《固体物理》试卷A答案

1.（20分）

设体心立方格子的结晶学晶胞（Convention cell ）的基矢是a1,b1c,令

,j,k为直角坐标的三个互垂直的单位矢

a ia,b ja,c ka

这个体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell）的三个基矢，按规定

a a a

a1 ( j k),a2 ( j k),a3 ( j k)

222

a2 a3

定义:b1 2 ,b2

b3

a1 a2 a3

13a2

a2

a2 a3 (j k)

2

2 b1 (j k)

a

理学原胞2 它们是倒点阵的固体物b2 (k i)

a (Primitivecell)的三个基矢 2 b3 (i j)

a

这个倒点阵的结晶学胞原（Convention cell）应当是显示其立方晶系对称性的最小重复单元。设它的三个基矢bi,bj,bk则bi,bj,bk组成面心立方晶胞。设它们的 是b

b 则b1 (j k)

2

b

b2 (R i)

2

b

b3 (i j)

2

即

2 b2 ,得b 2 a2a

结论基矢是a ia,b ja,C ka,的体心立方为胞对应的倒格子是结晶系晶胞为面心原胞，它的倒格子基矢

2 2bi i 2 bj j 2

aa

bk k

2

2 （10分） a

同样方法可证：面心立方格子的到格子是体心立方 （10分）

2.(20分)

V

证明：三维晶格振动的态密度为 3

(2 )V2

dq间隔内的状态数 4 qdq3

(2 )

对 ( q ) Aq 2 两边微分得到

d (q) 2Aqdq

1V2将dq和 q 代入 4 qdq30

(2 ) A

VV2

4 qdq 32

(2 )4 V1

f( ) ( 0得到 23/2

4 A

1

dq d (q)

2Aq

11/2

( )d (q)03/2

A

)1/2d (q)

1/2

0

( ) 0

当 0 时 为虚数，有 f0

( )

3. 解：(1) 势场周期=a=4b

1

m 2b22

5b1 3b

V(x) odx m 2b2 (x 4b)2 dx2 3b 0 4b

m 8b

2

x

5b3b

2

8bx 15b2dx

m22 b6

(2) 适当选取，位置座标原点，则研究（-2b,2b）间隔的V(x)，即令n=0

0 222

V(x) m (b x) 0

b x 2b b x b 2b x b

则V(x)为偶函数，展开为富利叶级数将只有余弦项

V(x) Vo Vncos

n 1

n x

;2b

m 2b2

Vo

622bn x1bn x222

Vn V(x)cosdx m (b x)cosdx oo2b2bb2bm 2b2n x2

(b x)cosdx o2b2b

m 2b2 xm 2 22b2b3b 2

21 (b x)cosdx b (1 ) 2 ob2bb 16m 2b2

2

2 2m 2b2

o(b x)cos2bxdx 2

b

2

2

s

ik R

J(Rs)es

m 2

22

b

(20分) 4.

面心立方晶格的s态原子能级相对应的能带函数E(k) s J0

因为s原子态波函数具有球对称性J J(R) 0*( R)[U( ) V( )] 0( )}d 0

1sisi

ik Rss

s01

Rs Nearest

任选取一个格点为原点 最近邻格点有12个 12个最邻近格点的位置

aaaa a a ,,00,,,0, 2 22222 aaaaa 0, a, , ,0, 0, 22222 2

aaa a, 0, a, a,,00,

22222 2

aaaa a, a,0 0, , ,0,

2222 2 2

a a i R s j 0 k 得到 22 ik Rss

s01

Rs Nearest

E(k) J J

Rs Nearest

e

E(k) J J

e

a a a i(kxi kyj kzk) (i j 0k) i(kx ky)

ik Rs22 e e e2 kyakyakxakxa

isin)(cos isin) (cos2222

类似的表示共有12项

归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带 s

E(k) s J0

kyakyakxakxakzaka

4J1(coscos coscos coscosz)

222222

体心立方格子用类似的方法可以得到

kakaka Es(k) s J0 8J1cosxcosycosz

2 2 2 （20分）

5. 正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.（10分）

b2、 b3, 而波矢空间的基6. 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为b1、

b2/N2、 b3/N3, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢a1、 a2、 a3方向晶体的原矢分别为b1/N1、

胞数目.

倒格空间中一个倒格点对应的体积为

b1 ( b2 b3) *,

波矢空间中一个波矢点对应的体积为

b3b1b2 *

( ) N1N2N3N,

即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的. （10分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ery4.html