2017静安高三数学二模

2016学年度第二学期高中教学质量检测高三数学试卷

本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否

则一律得零分． 1．已知集合A??x|lnx?0?，B?x|2?3，则A?B?________．

x??

?x?0,?2．若实数x，y满足约束条件?y?x,则z?x?3y的最大值等于________．

?2x?y?9?0,?

3．已知(x?)展开式中x的系数为84，则正实数a的值为 .

4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．

5．设f(x)为R上的奇函数．当x?0时，f(x)?2?2x?b (b为常数)，则f(?1)的值为________．

xax73??x?t,?x?1?5cos?,6．设P,Q分别为直线?（t为参数）和曲线C：?（?为参数）的点，则PQ的最小

y?6?2t???y??2?5sin?值为 ．

1

7．各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn． 对任意n?N，mn?(an?1?an,2an?1)都是直线y?kx的法向量．若limSn存在，则实数k的取值范围是________．

n??*

8．已知正四棱锥P?ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．

9．设a?0，若对于任意的x?0，都有

10．若适合不等式x2?4x?k?x?3?5的x的最大值为3，则实数k的值为_______．

11．已知f(x)?11??2x，则a的取值范围是________． ax11?x*，数列{an}满足a1?，对于任意n?N都满足an?2?f(an)，且an?0，若a20?a18，

21?x则a2016?a2017的值为_________．

2

二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应

题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

12．已知a,b?R,则“log1a1b3a?log3b”是“(2)?(2)”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

13．已知复数z满足

1?zi?1?z（i是虚数单位）

，则z的虚部为（ ）． A．i B．－1 C．1 D．－i[

14．当k???0,1??2??时，方程x?k?x?1?的根的个数是（ ）

． A．1 B．2 C．3 D．4

15．曲线C为：到两定点M(?2,0)、N(2,0)距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的个数为（（1）曲线C一定经过原点；

（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称； （3）?MPN的面积不大于8；

（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内．

A．0 B．1 C．2 D．3

3

．

）三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

如图，等腰Rt?AOB，OA?OB?2，点C是OB的中点，?AOB绕BO所在的边逆时针旋转一周． （1）求?ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；

（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为?，且满足AC?BD，求?． 4

17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

设函数f(x)?cos?2x?????2??sinx． 3?（1）求函数y?f(x)的最大值和最小正周期； （2）设A、B、C为?ABC的三个内角，若cosB?

5

11?C?，f????，求sinA．

43?3?

18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间n个月的二次函数g(n)?n?kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．

（1）求前8个月的累计生产净收入g(8)的值；

（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．

6

219．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）

设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，F1F2?2m，动点P满足：

|PF1|?|PF2|(1?cos?F1PF2)?6m2．

（1）求证：动点P的轨迹?为椭圆；

（2）抛物线C满足：①顶点在椭圆?的中心；②焦点与椭圆?的右焦点重合．

设抛物线C与椭圆?的一个交点为A．问：是否存在正实数m，使得?AF1F2的边长为连续自然数．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

7

20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）

*已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1??9，a2为整数，且对任意n?N都有Sn?S5．

（1）求{an}的通项公式；

n为奇数,?an,4*n?N（2）设b1?，bn?1??（），求{bn}的前n项和Tn； n3??bn?(?2),n为偶数（3）在（2）的条件下，若数列{cn}满足cn?b2n?b2n?1??(?1)()n12an?5(n?N*)．是否存在实数?，使得数列

{cn}是单调递增数列．若存在，求出?的取值范围；若不存在，说明理由．

8

静安区2016学年度第一学期高中教学质量检测

高三数学试卷评分标准与答案

一、1．?1,log23?； 2．12； 3．2；

53

4．； 5．?3 6．； 55?2?25

? 7．???,?1???0,???； 8．； 9．?,??5?4???10．8； 11．2?1． 2z 二、12．A； 13．C； 14．C； 15．B．

三、16．解：（1）V?14???22?2?1???;﹒﹒﹒3分 33S?1?2??222?3?2?22?3﹒﹒3分 2x

y

????（2）如图建立空间直角坐标系，得

A?2,0,0?，C?0,0,1?，B?0,0,2?

由三角比定义，得D?2cos?,2sin?,0?﹒﹒﹒﹒1分

则，AC???2,0,1?，BD??2cos?,2sin?,?2?﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

1AC?BD??4cos??2?0，得cos???，??[0,2?)， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

22?4?所以，??．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 或3316．解：（1）因为f(x)?cos?2x? ?cos2xcos????2??sinx 3??3?sin2xsin?3?1?cos2x ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分 2 ?13?sin2x， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 221?3，最小正周期?． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 2所以，函数y?f(x)的最大值为

（2）由f?2C332C1?C?1?，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分 sin??，得sin???3234?3?22解得，C??2或C??（舍去）． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

因此，sinA?cosB?

1． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 39

18．解：（1）据题意g(3)?3?3k?309，解得k?100，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

第5个月的净收入为g(5)?g(4)?109万元，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 所以，g(8)?g(5)?3?109?852万元．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

2?n2?100n，（n?5）（2）g(n)??

?.n?5）?g(5)?(n?5)?g(5)?g(4)（?n2?100n，（n?5）即g(n)??﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

109n?20，（n?5）?要想投资开始见效，必须且只需

n(n?1)??g(n)?500?100?70n??3n??2?

2??即g(n)?n?68n?400?0.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 当n?1,2,3,4,5时，n?100n?n?68n?400?0,

即n(n?16)?200不成立；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 当n?5时，109n?20?n?68n?400?0,即n(n?41)?420，﹒﹒﹒﹒2分 验算得，n?9时，n(n?41)?420． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 所以，经过9个月投资开始见效． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

2222F2构成三角形则 19．解：（1）若点P、F1、222|PF1|?|PF2|?|F1F2|，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ?cos?F1PF2?2|PF|?|PF|12222|PF|?|PF|?|FF|1212?|PF)?6m2．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 1|?|PF2|(1?2|PF1|?|PF2|整理得(|PF1|?|PF2|)?16m，即|PF1|?|PF2|?4m(4m?2m?0)．1分

22F2不构成三角形，也满足|PF1|?|PF2|?4m(4m?2m?0)．1分 若点P、F1、所以动点P的轨迹为椭圆．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

10

x2y2??1． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 （2）动点P的轨迹方程为224m3m抛物线的焦点坐标为(m,0)与椭圆的右焦点F2重合． 假设存在实数m，使得?AF1F2的边长为连续自然数． 因为|PF1|?|PF2|?4m?2|F1F2|，

不妨设||AF1|?2m?1，|F1F2|?2m,|AF2|?2m?1(m?N)． ﹒﹒﹒﹒﹒2分 由抛物线的定义可知|AF2|?2m?1?xA?m，解得xA?m?1，﹒﹒﹒﹒﹒1分 设点A的坐标为(m?1,yA)，

*?yA2?4m(m?1)?2 ?(m?1)2﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 yA??1?3m2?4m2整理得7m?22m?3?0，解得m?21或m?3．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 (舍）7所以存在实数m?3，使得?AF1F2的边长为连续自然数．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 20．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得??a5?099，??d?,﹒ ﹒﹒﹒2分

54?a6?0?a2?Z?d?2 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ?an?2n?11． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

nn（2）当n为偶数时，bn?bn?1?(?2)?2． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

① 当n为奇数时(n?3)，Tn?b1?(b2?b3)?(b4?b5)???(bn?1?bn)

?b1?2?2???224n?144(1?4)2n?1???． 31?43n?12当n?1时也符合上式． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

2n2n?an?1??2n?13 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分 ② 当n为偶数时， Tn?Tn?1?bn?33?2n?1,n为奇数，??3 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分 ?Tn??n?2?2n?13，n为偶数.??3

11

（3）cn?4??(?1)()nn14n?3

n由题意得，cn?1?cn?3?4?80?(?)?0对任意n?N都成立，

14n*32n?4， 8032n33当n?1时，(??4)max??，???﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

805532n② 当n为偶数时，???4，

8032n4848当n?2时，(?4)min?，??．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

8055348综上：??(?,)．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

55① 当n为奇数时，???

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