D7_2可分离变量微分方程

第二节 可分离变量微分方程可分离变量方程

第七章

dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0转化

解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x目录 上页 下页 返回 结束

分离变量方程的解法:

g ( y ) d y f ( x) d xg ( ( x)) ( x) d x f ( x) d x两边积分, 得

①

设 y= (x) 是方程①的解, 则有恒等式

f ( x) d x

设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有 ②

当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 说明由②确定的隐函数 y= (x) 是①的解. 同样, 当 F (x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x= (y) 也是①的解.

称②为方程①的隐式通解, 或通积分.目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求微分方程

的通解.

dy 2 3 x d x 说明: 在求解过程中 解: 分离变量得 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得即

令C e

C1

ln y x 3 ln C( C 为任意常数 )

( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )目录 上页 下页 返回 结束

例2. 解初值问题

x y d x ( x 2 1) d y 0

y(0) 1

dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x两边积分得即

y x2 1 C

( C 为任意常数 )

由初始条件得 C = 1, 故所求特解为

y x 1 1目录 上页 下页 返回 结束

2

例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 u x y 1, 则

故有 即 解得

1 u sin 2 u

tan u x C

所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )

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练习:解法 1 分离变量 积分 即

e e C x y ( e C ) e 1 0 ( C < 0 ) 令 u x y, u 1 eu

y

x

解法 2故有 积分

(1 eu ) eu 1 eu

du

u ln (1 eu ) x C x y ) y C ( C 为任意常数 ) 所求通解: ln (1 e目录 上页 下页 返回 结束

例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM M ( 0 ) dt 解: 根据题意, 有 M t 0 M 0 (初始条件) 求在

对方程分离变量, 然后积分:

t

MM0 t

得 ln M t ln C , 即利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为

M Ce

C M0M M0 e

. O目录 上页 下页 返回 结束

t

例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. dv 解: 根据牛顿第二定律列方程 m mg k v dt 初始条件为 v t 0 0 对方程分离变量, 然后积分 : 得

( 此处 mg k v 0 )

1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t mg k m 代入上式

后化简, 得特解 v (1 e ) k目录 上页 下页 返回 结束

例6. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流 出, 小孔横截面积 开始时容器内盛满了水, 求水 从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变 化规律. 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为

h h r1m

流量系数

孔口截面面积 重力加速度

O h dh

即 设在

dV k S 2 g h d t内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),目录 上页 下页 返回 结束

对应下降体积 d V r 2 dh

r 12 (1 h)2 2 h h 2

d V π (2h h ) dh2

h h r1m

因此得微分方程定解问题:

O h dh将方程分离变量:dt

π k S 2g

(2 h h 2 ) d h2

1

3

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两端积分, 得5 4 3 2 t ( h2 h2 C ) k S 2g 3 5 14 利用初始条件, 得 C , 因此 15

h h r1m

π

O h dhht 0

14 π 10 3 3 5 2 t (1 h h 2 ) 7 7 15k S 2 g

1

则得容 以k 0.62, S 10 4 m2 , g 9.8 m s 2 代入上式， 器内水面高度 h 与时间 t 的关系:5 10 3 3 t 1.068 10 (1 h 2 h 2 ) (s) 7 7 可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)

4

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内容小结1. 微分方程的概念

微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .目录 上页 下页 返回 结束

3. 解微分方程应用题的方法和步骤(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程例4 例5

3) 根据微量分析平衡关系列方程

例6

(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.

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思考与练习求下列方程的通解 :

y x dy dx 提示: (1) 分离变量 2 2 1 y 1 x (2) 方程变形为 y 2 cos x sin y y ln tan 2 sin x C 2

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