高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案

人教版高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案

教案说明：

设计思想：建构主义认为，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的知识的过程。学生不是被动的信息吸收者，而是意义的主动建构者，这种建构不可能由其他人代替，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。教师应该时刻注意让学习任务始终处于学生的“最近发展区”，并提供一定的“支架”和辅导。学生应该在教师的帮助下，发展自己控制学习过程的能力。因此，本节课教师做为学习的引导者，通过同学之间的合作交流激发学生亲身经历数学建构的过程。

教学内容分析： 数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，本章对数列的定位是做为一种函数结合数列自身的特点来学习的，在通过实际问题引入数列概念后，使学生体会数列的函数背景，感受数列是研究现实问题情景的数学模型。等比数列做为特殊的数列也是函数，实际上就是指数函数，是反映自然规律的重要的数学模型之一，与等差数列一样在现实生活中也有广泛的应用。因此，数列是高中数学的重要内容，同时也是高考重点考察的内容。等比数列是在等差数列学习的基础上进行的，对应指数函数的模型，因此对思维能力有更进一步的要求。一方面考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项及等比数列的性质的灵活运用，这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿；另一方面常和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起综合，加以导数和向量等新增内容，使数列题更有了施展的舞台；因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求的信息,解题过程所用的方法都相当丰富,并且对于考查逻辑推理, 演绎证明,运算求解,归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材.等比数列的概念和通项公式做为等比数列学习的基础，更起到至关重要的作用。

本节课的教法特点：学生对等差数列的定义和基本性质都已经有了初步的理

解和认识，因此本节内容主要采用观察，思考，类比，归纳，探究得出结论的方法进行教学，在教学活动中注重创设问题情景，激发学生亲身经历数学建构的过程。教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。引导学生探索与发现等比数列的特点，通项公式推导与等差数列类比进行数学建构的过程是教学的重点。

教学目标分析：本节课选择了学生身边熟悉的、感兴趣的问题，激励学生对知识的渴望与追求。体现了数学与生活的联系。通过与指数函数图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的联系，借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识之间的联系，培养学生用已知去研究未知的能力。另一方面有利于培养学生的类比推理能力，从不同的角度引导学生去类比两类数列，同时也体现了等比数列与指数函数，方程等数学知识的横向联系。等差数列与等比数列之间存在很多类似的大方，但也有本质的不同，学生容易把二者混淆，因此在教学中始终强调等比数列的定义和体现等比数列本质的公比q(q?0)。

课题：等比数列的概念和通项公式

一、教学目标

1．通过与等差数列定义类比及具体实例了解并掌握等比数列的定义。 2．掌握等比中项的特点及应用。

3．理解等比数列的通项公式及推导过程及方法；了解通项公式与指数函数之间的关系，并能用通项公式解决简单的等比数列问题。

4．通过实例，类比理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力。 5． 充分感受数列是反映现实生活的模型，认识到等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，与等差数列一样在现实生活中也有广泛的应用，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，提高学生解决简单实际问题的能力。

二、教学重点、难点

1．重点：理解等比数列的定义及通项公式的推导及应用。

2．难点：在教学过程中渗透建构的思想，为学生搭建旧知识与新知识之间的桥梁，引导学生在原有知识的基础上，思考类比，探究发现解决问题的方法。理解等比数列与指数函数的关系及其通项公式的推导和通项公式灵活运用。

三．教学方法与手段

利用多媒体技术，采用观察，思考，类比，归纳，探究得出结论的方法进行教学，发挥学生的主体作用，做好探究性活动。

四、教学流程

创设情景，从具体实例引入新课

得到等比数列的定义

合作探究等比中项的定义

合作探究等比数列的通项公式

自主探究等比数列与指数函数的关系

例题训练

小结类比等差数列与等比数列。

五．教学情景设计

（一）复习回顾

等差数列的定义，等差中项，等差数列的通项公式及推导。

设计意图：本节课主要通过类比等差数列的定义，等差中项，等差数列的通项公式及推导期望得到等比数列定义，等比中项，等比数列的通项公式。引导学生回顾旧的熟悉的知识，为新知识的理解掌握奠定基础。 （二）新课引入

1. “一尺之棰,日取其半,万世不竭”用现代汉语叙述这段话的意思，“日取其半”得到一个怎么样的数列？

设计意图：由“日取其半”发现等比关系，引导学生发现问题所蕴含的等比关系，写出一个无穷等比数列。

2. 折纸，纸的厚度分别成什么样的数列？

设计意图：由纸的厚度发现等比关系, 引导学生发现问题所蕴含的等比关系，写出一个无穷等比数列。

3.再给出两个数列，观察这四个数列具有怎么样的特点？

设计意图：类比发现数列中的等比关系，概括给出等比数列的定义。通过观察，归纳，猜想认识到等比数列的特性，引导学生类比等差数列发现等比关系和概括出等比数列的定义。

教师引导总结：总结学生的结论，得到等比数列的定义。

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母

q表示（q?0）。

这个时候要引导学生明确两点：

1.对于公比q要强调它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比次序颠倒。

2. q是一个常数，不仅可以是正数，也可以是负数，顺势引导提问可否为0？ （二）合作探究

问题1. 公比为什么不能等于零？首项能不能为0？等比数列中能否有0这样的项呢？

设计意图：引导学生发现等比数列的首项和公比都不能等于零，并且任意一项都不能为零。(独立思考，合作交流，假设存在有零的等比数列会带来什么样的矛盾？后一项与前一项的比，分母为0了。)

问题2. 是否存在一个数列既是等差数列也是等比数列？

设计意图：引导学生发现一个特殊的数列--常数列即公比等于1的数列同时具有等差等比的性质。（引导学生与学过的知识进行比较，等到新的结论，与旧的知识进行联系，进行知识建构。）

问题3，如果q??1，这样的等比数列是什么样的数列呢？

设计意图：鼓励学生发现一些特殊的等比数列，使学生对等比数列有更深入的认识，教师表扬激励学生深入探索。

问题4. 如果q?0这样的等比数列是什么样的数列呢？各项的符号是什么样的，应该怎样确定，由哪些因素决定？

设计意图：引导拓宽学生对等比数列的认识，逐步引导学生明白首项和公比是决定一个等比数列的重要条件。

问题5. 如果q?0这样的等比数列是什么样的数列呢？是否q?0这个数列的每一项就都大于0？

设计意图：使学生初步感受有的等比数列具有单调性，有的数列不具有单调性，继续拓宽学生对等比数列的认识。再次确认首项和公比是决定一个等比数列的重要条件。教师继续引导探究，鼓励学生 问题6. 若两个等比数列相同需要什么条件？

设计意图：说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件，为等比数列通项公

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