概率论公式总结

概率论与数理统计

第1章 随机事件及其概率

加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 减法公式 乘法公式 P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 独立性 P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A) 全概公式 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C） P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 P(Bi/A)?贝叶斯公式 P(Bi)P(A/Bi)?P(B)P(A/B)jjj?1n，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 P(Bi)，（i?1，2，…，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 第二章 随机变量及其分布

连续型随机变量的分布密度 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 ， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 ??F(x)??xf(x)dx密度函数具有下面性质：离散连续随机量的系

f(x)?0 。 ???f(x)dx?1 ??与型变关P(X?x)?P(x?X?x?dx)?f(x)dx。积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 - 1 -

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0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)?P(X?x)称为随机变量X的分布函数， n?在重贝努里试验中，设事件发生的概率为发生AAp。事件本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概P(aX?b)?F(b)?F(a)(a,b] 的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,?,n。 率。分布函数 F(x)表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 kkn?kP(X?k)；?2Pn(k)?Cnpq， 1?x其中 x2时，有1. 。 是单调不减的函数，即F(x)0?F(x)?1,???x??? （5）八 limF(x)?1；4。 1?)p,0lim?pF?1,2,F?n，F(x1)?F(x2)；3。qF?(???(1x,)k??00,，(,??)?大分布 二项分布 x???x???称随机变量5. 服从?参x数为的二0项分布。记为XP)是右连续的；F(x?0)?F(x)，即F(x则(X)?Fn(x，)?pF(x?)。对于离散型X~B(n,p)。当n?1时，P(X?k)?xpkq1?k，k?0.1，这随机变量，F(x)??pk；对于连续型随机变量， 。F(x)??f(x)dx xk?x就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 ??设随机变量X的分布律为 泊松分布 P(X?k)??kk!e??，??0，k?0,1,2?， 则称随机变量X服从参数为?的泊松分布，记为X~?(?)或者P(?)。 超几何分布 kn?kk?0,1,2?,lCM?CN?M P(X?k)?,nl?min(M,n)CN随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 均匀分布 P(X?k)?qk?1p,k?1,2,3,?，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数 1，即 b?a当a≤x1

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指数分布 f(x)? ?e??x, x?0, 其中??0，则称随机变量X服从参数为?的指数分布。 X的分布函数为 记住积分公式 ??x1?e, x?0, ?? n?xF(x)? xedx?n! 0, x<0。 0 0, x?0, ? 正态分布 设随机变量X的密度函数为 1e 2??其中?、??0为常数，则称随机变量X服从参数为?、?的f(x)??2X~N(?,?)。 正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 (x??)22?2f(x)具有如下性质： 1° f(x)的图形是关于x??对称的； 2° 当x??时，f(?)?12??2X~N(?,?)若，则X的分布函数为 为最大值； F(x)? ?(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 12???x?(t??)22?2??edt12Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。如果X~N(?,?)，则 2 X??~N(0,1)? 。 函数分布 离散型 ?x????x???P(x1?X?x2)???2????1? ??????已知X的分布列为 x1,x2,?,xn,?X， P(X?xi)p1,p2,?,pn,?Y?g(X)的分布列（yi?g(xi)互不相等）如下： g(x1),g(x2),?,g(xn),?Y， P(Y?yi)p1,p2,?,pn,?若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。

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连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布

连续型 对于二维随机向量??(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(???x???,???y???)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a

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函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) 态分布的和仍为正态分布（?1??2,?1??2）。 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 22???Ci?i， ?2??Ci2?i2 ii Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若X1,X2?Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x)，Fx2(x)?Fxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： Fmax(x)?Fx1(x)?Fx2(x)?Fxn(x) Fmin(x)?1?[1?Fx1(x)]?[1?Fx2(x)]?[1?Fxn(x)] 设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 W??Xi2我们称随机变量W服从自由度为n的?2分布记为 i?1n?分布 2W～?(n) 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 2?2分布满足可加性：设Yi??2(ni),则Z??Yi~?2(n1?n2???nk). i?1k t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且X~N(0,1),Y~?(n),可以证明函数T?2XY/n我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。t1??(n)??t?(n) - 5 -

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