电偶极辐射电场线分布的分析

第27卷第6期 咸 宁 学 院 学 报 Vo.l27,No.62007年12月 JournalofXianningCollege Dec.2007文章编号:1006-5342(2007)06-0033-05

*

电偶极辐射电场线分布的分析

程正则,彭 耐

(咸宁学院 物理系,湖北 咸宁 437100)

摘 要:从麦克斯韦基本电磁理论出发,严格推导得出电偶极辐射的电场强度表达式和电场线

表达式,根据电场线表达式作出电偶极辐射电场线的分布图,然后从电场线分布图探讨电偶极辐射电场线分布及辐射特点.

关键词:电偶极辐射;电场强度;电场线

中图分类号:O441.2 文献标识码:A

0 引 言

电偶极子辐射是电磁波辐射理论的基础,清楚地了解它的辐射规律是非常重要的.在辐射问题的实际应用中,可以计算辐射功率和辐射的方向性.电偶极辐射的电磁波是空间中的TM波,TM波在现实中有多方面的应用.电偶极子辐射是天线工程中最基本的问题.本文用数学方法严格推导得出电偶极辐射的电场线方程,得到电偶极振子电场的E线公式后,作出了不同时刻电偶极振子电场的E线图.对E线作了分类,分区分时准确地作出图形并加以讨论,最后完成对电偶极辐射过程演示.进而对电偶极振子的E线随时间的变化情况及电偶极振子的电场作较详细的分析.这对电磁波辐射理论的教学直观化有一定的意义.1 电偶极振子的构成

一对等量异号的电荷组成的带电系统,当它们之间的距离 l远比场点到它们的距离r小得多(r>>

[1]

l)时,我们把这种带电体系叫做电偶极子.当点电偶极子两端的电荷交替变化时,在其附近空间将产生交变电磁场,并使电磁场往远处辐射.通常,交变电偶极子上的电荷变化可视为一个电流元.最简单的辐射电流元是一个很短的直线电流元.设此电流元的长度 l总是远小于自由空间的电磁波电偶极子波长 .即 l<< ,则可以认为其上电流的幅值和相位处处相同,即电流均匀分布;且其直径d与其长度相比可忽略不计,即有d<< l,反之,根据电流连续性原理,电流元两端必有等值而异号的电荷积聚,相当于一个交变的电偶极子.这样对交变电偶极子的分析也就是对电流元的分析,这种短直线电流元称为电偶

[2]

极子或基本振子,也称为赫兹振子.赫兹振子的辐射也就叫做电偶极辐射.2 计算辐射场的一般方法

Jr ,t- 0当交变电流分布给定时,计算辐射场的基础是推迟势公式A(r,t)=dV (1)

4!R

若电流J是一定的频率的交变电流,有

J(r ,t)=J(r )e代入(1)式中得

-i t

(2)

-i( t-kR)

0A(r,t)=dV

4!R

式中k=w/c为波数.

(3)

令A(r,t)=A(r)e

-i t

,有

(4)

ikR

0A(r)=dV 4!R

*收稿日期:2007-05-25

ikR

在(3)和(4)式中,因子e是推迟势作用因子,他表示电磁波传至场点时有相位滞后kR.电荷密度#与电流密度J由电荷守恒定律相联系,在一定频率的交变电流情形中有i #= >>J

!

(5)

由此,只要电流密度J 给定,则电荷密度#也自然确定.因此,在这情形下,由矢势A的公式(4)就可以完全确定电磁场.磁场B可直接由A求出,

B= A

算出B后,电场E可由麦克斯韦方程求出. D 由真空中的麦克斯韦方程 H=+J

t

(6)

在电荷分布区外面,J=0,且D=%0E,B= 0H,可得 Ei B= =-2E0%0

c

从而

B(7)k

3 电偶极子的辐射电场

我们从一个很短的直线电流元来探讨电偶极辐射.

设有一时谐电流元I#l沿z轴放置,其中心位于直角坐标的原点,如图1因为#l<< ,则此电流元相当于一个时谐电偶极子,电偶极矩P=Q#l,谐变电荷Q(t)=Q0-i t[3]

e(Re),它满足上面求电磁辐射的一般理论中的电流元要求

.

E=

图1

因为I=

dQ

故有dt

-i t

d(Q0e)-i t

I===-i Q0e

dtdt所以,I=i Q

其中I和Q分别是电流和电荷的有效值相量,且其上均未打出表示复数的小点.在表达式(3)中,将体电流元换成线电流元,即

(8)

JdV =Idl

并注意到我们此处的电流元Idl 沿Z方向,则它的矢势为

-ikR-ikR

00=ez(10)A(r ,t)=

4!#lR4!#lR

由于#l<< ,在上式的积分过程中可以认为r基本不变,即R r,由于矢量势是r的函数,偶极子场具有中心对称性的关系,因而采用球坐标系较为方便,故在球坐标系中矢量势可表示为

-ikr

0I#l-ikr 0I#lA(r ,t)=eez=(cos&er-sin&e&)(11)

4!r4!r

(9)

R表示场点到源点的距离,r表示场点到振子中心(坐标中心)的距离,k表示电磁波的波数.由于我们所讨论的场点位于真空中,则k为k0,且有

k0= 0%0此时(11)可写为

A( r ,t)= 0I#l4!re-ik0r e 0I#lz=e-ik0r

4!r

(cos&er-sin&e&)

由于矢量势与坐标无关,且无 分量,由(6)式则磁场为

e

rre&

rsin&

e

B= A

=

0I#lr2sin0=4!r(ik0sin&+)e-ik0r re ArrA&0

即 B = 0I#l2i1-ikr4!k

0sink+k22e0e

0r0r

由(7)可得电场强度为

e re&e r2

sin&rrE=k0! B =sin&i %0 00

00rsin&B

=eri4! %0rik0+r2cos&-e&rsink2ik00-r-re-ik0r

即

E=I#lk3-ikr

02cos0

4! %2r2-k3 3er+sin+22-3 3ee0k00rk0rk0rk0r

考虑到P=Q#l和Q(t)=Qe-iwt

0(Re),(17)可变为

3

E=P0k02cos-i(kr- t)

+ er+sinr+k- ee0

4!%0k0rk0rk00r

k0其中P=P-i t

0e.所以有分量式:

E2P3

0k0r=4!%+cos&e-i(k0r- t)0k0rk0r3

E&=P0k0-i(kr- t)4!%rksin&e00k+-00r

k0将分量式写成实数形式:

E=2P3

0k0

r4!%cos&[33cos(k0r- t)-22sin(k0r- t)]

0k0rk0r

EP3

0k0&=4!%sin&[(11133-)cos(k0r- t)+22sin(k0r- 0k0rkkt)]

0r0rE =0

4 电偶极辐射的电场线方程电偶极辐射的电场线满足方程Erdr=E&

rd&将式(21)、(22)、(23)带入式(24),整理后得

2cos&

(-1)cos(k0r- t)+sin&d&=k0rksin(k0r- t)0rdrk22

cos(k0r- t)-sin(k0r- t)

0r

k0r(12)(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)(20)

(21)(22)(23)

(24)

(25)

将两边积分,

2

左边=lnC+2lnsin&=ln(Csin&)右边利用MATLAB积分,

右边=lnr-ln[ktan(kr- t)r+1]+将上式进行化简,

2

1(26)

12

[1+tan(kr- t)]2

(27)

r[1+tan(kr- t)]ktan(kr- t)r+1

2

Csin21=1(28)

2

r[1+tan(kr- t)]

sin2&[ktan(kr- t)r+1]cos(kr- t)]=K(29)kr

其中K=.

Ck

21sin&cos(kr- t)[+tan(kr- t)]=K(30)

kr

2sin&[sin(kr- t)+cos(kr- t)]=K(31)

kr

12

(1+22)2sin&cos[ t-kr+arctan( t-kr)]=K(32)

kr

上式中K为常量,K取不同的值,即得t时刻电偶极辐射场中不同的电场线方程.通过(21)、(22)、(23)式可知,对于r,&取相同的值,对于 取任意不同的值,场点的电场强度都相同,所以电场分布具有轴对称性,因此只需要作出Oxz平面上的电场线.5 电偶极辐射电场的图示及分析

!!3!

为了便于观察,图2、图3、图4、图5中分别按 t=0,,,K取0,%0.2,%0.4,%0.6,%0.8,

424

%1.0,%1.1,%1.2,%1.4,%1.6,根据式(32)画出Oxz平面的电场线.图中准确的也只是电场线的形状,电场线的疏密并不严格与场强大小成正比.图中的圆是K=0时由式(32)作出的,它们并不是电场线.

ln(Csin&)=ln

2

图2 ( t=0) 图3 ( t=

!

)4

) 图5 ( t=)24

从振子周围电场分布的情形来看,空间大致可分为三个区域.现分别讨论如下:5.1近区场

图4 ( t=

第6期 程正则,彭 耐 电偶极辐射电场线分布的分析37

在靠近振子中心的一个小范围内(即离振子中心的距离r= 或与波长具有同样数量级的范围内)电场的瞬时分布与一个静态偶极子的电场相近.电场线不闭合,起止于电荷存在处,形状与静电偶极子的电场一致.因此近区又称静态区,在这个区域库仑场占主要地位,称为感应场

.

当 t=0时,振子电荷之间的距离最大l=#l,正负电荷开始向中心移动,电场线起始于上面的正电

!

荷,终止于下面的负电荷,如图2所示;当 t=时,正负电荷继续向中心移动,电场线还是起始于上面

4

的正电荷,终止于下面的负电荷,同时电场线向外扩展,如图3所示;当 t=!/2时,正负电荷在中心相遇,这时振子不带电,原来与正负电荷相连接的电场线两端相联形成一个闭合圈后便脱离振子,如图4所示.接下来正电荷继续向下移动,负电荷继续向上移动,当电场线起始于下面的正电荷,中止于上面的负电荷,且正电荷达到向下最大距离,负电荷达到向上最大距离时,至此完成了前半个周期,后半个周期中的情况与此类似,仅仅是正负电荷的位置对调,前后电场线的方向相反,如图5所示.5.2远区场

在离振子足够远的地方(r>> ),我们称之为远区.这里的电场变化比较简单,电场线脱离了电荷,形成闭合的曲线,这就形成了辐射过程.当距离r增大时,波面渐渐趋于切线方向,即在远区电场强度垂直于矢径.如图6、图7中x=2圆之外的电场线.5.3过渡区

还有一部分电场线,虽然也是起止于电荷的不闭合曲线,但形状又与静电场有所不同,它有即将脱离电荷形成闭合电场线的趋势.如图6、7中x=2圆之内的电场线.

为更清晰的说明电偶极辐射的过程,根据上面的分析我们作出一根电场线的由产生到脱离电偶极子以及传播出去的示意图,如图8

.

6 结 论

本文结合偶极振子的电流元特性通过经典电磁理论的推导得出了真空中电偶极辐射的电场强度表达式,然后在计算机的帮助下,利用MATLAB的数值计算和运用解析法得出了偶极辐射电场的电场线方程.根据电场线方程作出了上半周期内六个不同时刻K(电场线方程中积分常数)取不同值的六个电场线图,在此基础上对电偶极辐射的电场进行了分析,把电偶极辐射的电场分为三个区域,即近区场(束缚电磁场)、远区场(辐射场)、过度区.通过电场线图示对电偶极辐射电场的分析,使我们更感性的更直观的认识了电偶极辐射电场的性质,这既有利于对电磁辐射理论的教学,也加深了我们对电磁现象的认识.

(下转第40页)

40咸宁学院学报 第27卷

[3]郑阿奇,曹戈,赵阳.MATLAB实用教程[M].北京:电子工业出版社,2006.[4]张昱,周绮敏等.信号与系统实验教程[M].北京:人民邮电出版社,2005.

[5]张明照,刘政波等.应用MATLAB实现信号分析和处理[M].北京:科学出版社,2006.

参考文献:

[1]郑君里,杨为理等.信号与系统[M].北京:高等教育出版社,2000.

[2]丛玉良,王宏志.数字信号处理原理及其MAT

LAB实现[M].北京:电子工业出版社,2005.

TheAnalysisofDiscreteTimeSystemsBaseonMATLAB

ZHANGZheng wen,ZHONGDong

1

1,2

(1.DepartmentofElectronic,HubeiUniversityofTechnology,Wuhan430068,China;

2.SchoolofInformationandEngineering,Xianning437100,China)

Abstract:Itisverydifficulttoanalyzethehigh ordersysteminsignalandsystembyman.ThetextprovidesushowtouseMATLABtosolvetheseproblemssimplyandconveniently,combiningtherealhigh orderdifferentialequationandsystemfunction.Keywords:MATLAB;Signalandsystem;Systemsanalysis

(上接第37页)参考文献:

[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].第2版.北京:高

等教育出版社,1985.[2]许福永,赵克玉.电磁场与电磁波[M].北京:科学出版社,2004.

[3]郭硕鸿.电动力学[M].第2版.北京:高等教育出版社,1997.[4]刘燕.谐振电偶极子电磁场的一种计算方法[J].云南教育学报,1996,(3).

[5]张占勋,茅林川.电偶极辐射的微机模拟[J].天津理工学报,1997,(3).

[6]田晓岑.电偶极子的三种实用的基本模型[J].大学物理,2002,(1).

[7]电偶极辐射电场的分析及演示[J].华中师范大学研究生学报,2006,(12).

[8]陈秉乾,舒幼生,胡望雨.电磁学专题研究[M].北京:高等教育出版社,2001,(12).

[9]吴能芝,陈义成,杨葳.电偶极辐射电场的分析及演示[J].华中师范大学学报,2006.[10]宋福,杨培林,罗世彬.电偶极振子电场的图示[J].大学物理,2002,(6).

TheAnalysisofElectricFieldLinesDistributingofElectricDipoleRadiation

CHENGZheng-ze,PENGNai

(DepartmentofPhysics,XianningCollege,Xianning437100,China)

Abstract:AccordingtotheMaxwellelectric magnetictheory,thispaperconcludesstrictlytheexpressionsoftheelectricfieldofelectricdipoleradiationandtheexpressionsofelectricfieldlineofelectricdipoleradiation,withmappingtheelectricfieldlinedistributionmapofelectricdipoleradiation.Theelectricfielddistributioncharac teristicandtheradiationcharacteristichavebeenanalyzedfromthepowerlinedistributionmap.

Keywords:Electricdipoleradiation;Electricfieldintensity;Electricfieldline

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/esp4.html