《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：3-5

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：

3-5

[命题报告²教师用书独具]

1．(2013年成都模拟)3

2

的是( ) A．2sin15°cos15° B．cos2

15°－sin2

15°C．2sin2

15°－1

D．sin2

15°＋cos2

15°解析：cos2

15°－sin2

3

2

故选B. 答案：B

2．(2013年厦门质检)已知tan α＋π4 1 ＝7，则tan α等于( ) A．－6

5

B．－1 C．－34

D.65

解析：由题tan α＝tan α＋π4π －4 tan α＋π－tanπ1－1

＝ 4 41＋tan π α4π73

，故选C.

tan41＋147³1答案：C

3．已知sin α＋π6 ＋cos α＝4 π 53，则sin α＋3 的值为( ) A.4

5B.35C.32

D.35

解析：由条件得

334

sin αα3， 225

π4134 即αcos α＝.∴sin α＝.

3 5225 答案：A

π π4．(2013年潍坊质检)已知α∈ 0，α的终边上的一点的坐标为(－4,3)，则2 3 sin α等于( )

A.

3＋43

103±43

10

B.3－3

10－3＋3

10

C.D.

π π3π4 0，α＋α＋解析：由α∈ 及三角函数的定义可知sin cos ，所以 2 3 53 5 ππ ππππ3＋43 可得sin α＝sin α＋－ ＝sin α＋cos－cos α＋A. 3 3 3 3 3310

答案：A

5．(2013年驻马店模拟)函数y＝2cos x(sin x＋cos x)的最大值和最小正周期分别是( )

A．2，π C．2,2π

B.2＋1，π D.2＋1,2π

π 2

解析：y＝2cos xsin x＋2cosx＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin 2x＋＋1，所以当2x＋

4 πππ2π

＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)2＋1，最小正周期Tπ. 4282

答案：B 二、填空题

6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α＝________.

解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．

π

∵α、β均为锐角，∴sin β＋cos β≠0.∴cos α＝sin α.∴α＝.

4π答案：

4

sin－250°cos 70°

7．计算＝________. 22

cos155°－sin25°

－sin270°－20°cos90°－20°cos 20°sin 20°解析：22

cos25°－sin25°cos 50°＝

sin 40°sin90°－50°1＝.

2cos 50°2cos 50°2

1答案：2

8．(2013年济南质检)已知sin x＝解析：∵sin x＝

5 π3π π，x∈ ，则tan x＝________.

2 4 5 2

4

， 5

5 π3π x∈ ，∴cos x＝－

2 5 2

1 π tan x－13.

∴tan x＝－tan x－ 4 1＋tan x2 答案：－3

9．(2013年温州模拟)若________.

sin α＋cos αtan α＋1

解析：由条件知3，∴tan α＝2.

sin α－cos αtan α－1∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝

tanβ－α－tan α－2－2

＝

1＋tanβ－αtan α1＋－2³2

sin α＋cos α

＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝

sin α－cos α

4＝34答案：3三、解答题

1 π 10．(2013年毫州质检)已知tan ＋α ＝2，tan β2 4 (1)求tan 2α的值；

sinα＋β－2sin αcos β

(2)求的值．

2sin αsin β＋cosα＋β解析：(1)∵tan

π＋α ＝2，

4

π

tan＋tan α

41＋tan α∴＝2.∴2.

π1－tan α1－tanα

4

2∴tan α＝13

3∴tan 2α＝2tan α

1－tanα＝31－14. 9

(2)sinα＋β－2sin αcos β

2sin αsin β＋cosα＋β ＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β

2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝

cos αsin β－sin αcos βsinβ－cos αcos β＋sin αsin βαcosβ－α＝tan(β－α)＝tan β－tan α

1＋tan β tan α

11＝23＝11＋1172³3

11．(2013年衡阳模拟)函数f(x)＝cos xx

－2 ＋sin

π－2 ，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(α)＝210 π π5α∈ 0，2 ，求tan

α4 的值．

解析：(1)f(x)＝cos －x2 ＋sin x π－2 xx ＝sin xπ2cos22sin 2＋4

.

∴f(x)的最小正周期T＝2π

14π.

2

(2)由f(α)＝2 10αα210

5sin2＋25

∴1＋sin α＝85.∴sin α＝3

5

.

又α∈

0，π2 . ∴cos α1－sin2

α＝ 1－94255

∴tan α＝sin α3

cos α＝4

tan α＋tanπ3

＋∴tan(α＋π

441

4＝7.

1－tan απ3

41－

4

12．(能力提升)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈

3π2π ，且a⊥b.

2

(1)求tan α的值；

απ (2)求cos 的值．

23

解析：(1)∵a⊥b，∴a²b＝0.

而a(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a²b＝6sinα＋5sin αcos α－4cosα＝0， 6sinα＋5sin αcos α－4cosα即0. 22

sinα＋cosα由于cos α≠0，∴6tan α＋5tan α－4＝0. 41

解得tan α＝－或tan α＝32∵α∈

2

2

2

2

2

3π，2π ，∴tan α<0，

2

4∴tan α＝－.

3(2)∵α∈

3π2π ，∴α∈ 3ππ .

2 4 2

4α1α

由tan α＝－，求得tan＝－2(舍去)．

3222α5α25

∴sin，

2525

απαπ απ∴cos ＋＝cos－sinsin

2323 23 251532515

＝－³³.

525210

[因材施教²学生备选练习]

ππ2

1．(2013年宝鸡中学月考)已知α，β∈ －，，且tan α，tan β是方程x＋6x

22

＋7＝0的两个根，则α＋β＝________.

tan α＋tan β＝－6<0，

解析：由根与系数的关系知

tan α²tan β＝7>0， tan α<0，

∴ tan β<0，

π ∴α，β∈ －0 ，∴α＋β∈(－π，0)，且tan(α＋β)＝

2

tan α＋tan β3π

＝1，故α＋β＝－.

1－tan α²tan β4

3π

答案：－4

π2

2．已知函数f(x)＝2sinnx＋2sin nxcos nx－1(n>0)的最小正周期为，则n＝________.

8π 2

解析：因为f(x)＝2 sinnx＋2sin nxcos nx－1＝sin 2nx－cos 2nx＝2sin 2nx－，

4 2ππ

所以函数f(x)的最小值，故n＝8.

2n8

答案：8

3．(2013年玉林模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝

f(x)．

(1)求f(x)的解析表达式；

(2)若α是三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域． 解析：(1)由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.

tan α＋tan βx＋y于是2tan α，即2x.

1－tan αtan β1－xy∴y＝2，即f(x)＝2. 1＋2x1＋2x(2)∵α是三角形的最小内角， π

∴0<α0<x3.

3∵

1

xx

fx1＋2x1＝2x＋

2

xx

112

设g(x)＝2x＋，则g(x)＝2x＋2 当且仅当x＝

xx2

时取等号)，

故函数f(x)的值域为 0，

2 . 4

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