x,xn)??2??2??故?xn?n?1是

?Cauchy点列。点列收敛的充要条件是该点列为Cauchy点列。 定理3.2.13 设(X,d)为距离空间.如果Cauchy点列，则对??使得nkX中Cauchy点列{xn}有子点列{xnk}收敛于X中一点x，则{xn}收敛于x。证明 因为{xn}是X中

?0，存在正数N，使得当m,n?N时d(xm,xn)?k?2。因为{xn}中子点列{xnk}收敛于X中一点x，则存在正数K，

?K时d(xn,x)??2。于是当n?max{N,K}时d(xn,x)?d(xn,xn)?d(xn,x)?kk?????，得证。 一般地，距离空间中的Cauchy22点列不一定收敛。例如有理数集Q，按距离d(x,y)众所周知，数列???n?x?y构成距离空间。数列???1???1????n??n??是

???Q中的Cauchy点列，但它不收敛于Q中的点。

1???1????n????的极限为

???e，而e不是有理数。

定理3.2.14 设(X,d)为完备距离空间，S为X的子距离空间。则S完备当且仅当S是闭集。证明 1、设S是完备的子距离空

间，{xn}是S中的点列。如果xn?x，则{xn}是S中的Cauchy点列，并且由S的完备性知x?S。由定理3.2.5知S是闭集。2、设S是闭集。对S中的任一Cauchy点列{xn}，由于S?X，所以{xn}也是X中的Cauchy点列。由X的完备性知xn?x?X。因为S是闭集，则定理3.2.5知x?S，即S中的任一Cauchy点列都收敛于S中的点，故S完备。

l例3.2.3 （1）实数集R和复数集C都是完备距离空间；（2）（3）R和C都是完备距离空间；

nnp(C[a,b],d?)(1?p??)是完备距离空间；（4）

是完备距离空间，但(C[a,b],d1)不是完备距离空间。证明 这里仅证（4），1、设{xn}是(C[a,b],d?)中的任一Cauchy点列，则对??存在正数N，使得当m,n??0，

N时d(xm,xn)?max|xm(t)?xn(t)|??t?[a,b]，从而对任一固定的t?[a,b]，有|xm()t?x()|}t即{xn()nt??，

是R中的任一Cauchy点列。由R的完备性知，limxn(t)n???x(t)。在|xm(t)?xn(t)|??中令m??，则得对???0，当n?N时

|xn(t)?x(t)|??，即{xn}在[a, b]上一致收敛于x(t)，从而x(t)在[a, b]上连续。因此，(C[a,b],d?)是完备距离空间。2、下面证明(C[a,b],d1)不完备。为简化讨论，取[a, b]=[0, 1]. 取

1?0?t?则?0,2?1111?xn(t)??n(t?),?t??,n?2222n?11???t?1?1,2n?xn(t)?C[0,1]，并且由

1d1(xm,xn)??|xm(t)?xn(t)|dt?0111??0(m,n??)知，{xn}是(C[0,1],d1)中的Cauchy点列。对?x(t)?C[0,1]，如果2mn- 9 -

1211?2n1d1(xn,x)??|x(t)|dt?0?12|xn(t)?x(t)|dt?11?2n?|1?x(t)|dt?0(n??)，则得

12121?|x(t)|dt??|1?x(t)|dt?0012，从而

?|x(t)|dt?0，

01?|1?x(t)|dt?012。再由x(t)?C[0,1]可知

?0,??x(t)???1,??0?t?12。这与x(t)?C[0,1]矛盾。因此，{xn(t)}按距离d1不收敛于x(t)，

1?t?12即(C[0,1],d1)中存在不收敛的Cauchy点列，故(C[a,b],d1)不完备。

定理3.2.15 设(X,d)为完备距离空间，{U(xn,rn)}是X中的闭球序列，且满足（1）U(xn,rn)?U(xn?1,rn?1)(n??1,2,?)；（2）

rn?0(n??)，则存在唯一的点x??U(xn,rn)。证明 1、首先证明球心所组成的点列{xn}是Cauchy点列。事实上，当m?n时，由

n?1xm?U(xm,rm)?U(xn,rn)，则有d(xm,xn)?rn。因为rn?0(n??)，所以对???0，存在正数N，使得当n?N时，rn??。

于是当m,n?N时d(xm,xn)??，即{xn}是Cauchy点列。因为X是完备距离空间，点列{xn}收敛于X中的一点x 。在d(xm,xn)??rn中

令m??，则得d(x,xn)?rn)(n?1,2,?)，即x?U(xn,rn)(n?1,2,?。因此，x??U(x,r)。2、唯一性 如果X中有另一点

nnn?1n??y??U(xn,rn)，则d(y,xn)?rn(n?1,2,?)。令n??，由定理3.2.2即得d(y,x)?limd(y,xn)?0，所以y?x，即

n?1??U(x,r)只有一点。

nnn?1?例3.2.4 实数集R（距离d(x,y)?x?y）本身不是紧空间，因为R中的点列?n?n?1不存在收敛的子点列。R中的闭集?0,1?是紧集。(0,1]是致密集但不是紧集，因为(0,1]不是闭集，其极限点0不含在集合内。R中的闭集[0,??)不是紧集，因为其

?中的点列?n?n?1不存在收敛的子点列。 定理3.2.16 设(X,d)为距离空间，则（1）X中的有限点集是致密集；（2）有限个致密集的并是致密集；（3）致密集的任何子集是致密集；（4）任意一簇致密集的交是致密集；（5）致密集中的Cauchy点列在X中一定收敛；（6）如果X是致密的距离空间，则X是完备的。证明 （1）-（4）由致密集的定义即得。设(X,d)为距离空间，A?X。若A中的任一点列都有在X中收敛的子点列，则称A为X中的致密集或列紧集，称X中致密的闭集为紧集。若X本身是致密集，则称X为致密空间或紧空间。（5）设A为X中的致密集，{xn}是A中的任一Cauchy点列，则{xn}有在X中收敛的子点列。由定理3.2.13知，{xn}在X中收敛。（6）由（5）即得（6）。 定理3.2.17设(X,d)为距离空间，A?X。若A为X中紧集，则A一定是X中的有界集。证明反证法。若A无界，取x?A，

?则对任意的正整数n，存在xn?A，使d(xn,x)?n。显然，点列{xn}n?1不存在收敛的子点列，这与A为紧集矛盾。

定理3.2.19（Banach不动点原理）设(X,d)为完备距离空间。若任取x0?X，令xn?1?f为

X上的压缩映射，则存在唯一的x*?X，使得

f(x*)?x*。证明 1、

?f(xn),n?0,1,2,?因为f是压缩映射，则

d(xn?k,xn)?d(f(xn?k?1),f(xn?1))?cd(xn?k?1,xn?1)?c2d(xn?k?2,xn?2)???cnd(xk,x0)?cn(d(xk,xk?1)?d(xk?1,xk?2)???d(x1,x0))?(cnk?1?ck?2cn??1)d(x1,x0)?d(x1,x0).1?c的完备性，存在x使得

*因为

0?c?1，所以limcn?0，从而?xn?n?0是Cauchy点列。再由Xn????X，使得limn??xn?x*。因为压缩映射是连续的，

则x*??X?limxn?1?limf(xn)?f(limxn)?f(x*)。2、如果还有xn??n??n???)?x?，则d(x*,x?)?d(f(x),*f(x))?cd?(x,x)*?f(x由距离的非负性得x*?。 ?x- 10 -

推论3.2.2 设(X,d)为完备距离空间，f:X?X。若存在某个正整数m，使f为X上的压缩映射，则f在X中存在唯

m*m?1一的不动点。证明 记T?f。由定理3.2.19知T在X中存在唯一的不动点x*。又由T(f(x))?f(x*)?f(T(x*))?f(x*)***可知f(x)也是T在X中的不动点。由唯一性知f(x)?x，即x*也是f在X中的不动点。

推论3.2.3 设(X,d)为完备距离空间，若

mf为

X上的压缩映射，且压缩因子为c(0?c?1)，则对任意x0?X，迭代法

?xn?1?f(xn),n?0,1,2,?产生的点列?xn?n?0收敛于

ccnd(xn,xn?1)?d(x1,x0). f的不动点x，并且d(xn,x)?1?c1?c**d(xm,xn)?d(xm,xm?1)?d(xm?1,xm?2)???d(xn?1,xn)证明 类似于定理3.2.19的证明，对任意m?n，有

?(cm?n?cm?n?1 c(1?cm?n)???c)d(xn,xn?1)?d(xn,xn?1).1?c和上式，即得所要证的第二个不等式。

令m??，即得d(x*,xn)?cd(xn,xn?1).再由d(xn,xn?1)?cn?1d(x1,x0)1?c例3.2.5（Fredholm积分方程解的存在唯一性定理） 设k(t,s)是[a,b]?[a,b]上的连续函数，并且存在常数c?0使在[a,b]?[a,b]上

|k(t,s)|?c，v(t)是区间[a,b]上的连续函数。如果参数?满足|?|?1，则Fredholm积分方程

c(b?a)x(t)???k(t,s)x(s)ds?v(t)在C[a,b]中存在唯一解。

ab证明 对?x(t)?C[a,b]，令

f(x(t))???k(t,s)x(s)ds?v(t)，因为k(s,t)是[a,b]?[a,b]上的连续函数，则

abf:C[a,b]?C[a,b]。对任意x(t),y(t)?C[a,b]

d(f(x(t)),f(y(t)))?maxf(x(t))?f(y(t))?max??k(t,s)(x(s)?y(s))dst?[a,b]t?[a,b]ab?|?|max?|k(t,s)||x(s)?y(s)|ds?|?|c(b?a)d(x,y)t?[a,b]ab因为|?|c(b?a)?1，则f是C[a,b]上的压

缩映射。由定理3.2.19知，

f在C[a,b]中存在唯一的不动点x*(t)，即Fredholm积分方程有唯一解x*(t)。

例3.2.6（Voltera积分方程解的存在唯一性定理） 设k(t,s)是D?{(t,s)?[a,b]?[a,b]|s?t}上的连续函数，v(t)是区间[a,b]上的连续函数。则Voltera积分方程x(t)??k(t,s)x(s)ds?v(t)在C[a,b]中存在唯一解。证明 对?x(t)?C[a,b]，令

atf(x(t))??k(t,s)x(s)ds?v(t)则对?x(t),y(t)?C[a,b]，

atf(x(t))?f(y(t))??k(t,s)(x(s)?y(s))ds,其中M为函数

at?M(t?a)d(x,y):C[a,b]?C[a,b],Fn?fn，下面用归纳法证明

k(t,s)在[a,b]?[a,b]上的最大值。对任意的正整数n，构造映射FnMn(t?a)nFn(x(t))?Fn(y(t))?d(x,y).1、事实上，当n?1时，结论显然成立。假设对n?1不等式成立，即

n!Fn(x(t))?Fn(y(t))?f(Fn?1(x(t)))?f(Fn?1(y(t)))Mn?1(t?a)n?1Fn?1(x(t))?Fn?1(y(t))?d(x,y)。则?(n?1)!taMn?aK(t,s)(Fn?1(x(s))?Fn?1(y(s)))ds?(n?1)!tn?1由归纳法原理知，结

?(s?a)Mn(t?a)nds?d(x,y)?d(x,y).n!knMn(b?a)n?1，则?0。取自然数n满足c?论成立。2、因为对于任意的常数k，有limn??n!n!- 11 -

Mn(b?a)n由推论3.2.2知，fd(Fn(x(t)),Fn(y(t)))?d(x,y).即Fn为C[a,b]上的压缩映射，

n!即Voltera积分方程有唯一解x*在C[a,b]中存在唯一的不动点x* (t)，

(t)。

例3.2.7（常微分方程解的存在唯一性定理） 设D上|f(x,y)是D?{(x,y)||x?x0|?a,|y?y0|?b}上的连续函数，并且存在常数c?0使在

f(x,y)|?c。如果f(x,y)在D上满足Lipschitz条件，即存在常数k，使得

?dy?f(x,y)在[x0?dx??y(x0)?y0|f(x,y1)?f(x,y2)|?k|y1?y2|,?(x,y1),(x,y2)?D则常微分方程初值问题???,x0??]上存在唯一连续解，

b?min{a,}。证明 已知(C[x0??,x0??],d?)完备。

c记M?{y?C[x0??,x0??]||y?y0|?c?}， M是C[x0??,x0??]的闭子距离空间，由定理3.2.14知，M是完备的。对

x?x?[x0??,x0??],y?M，令T(y(x))?y0??f(s,y(s))ds。

x0n?nn?nTT第一大题证明（1）G?{A|A?R,det(A)?1}按矩阵乘法构成群,但不是交换群；（2）G?{A|A?R,AA?AA?I}2k?2k?n按矩阵乘法构成群,但不是交换群；(3) Un?{z|z?C,z?1}?{?k?cos?isin|k?0,1,?,n?1}按矩阵乘法构

nn成群,是交换群.（4）这三个集合按加法都不是群。证明（1）（i）因为det(In)?1,所以In?G，即G??；（ii）任取A,B?G,

n?nn?nn?n则AB?R,A?1,B?1，因此AB?1，即知AB?G；（iii）因为R上乘法满足结合律且G?R，所以G上乘法满足结合律，即?A,B,C?G有(AB)C?A(BC)；（iv）因为?A?G，有InA?AIn?A，所以In是G中的单位元；（v）

?1?1?A?G，有A?1，所以A的逆矩阵A?1存在且A?1?Rn?n。又因为AA?1?In，所以AA?AA?1,因此。由G的定

?1n?n义可知A?G，即A在G中有逆元A?1。综上所述可知G是一个群；（vi）因为Rn?n上乘法不满足交换律且G?R，所

TT以G上的乘法也不满足交换律，所以G不是交换群。（2）（i）因为InIn?InIn?In,所以In?G，即G??；（ii）因为Rn?nn?n上乘法满足结合律且G?R，所以G上乘法满足结合律，即?A,B,C?G有(AB)C?A(BC)；（iii）任取A,B?G,AB?Rn?n,ATA?AAT?I,BTB?BBT?I，因此

(AB)T(AB)?BT?ATA?B?I,(AB)(AB)T?A?BBT?AT?I，即知(AB)T(AB)?(AB)(AB)T?I，因此AB?G；（iii）

n?nn?n因为R上乘法满足结合律且G?R，所以G上乘法满足结合律，即?A,B,C?G有(AB)C?A(BC)；（iv）因为

TT（v）?A?G，有AA?AA?I，所以A的逆矩阵A?1存在且?A?G，有InA?AIn?A，所以In是G中的单位元；

TTTTTT?1T?1?1?1T?1Tn?nAA?AA?IAA?AA?I，因此由G的定义可知,所以?A?A?R。又因为???????????????n?nn?n（vi）因为R上乘法不满足交换律且G?R，所以G上A?1?G，即A在G中有逆元A?1。综上所述可知G是一个群；

nn的乘法也不满足交换律，所以G不是交换群。（3）（i）因为1?G，所以G??；（ii）任取a,b?G,则a?1,b?1，因此(ab)n?anbn?1，即知ab?G；（iii）因为C上乘法满足结合律且G?C，所以G上乘法满足结合律，即?a,b,c?G有

n（iv）因为?a?G，有1a?a1?a，所以1是G中的单位元；（v）?a?G，有a?1，所以a?0，因此a(ab)c?a(bc)；

?1nn?1?1?1?1?1倒数a存在且a?C。又因为?a???a??1,因此由G的定义可知a?G，所以a是a在G中的逆元。综上所述可知G是一个群 ；（vi）因为C上乘法满足交换律且G?C，所以G上的乘法也满足交换律，所以G是交换群。 第二大题设?是群G到G?的同态满映射，e?为G?的单位元，称集合Im(?)?{?(a)|a?G}，

Ker(?)?{a|?(a)?e?,a?G} 分别为同态映射?的值域和核，证明：(1)?(e)?e?，其中e，e?分别为G，G?的单位元；

?1?1(2)?(a)??(a),?a?G； (3)Ker(?)是G的子群；(4)Im(?)是G?的子群； (5)Ker(?)是G的正规子群； (6)?是同态单映射当且仅当Ker(?)?{e}证明 (1).事实上，因为G有单位元e，则在同态满映射?下，e有像e?，即?(e)?e?，则e?是G?的一个单位元。因为对任意a??G?，存在a?的一个原像a?G，使得?(a)?a?则由?(a)??(ea)??(ae)，即得a???(e)?(a)??(a)?(e)?e?a??a?e?，即e?是G?的一个单位元。(2) 1、因为G与G?之间存在一个满映射?，所以

?a?,b?,c??G?，存在a,b,c?G，使得?(a)?a?,?(b)?b?,?(c)?c?。因为G是一个群，?是G与G?之间一个同态映射，所以?a?b??c????(a)?(b)??(c)??(ab)?(c)??(abc)??(a?bc?)??(a)?(bc)??(a)??(a)?(c)??a??b?c??，因此G?是一个

?1?1半群。2、对任意a??G?，存在其逆元(a?)?G?。事实上对任意a??G?，存在其逆元(a?)?G?。对a??G?，存在a?的

?1?1?1?1一个原像a?G，使得?(a)?a?。因为a?G，所以a有逆元a，则?(a)?G?。由?(aa)??(aa)??(e)?e?，即?(a?1)?(a)??(a)?(a?1)?e?,有?(a?1)a??a??(a?1)?e?， 因此a?有逆元(a?)?1??(a?1)。结合（1）可知故G?是一个

?1?1?1?1?1?1群。3、证明?(a)??(a),?a?G。事实上?a?G,a有逆元a，则?(a)?G?。由?(aa)??(aa)??(e)?e?，

?1?1?1?1即?(a)?(a)??(a)?(a)?e?。又因为e?是群G?单位元，所以??(a)???(a)。

?1?1（3）由（1）知，Ker(?)非空。对任意a,b?Ker(?)，有?(a)??(b)?e?,?(b)?(?(b))?e?。则?(ab?1)??(a)?(b?1)?e?e??e?，即ab?1?Ker(?)。又由于G是一个群，因此Ker(?)是G的子群。 (4)Im(?)非空（2）、(5)(6)的证明见定理2.2.10证明

其中?第三大题设W?{AA?R2?2,tr(A)?0}1、证明W是R2?2的子空间；2、确定W的维数与一组基；3、在W上令

- 12 -

?12?，证明T是W上的线性变换；4、求T在（2）所取基下的矩阵；5、求R(T),Ker(T);6、求T的特

T(X)?AX?XA,?X?W,A?????11?征值和特征向量；7、问是否存在W的一组基，使T的矩阵为对角阵。 （1）因为?00??W，所以W???00???。要证W是R2?2的子空间，即证?A,B?W,k?R,有A?B?W,kA?W。事实上，不妨设

x2?y2??kx12?2?R,kA???x4?y4??kx3kx2?2?2。又因为trA???Rkx4??xA??1?x3x2??y1,B???x4??y3y2??x1?y1，则A?B???y4??x3?y3x1?x4?0,

x2???Wx4??x1?A?trB?y1?y4?0，所以tr(A?B)?trA?trB?0,trkA?ktrA?0，即A?B?W,kA?W（2）因为??x3x1x1?x4?trA?0，所以A????x3x2??01??00??10??x2??x3???x1?????x1??00??10??0?1?记，

?x1?1?x2?2?x3?3。因此要证?1,?2,?3为W的一组基，即

证?1,?2,?3?W且?1,?2,?3线性无关。由?1,?2,?3的定义知，tr?1?1?1?0,tr?2?0?0?0,tr?3?0?0?0，因此可知

x1?1,?2,?3?W。又因为x1?1?x2?2?x3?3???组基，因此dimW事实上T(B)?（4）

?x3x2????x1??00?，所以?1,?2,?3线性无关。综上可知?1,?2,?3为W的一???x1?0,x2?0,x3?0?00?（3）要证T是W上的线性变换，即证?B,C?W,k?R,有T(B?C)?T(B)?T(C),T(kB)?kT(B) ?3。

AB?BA，T(C)?AC?CA，T(B?C)?AB?BA?AC?CA?T(B)?T(C)，T(kB)?AkB?kBA?k(AB?BA)?kT(B)

?12??01??01??12? ?4?，

??0?1?4?2?2?3T(?2)?A?2??2A???11??00???00???11?0??????????12??10??10??12??0T(?1)?A?1??1A??????????????11??0?1??0?1???11???2?12??0?10?；T(?)?A???A???333?????1?1?0?2?0?3??11??1?0?1?0??00??12??20??2?1?0?2?0?3，?????????0??10???11??0?2??012?

?????400???200????012?因此T在（2）所取基下的矩阵??记T(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)??400??(?1,?2,?3)KK??200???(5) 因为T(?)??2?02?,T(?)??10?,T(?)?2?10?，?02?，?10?线性无关所以R(T)?span??02?,?10??

??123???????????????10??0?1??0?1??10??0?1???10??0?1???4x1?所以又因为?00??T(x??x??x?)?xT(?)?xT(?)?xT(?)??2x?02??x?10??2x?10???x2?2x3112233112233??1?2?3???????x2?2x3??00??10??0?1??0?1???2x1x1?0,x2??2k,x3?k,k?R，因此Ker(T)?span??1?012?的特征值和特征向量。0??。（6）要求T的特征值和特征向量，即求??????K???400?0?1??????200?????1?2?I?K?4?0??(?2?8)?020??1的特征向量为k(0,1,?1)T,k?0；?2的特征向量为k(1,2i,2i)T,k?0；?3的特征向量为

k(1,?2i,?2i)T,k?0。（7）因为三阶矩阵

矩阵为对角阵。

第四大题设R为一切形如??012?存在三个互不相同的特征值，因此

??K???400???200???K能够对角化，因此存在W的一组基，使T的

?a2b?(a,b?Q)的二阶方阵作成的集合。证明：(1)R对矩阵通常的加法与乘法作成一个单位元的交换环； (2)R??ba??00?2?22?22?2没有零因子。（1）证明 1、因为???R，所以R??；2、因为R是一个环，R?R，所以要证R是R的子环，即证

?00?- 13 -

?a?A??1?b1所以

2b1??a2,B???a1??b22b2?，有A?B?RAB,??Ra2?R??a1?a2。事实上A?B???b1?b22(b1?b2)?记?a2b?由于a1,b1,a2,b2?Q，???。

a1?a2??ba??a12b1??a22b2??a1a2?2b1b22?a1b2?b1a2??记?a2b?。由于a1,b1,a2,b2?Q ，所以AB?R。3、A?B?R。AB????????????a1a2?2b1b2??ba??b1a1??b2a2??a1b2?b1a2为R的单位元；4、?A??a1??b12b1??a2?,B??a1??b22b2?，有

??Ra2??10?令I???,则I?R且?A?R,IA?AI?A，所以I01??a12b1??a22b2??a1a2?2b1b22?a1b2?b1a2???a2AB???，BA????????a1a2?2b1b2??b1a1??b2a2??a1b2?b1a2?b2乘法作成一个单位元的交换环。 （2）

?a2b?且

?A????R?ba?2b2??a1??a2??b12b1??a1a2?2b1b2???a1??a1b2?b1a22?a1b2?b1a2??。故R对矩阵加法与

?a1a2?2b1b2?A?O，则a2?b2?0，由此可知

A?a2bba ?a2?2b2?0，因此R中任意非零元素均可逆，从而可知R没有零因子。

第五大题用Gram-Schmidt正交化法，将内积空间V的给定子集S正交化，再找出V的标准正交基，并求给定向量?在标准正交基下的坐标表达式：（1）V1（2）V?R[x]3，定义内积为?R4，S?{(1,2,2,?1)T,(1,1,?5,3)T,(3,2,8,?7)T}，??(3,1,1,?3)T；

TTT（1）S?{?1?(1,2,2,?1),?2?(1,1,?5,3),?3?(3,2,8,?7)}， (f,g)??f(t)g(t)dt,S?{1,x,x2},??1?x 。解 ：

?1令?1??1，?2??2?(?2,?1)?1，?3??3?(?1,?1)(?3,?2)(?,?)?2?31?1；则

(?2,?2)(?1,?1)?1?(1,2,2,?1)T,?2?(2,3,?3,2)T,?3?(2,?1,?1,?2)T。令

e1?e1???1?111则e1,e2,e3两两正交并且都为单位向量。 令?(1,2,2,?1)T,e2?2?(2,3,?3,2)T,e3?3?(2,?1,?1,?2)T，

?1?2?31026101111(1,2,2,?1)T,e2?(2,3,?3,2)T,e3?(2,?1,?1,?2)T,e4?(3,?2,2,3)T，显然e1,e2,e3,e4两两正交并且都为单位向10261026量，因此e1,e2,e3,e4为V的一组标准正交基??(?,e1)e1?(?,e2)e2?(?,e3)e3?(?,e4)e4?(3,1,1,?3)T（2）

S?{?1?1,?2?x,?3?x2}

令?1??1，?2??2?111(?,?)(?,?)(?2,?1)?1，?3??3?32?2?31?1，(?2,?1)???2?1dx??xdx?0，

?1?1(?1,?1)(?2,?2)(?1,?1)13(?3,?2)???3?2dx??x?1?121?1dx?0，(?3,?1)?1?1?1?(?1,?1)???1?1dx??1dx?2，

?3211212，则，??1,??x,??x?123??1?1331122?2?(?2,?2)???2?2dx??x2dx?，

?1?131?3?1dx??x2dx?12x?21842???1x3312，令e??(?3,?3)???3?3dx??x?x?dx??,e2??,e3??1?1?13945?1?2?32281；则e1,e2,e3两两

3正交并且都为单位向量，下面用凑正交的方法将e1,e2,e3扩展为V的一组标准正交基。令

451xe1?,e2?,e3?223x2?84513,??k?kx?kx2?kx3，则(?4,e1)?41234?1?1?4e1dx?0，(?4,e2)???4e2dx?0，

?11- 14 -

(?4,e3)???4e3dx?0；由此可得k1?0,k2?1,k3?0,k4???11153523，即知?4?k1?k2x?k3x?k4x?x?x，

33?4???4?4dx??12?48，令e4?63?45x?x33?863，显然e1,e2,e3,e4两两正交并且都为单位向量，因此e1,e2,e3,e4为V的一组标准正

交基??(?,e1)e1?(?,e2)e2?(?,e3)e3?(?,e4)e4?1?x。

1、求下列由向量

??i?生成的子空间与由向量??i?生成的子空间的交与和的维数和基：

?Span(?1,?2),W2?Span(?1,?2)，则

TT（1）??1?(1,2,1,0)，??1?(2,?1,0,1)，解（1）设W1??TT??2?(1,?1,3,7)；??2?(?1,1,1,1)，W1?W2?Span(?1,?2)?Span(?1,?2)?Span(?1,?2,?1,?2)考虑向量组?1,?2,?1,?2的秩和极大线性无关组，对矩阵(?1,?2,?1,?2)作初等变换，

?1?121??1?121??1?1?21?1?1??03?5?3??01??????(?1,?2,?1,?2)???1103??02?22??00??????0117??0117??0021?，则17??13??00?故W1?W2?1,?2,?1为向量组?1,?2,?1,?2的极大线性无关组，

的维数为3，?1,?2,?1是W1?W2的一组基。 因为dimW1?dimW2?2，由维数定理知dim(W1?W2)?dimW1?dimW2?dim(W1?W2)?1，设

?1?1?2?1??x1??x1???x???，有，即?211，求其通解为 1x2???2??0(?1,?2,??1,??2)???0?110?3??x3??x3????????01?1?7??x4??x4???W1?W2,??x1?1?x2?2?x3?1?x4?2(?k,4k,?3k,k)，k为任意常数.则???k?1?4k?2?k(?5,2,3,4)T，故W1?W2??k(?5,2,3,4)Tk为任意常数?，

(?5,2,3,4)T是W1?W2的一组基

?1定理2.1.2 设G是一个群，则对任意a,b?G，方程ax?b与ya?b在G中都有唯一解。证明对a?G，有a?G。于是

?1?1?1并且有a(ab)?(aa)b?eb?b，其中e为G的单位元。上式说明ab为方程ax?b在G中的解，即ax?ba?1b?G，

在G中有解。设x1,x2都是方程ax?b在G中的解，则ax1?ax2由定理2.1.1得x1?x2。因此方程ax?b在G中有唯一解。

?1同理可证ba为方程ya?b在G中的唯一解。注意，如果G为Abel群，则定理2.1.2中的两个方程有相同解。

定理2.1.3 设G是一个半群，如果对任意a,b?G，方程ax?b与ya?b在G中都有解，则G为群。证明先证G中有单位

??b,则e为G的单位元。?。元。取b?G，则方程yb?b和by?b在G中分别有解e和e于是eb?b,be事实上，对任意a?G，

??a。从而e?ee??e?，方程bx?a在G中有解，即存在c?G使bc?a。于是ea?e(bc)?(eb)c?bc?a。同理可证：ae即e为G中单位元。再证G中任一元素都有逆元。对任意a?G，因为方程ax?e与ya?e在G中分别有解x和y，则 y?ye?y(ax)?(ya)x?ex?x。即x?y?a?1。因此，对任意a?G都有逆元a?1?G。从而由定义2.1.5知，半群G

构成群。

??定理5.3.2 设V1是内积空间 V的一个有限维子空间，则存在V1的唯一正交补V1使得V?V1?V1。证明 设dim( V1)=m，并且?1,?2,?,?m是V1的一组标准正交基。对任意??V，令?1m?(?,?1)?1?(?,?2)?2???(?,?m)?m，?2????1。则?1?V1，且

(?2,?i)?(?,?i)?(?1,?i)?(?,?i)?((?,?j)?j,?i)?(?,?i)?(?,?i)(?i,?i)?0(i?1,?,m)，故?2与V1中每个向量

??1?1??2，所以V?V1?V1?，并且由定理5.3.1知 V?V1?V1?。2、再证唯一性。设V2，都正交，即?2?V1，从而?2?V1。因为 ?j?V3都是V1的正交补，则V?V1?V2，V?V1?V3，对任意??V2，有???1??3， ?1?V1,?3?V3，因为???1，则

?(?,?1)?(?1,?1)?(?3,?1)?(?1,?1)?0。于是?1?0，??V3，从而V2?V3。同理可证V3?V2。因此V2?V3。

例5.3.1（最小二乘问题） 在许多实际观测数据的处理问题中，如果已知量y与量x1,x2,?,xn之间呈线性关系 y?c1x1?c2x2???cnxn， (5.3.2)

但不知道线性系数c1,c2,?,cn。为了确定这些系数，通常做m(?n)次试验，得到m组观测数据： 1 2 ··· m，x(1)2x1(1)?x(1)nx1(2)xx(2)2?x1(m)?x??x(m)2y，

(1)y(2)?y(m)，

?(2)n?(m)n- 15 -

按如下意义确定系数：求c1,c2,?,cn使得 minci?P?|yj?1m(j)??cixi(j)i?1n?xi(1)?2?(2)?|。 (5.3.3)解：记 ?x?ai??i?????x(m)??i??y(1)??c1??(2)???，，，(5.3.3)化为 ?y?c2? 则?b?(i?1,2,?,n)??c??????????c??y(m)??n???minb??ciainc?Pi?1n2（5.3.4）这个问题可看成是求Pm中向量b在span{a1,a2,?,an}上的最佳逼近。如果记A?[a1,a2,?,an]，由定理5.3.4知，系数

c1,c2,?,cn满足AHAc?AHb。 (5.3.5)

定理5.3.4 设V1是内积空间V的一个子空间，??V是给定的向量，则?1?V1为?在V1上的最佳逼近的充分必要条件是?设?1?V1为?在V1上的最佳逼近，但?则???1?V1 。证明 必要性。采用反证法。

，

??1不正交于V1，则在V1中至少有一向量??0且??1，使得(???1,?)???0。令???1???2?V1，且有???2?(???1???,???1???)????1?|?|2。因为|?|2?0，所以???????1。这与?1?V1是?在V1上的最佳逼近相矛盾，故???1?V1 。充分性。如果?1?V1且???1?V1，则对任意??V1，有

2???

2?(???1)?(?1??)????12??1??2????12。上式表面?1?V1是?在V1上的最佳逼近。

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按如下意义确定系数：求c1,c2,?,cn使得 minci?P?|yj?1m(j)??cixi(j)i?1n?xi(1)?2?(2)?|。 (5.3.3)解：记 ?x?ai??i?????x(m)??i??y(1)??c1??(2)???，，，(5.3.3)化为 ?y?c2? 则?b?(i?1,2,?,n)??c??????????c??y(m)??n???minb??ciainc?Pi?1n2（5.3.4）这个问题可看成是求Pm中向量b在span{a1,a2,?,an}上的最佳逼近。如果记A?[a1,a2,?,an]，由定理5.3.4知，系数

c1,c2,?,cn满足AHAc?AHb。 (5.3.5)

定理5.3.4 设V1是内积空间V的一个子空间，??V是给定的向量，则?1?V1为?在V1上的最佳逼近的充分必要条件是?设?1?V1为?在V1上的最佳逼近，但?则???1?V1 。证明 必要性。采用反证法。

，

??1不正交于V1，则在V1中至少有一向量??0且??1，使得(???1,?)???0。令???1???2?V1，且有???2?(???1???,???1???)????1?|?|2。因为|?|2?0，所以???????1。这与?1?V1是?在V1上的最佳逼近相矛盾，故???1?V1 。充分性。如果?1?V1且???1?V1，则对任意??V1，有

2???

2?(???1)?(?1??)????12??1??2????12。上式表面?1?V1是?在V1上的最佳逼近。

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