高考数学二轮复习专练四中档大题（五）

中档大题(五)

π

1．(2013·高考广东卷)已知函数f(x)＝2cos?x－?，x∈R.

?12?

π

(1)求f??的值；

?3?3π3?，求f?θ－π?. (2)若cos θ＝，θ∈?，2π56??2??

2．某校在筹办2013年元旦联欢会前，对学生“是喜欢曲艺还是舞蹈节目”做了一次调查，随机抽取了100名学生，相关的数据如下表所示： 喜欢曲艺 喜欢舞蹈 总计 40 18 58 男生 15 27 42 女生 55 45 100 总计 (1)若从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名，则女生应该抽取几名？ (2)在(1)中抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名男生的概率．

3．(2013·荆州市高中毕业班质量检测))如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，

1

AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．

2

(1)求证：AM＝CM；

(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.

π

4．(2013·江南十校联考)将函数y＝sin x的图象向右平移个单位，再将所得图象上各

3

点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数f(x)的图象，若g(x)＝f(x)cos x＋3.

ππ

(1)将函数g(x)化成g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A、ω>0，φ∈[－，])的形式；

22

π

(2)若函数g(x)在[－，θ0]上的最大值为2，试求θ0的最小值．

12

5．(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：

A1 A2 A3 A4 A5 学生 89 91 93 95 97 数学x(分) 87 89 89 92 93 物理y(分) (1)要从5名学生中选2名参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；

^

(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程y＝bx＋a.

^

参考公式：回归直线的方程是y＝bx＋a，其中b＝错误!，a＝y－bx.

1

6．(2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)已知点(1，)是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)

3

的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

1

(2)若数列{cn}的通项cn＝bn·()n，求数列{cn}的前n项和Rn；

3

11 000

(3)若数列{}的前n项和为Tn，问Tn>的最小正整数n是多少？

2 014bnbn＋1

答案：

π

1．【解】(1)因为f(x)＝2cos?x－?，

?12?ππππ2

所以f??＝2cos?－?＝2cos ＝2×＝1.

42?3??312?3π3

(2)因为θ∈?，2π?，cos θ＝，

5?2?

3?242?所以sin θ＝－1－cosθ＝－1－?5?＝－. 5

ππππ

所以f?θ－?＝2cos?θ－－?＝2cos?θ－?

6?612?4????22

＝2×?cos θ＋sin θ?

2?2?341

＝cos θ＋sin θ＝－＝－.

555

2．【解】(1)由表中数据可知，

5

女生应该抽取27×＝3(名)．

45

(2)记抽取的5名学生中，2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c.

则从5名学生中任取2 名的所有可能的情况有10种，它们是：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)．

其中恰有1名男生的情况有6种，它们是：(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)(B，c)．

63

故所求概率为＝.

105

1

3．【证明】(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，∴AC＝2，BC＝2，∴BC⊥AC.

2

又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

∴BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.

1

在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，

2

1

在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝PB，

2

∴AM＝CM.

(2)连接DB交AC于点F，

11

∵DCAB，∴DF＝FB.

22

取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM， 又DG?平面AMC，FM?平面AMC， ∴DG∥平面AMC.

连接GN，则GN∥MC， ∴GN∥平面AMC. 又GN∩DG＝G，

∴平面DNG∥平面AMC.又DN?平面DNG， DN∩平面AMC＝?， ∴DN∥平面AMC.

π

4．【解】(1)由题意可得f(x)＝4sin(x－)，

3

π

∴g(x)＝4sin(x－)cos x＋3

3

13

＝4(sin x－cos x)cos x＋3

22

＝2(sin xcos x－3cos2x)＋3

π

＝2sin(2x－)．

3ππππ

(2)∵x∈[－，θ0]，∴2x－∈[－，2θ0－]．

12323

π

要使函数g(x)在[－，θ0]上的最大值为2，

12ππ

当且仅当2θ0－≥，

325π

解得θ0≥，

12

5π

∴θ0的最小值为.

12

5．【解】(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为：(A4，A5)、(A4，A1)、(A4，A2)、(A4，A3)、(A5，A1)、(A5，A2)、(A5，A3)、(A1，A2)、(A1，A3)、(A2，A3)，共10种情况．

其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：(A4，A5)、(A4，A1)、(A4，A2)、(A4，A3)、(A5，A1)、(A5，A2)、(A5，A3)，共7种情况，

7

故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率P＝. 10

(2)散点图如图所示．

可求得：

89＋91＋93＋95＋97x＝＝93，

5

87＋89＋89＋92＋93y＝＝90，

5

错误!(xi－x)2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40， 30

b＝＝0.75， 40－

a＝y－bx＝20.25，

^

故所求的线性回归方程是y＝0.75x＋20.25.

11

6．【解】(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝()x，

33

122

a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－. 3927

又数列{an}成等比数列，

42

a28121∴a1＝＝＝－＝－c，

a3233

－27

∴c＝1.

a21

又公比q＝＝，

a1321－1

∴an＝－×()n1＝－2()n(n∈N*)．

333∵Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝Sn＋Sn－1(n≥2)，bn>0，Sn>0，∴Sn－

Sn－1＝1，

∴数列{Sn}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2. 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1； 又b1＝c＝2×1－1＝1满足bn＝2n－1， ∴bn＝2n－1(n∈N*)．

11

(2)∵cn＝bn()n＝(2n－1)()n，

33

∴Rn＝c1＋c2＋c3＋?＋cn，

1111

Rn＝1×()1＋3×()2＋5×()3＋?＋(2n－1)×()n，①

3333

111111＋

Rn＝1×()2＋3×()3＋5×()4＋?＋(2n－3)×()n＋(2n－1)×()n1.② 333333由①－②得， 2111111＋

Rn＝＋2[()2＋()3＋()4＋?＋()n]－(2n－1)×()n1， 3333333

11－（）2[1－（）n1]33211＋22（n＋1）1n

化简得，Rn＝＋2×－(2n－1)×()n1＝－×()，

3313333

1－3

n＋1

∴R n＝1－n.

3

1111

(3)由(1)知Tn＝＋＋＋?＋ b1b2b2b3b3b4bnbn＋1

1111＝＋＋＋?＋ 1×33×55×7（2n－1）×（2n＋1）11111111111＝(1－)＋(－)＋(－)＋?＋(－) 2323525722n－12n＋111n＝(1－)＝. 22n＋12n＋1

n1 0001 000

由Tn＝>得n>，

142n＋12 014

1 000

∴满足Tn>的最小正整数n为72.

2 014

11－（）2[1－（）n1]33211＋22（n＋1）1n

化简得，Rn＝＋2×－(2n－1)×()n1＝－×()，

3313333

1－3

n＋1

∴R n＝1－n.

3

1111

(3)由(1)知Tn＝＋＋＋?＋ b1b2b2b3b3b4bnbn＋1

1111＝＋＋＋?＋ 1×33×55×7（2n－1）×（2n＋1）11111111111＝(1－)＋(－)＋(－)＋?＋(－) 2323525722n－12n＋111n＝(1－)＝. 22n＋12n＋1

n1 0001 000

由Tn＝>得n>，

142n＋12 014

1 000

∴满足Tn>的最小正整数n为72.

2 014

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/et03.html