导数综合题集锦1

导数综合题集锦

1．已知函数f(x)?x?alnx,其中a为常数，且a??1.

（Ⅰ）当a??1时，求f(x)在[e,e2]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若f(x)?e?1对任意x?[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围. 2. 已知函数f(x)?alnx?1,a?R. x （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值； （II）求函数f(x)的单调区间；

（III）当a=1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5. 3. 已知f(x)?x3?6ax2?9a2x（a?R）． （Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）当a?0时，若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数f(x)?13x?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R). 3 （I）若x=1为f(x)的极值点，求a的值；

（II）若y?f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为x?y?3?0，

（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；

（ii）求函数G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e(m?R)的单调区间

5．已知函数f(x)?lnx??xa. x （I）当a<0时，求函数f(x)的单调区间；

（II）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是,求a的值.

32mx3?ax2?(1?b2)x,m,a,b?R 6．已知函数f(x)?3 （1）求函数f(x)的导函数f?(x)；

（2）当m?1时，若函数f(x)是R上的增函数，求z?a?b的最小值；

（3）当a?1,b?2时，函数f(x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范

围.

7．已知函数f(x)?px?p?2lnx. x （1）若p?2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线；

（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （3）设函数g(x)?2e,若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求实x1x数p的取值范围。

28.设函数f(x)?p(x?)?2lnx,g(x)?x.

（I）若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点(1,0)，

求实数p的值；

（II）若f(x)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围。 9. 已知函数f(x)?12x?2x,g(x)?logax(a?0,且a?1),其中a为常数，如果2h(x)?f(x)?g(x)在其定义域上是增函数，且h?(x)存在零点（h?(x)为h(x)的导函

数）。

（I）求a的值；

（II）设A(m,g(m)),Bn(,g?(n)m)是(函n数y?g(x)的图象上两点，

g?(x0)?g(n)?g(m)(g?(x)为g(x)的导函数),证明:m?x0?n.

n?m2210. 设函数f(x)?xmlnx，h(x)?x?x?a。

（Ⅰ）当a=0时，f(x)?h(x)在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当m=2时，若函数k(x)?f(x)?h(x)在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；

（Ⅲ）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

11. 已

知函数

f(x)?(x2?3x?3)?ex定义域为[?2,t](t??2),设f(?2)?m,f(t)?n.

（I）试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[?2,t]上为单调函数； （II）求证：n?m；

（III）求证：对于任意的t??2,总存在x0?(?2,t),满足f?(x0)22?(t?1)，并确定3ex0这样的x0的个数。

12. 已知函数f(x)?x2?alnx在(1,2]是增函数,g(x)?x?ax在(0,1)为减函数. （1）求f(x)、g(x)的表达式；

（2）求证:当x?0时,方程f(x)?g(x)?2有唯一解； (3）当b??1时,若f(x)?2bx?1在x∈(0,1]内恒成立,求b的取值范围. 2x13. 已知函数f'(1)?0,且f'(x)?0在R上恒成立. （1）求a,c,d的值； （2）若h(x)?32b1x?bx??,解不等式f'(x)?h(x)?0; 424[m,m?2]上有最小值－5？若 （3）是否存在实数m，使函数g(x)?f'(x)?mx在区间 存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 14. 已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围． 15. 设函数f(x)??2?31?3?lnx?lnx?ln(x?1)． 1?x（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+?）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

16. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=?(rad)，将y表示成?的函数关系式； ②设OP?x(km) ，将y表示成xx的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 17.已知函数f(x)?DOPCAB

lnx?a(a?R) x（Ⅰ）求f(x)的极值；

（Ⅱ）若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点，求实数a的取值范围。

18.已知函数f(x)?ln(ax)?ln(ax)?ln(x?1), (a?0,a?R) x?1（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）当a>0时，若存在x使得f(x)?ln(2a)成立，求a的取值范围.

19.某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系： 39(2x2?29x?107) (5?x?7) Q＝ 198?6x (7?x?8)

x?5 （1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式； （2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.

2x2?1x20.已知函数g(x)?的图像关于原点成中心对称 ，设函数f(x)??cx?1．

x?cg(x)lnx(1)求f(x)的单调区间;

xm(2)已知e?x对任意x?(1,??)恒成立．求实数m的取值范围(其中e是自然对数的

底数)．

21.设函数f(x)?(x?1)?blnx，其中b为常数．

21时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2（Ⅱ）若函数f(x)的有极值点，求b的取值范围及f(x)的极值点；

（Ⅰ）当b?（Ⅲ）若b??1,试利用（II）求证：n?3时，恒有

222.已知函数f(x)?ln(x?1),g(x)?11。 ?lnn?1?lnn???2nn1?a. x2?1（1） 求g(x)在P(2,g(2))处的切线方程l;

（2） 若f(x)的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；

y N （3） 求方程f(x)?g(x)的根的个数.

23.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),

O P M x

公共设施边界为曲线f(x)?1?ax2(a?0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t,f(t))

（1）将?OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S(t)； （2）若在t?1处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值. 2?2x?b24．已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数．

2?a(1) 求a,b的值；

(2)若对任意的t?R, 不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立, 求k的取值范围.

25．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)?x(x?2). （1）求f(?1)，f(2.5)的值；

（2）写出f(x)在?3,3上的表达式，并讨论函数f(x)在?3,3上的单调性； （3）求出f(x)在?3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. 26．已知函数f(x)?3????????x(x?a)（x?0，a?R）

求函数f(x)的单调区间；

求函数f(x)在1,8上的最大值和最小值． 27．已知函数f?x?为定义在

R

上的奇函数，且当x?0时，

??

f?x???sinx?cosx??2cos2x，

2求x?0时f?x?的表达式；

若关于x的方程f?x??a?o有解，求实数a的范围。

28．已知函数y?f(x),x?N?，满足：①对任意a,b?N?，都有

af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a)；

②对任意n∈N 都有f[f(n)]?3n． （Ⅰ）试证明：f(x)为N?上的单调增函数； （Ⅱ）求f(1)?f(6)?f(28)； （Ⅲ）令an?f(3n),n?N?，试证明：

*

n1111??????.

4n?2a1a2an429．已知函数f(x)?ln(ax?1)?x3?x2?ax． （Ⅰ）若x?

2

为y?f(x)的极值点，求实数a的值； 3

（Ⅱ）若y?f(x)在[1,??)上为增函数，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若a??1时，方程f(1?x)?(1?x)3?b有实根，求实数b的取值范围． x30．已知函数y?f(x),x?R满足f(x?1)?af(x)，a是不为0的实常数。 （1）若当0?x?1时，f(x)?x(1?x)，求函数y?f(x),x??0,1?的值域； （2）在（1）的条件下，求函数y?f(x),x??n,n?1?,n?N的解析式；

（3）若当0?x?1时，f(x)?3x，试研究函数y?f(x)在区间?0,???上是否可能是单调函数？

若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由。

31．已知函数f?x???x?ax?bx?c在???,0?上是减函数，在?0,1?上是增函数，函数

32f?x?在R上有三个零点，且1是其中一个零点．

（1）求b的值；

（2）求f?2?的取值范围；

（3）试探究直线y?x?1与函数y?f?x?的图像交点个数的情况，并说明理由． 32．定义在R上的函f(x)?x3?ax2?bx(a,b为常数）在x=－1处取得极值，且f(x) 的图像在P1,f?1?数处的切线平行与直线y?8x. （1）求函数f?x?的解析式及极值； （2）设k?0，求不等式f?x??kx的解集；

??f?sin???f?cos???（3）对任意?,??R,求证：112. 2733．已知函数f(x)?ln(“若 1?ex)?x(x?R)有下列性质：

x?[a,b],则存在x0?(a,b)，使得

f(b)?f(a)?f?(x0)”成立。

b?a （1）利用这个性质证明x0唯一；

（2）设A、B、C是函数f(x)图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由。

34．已知函数f(x)?ax(a?R),g(x)?lnx?1. （1）若函数h(x)?g(x)?1?xf(x)?2x存在单调递减区间，求a的取值范围； 2 （2）当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．

35．设函数f(x)的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a>0，使f(a)=1，又f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)，

（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；

（3）若存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立，则都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由。

?36.设对于任意的实数x,y，函数f(x)，g(x)满足f(x?1)1f(x，) 且3f(0)?3,g(x?y)?g(x)?2y，g(5)?13，n?N*

（Ⅰ）求数列{f(n)}和{g(n)}的通项公式；

（Ⅱ）设cn?g[nf(n)]，求数列{cn}的前项和Sn

;2（Ⅲ）设F(n)?Sn?3n，存在整数m和M,使得对任意正整数n不等式m?F(n)?M恒成立,求M?m的最小值.

37．对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间[a,b]?D和常数c，使得对任意

x1?[a,b]，都有f(x1)?c，且对任意x2∈D，当x2?[a,b]时，f(x2)?c恒成立，则称

函数f(x)为区间D上的“平底型”函数.

（Ⅰ）判断函数f1(x)?|x?1|?|x?2|和f2(x)?x?|x?2|是否为R上的“平底型”函数？ 并说明理由；

（Ⅱ）设f(x)是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t?k|?|t?k|?|k|?f(x) 对一切t?R恒成立，求实数x的取值范围； （Ⅲ）若函数g(x)?mx?x2?2x?n是区间[?2,??)上的“平底型”函数，求m和n的

值. .

38．设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为?函数。

e?x（1）试判断函数f1(x)=xsinx f2(x)=x中哪些是?函数，并说明理由；

e?1（2）求证：若a>1，则函数f(x)=ln(x+a)-lna是?函数。

39．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的： (1) 函数f(x)的定义域是[0,??)； (2) 函数f(x)的值域是[?2,4)；

(3) 函数f(x)在[0,??)上是增函数．试分别探究下列两小题： （Ⅰ）判断函数f1(x)?x?2(x?0)，及f2(x)?4?6(?)(xx0?)说明理由．

（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)，是否对于任意的x?0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

2

12是否属于集合A？并简要

n?N．40．已知f(x)是定义在?0,?∞?的函数，满足f(x)?2f(x?1)．设In??n,n?1?，当

x??10,?时，f(x)?x?x2．分别求当x?I1、x?I2、x?In??n,n?1?时，f(x)的表

达式f1(x)、f2(x)、fn(x)． 41. 已知函数f(x)?33x?x(a?R，a?0）. a （I）求f(x)的单调区间；

（II）曲线y?f(x)在点(3a,(f3a)）处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标； （III）若a?0,x1?a，曲线y?f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与x轴的交点为3（x2,0），试比较x1与x2的大小，并加以证明.

a?x21???lnx?a?R,x?[,2]? 42. 已知函数f(x)=x2??1(Ⅰ)当a?[?2,)时, 求f(x)的最大值;

4(Ⅱ) 设g(x)?[f(x)?lnx]?x2, k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k?1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

43..已知函数f（ｘ）＝

1?ln?x?1?

x(1)求函数的定义域;

(2)确定函数f（ｘ）在定义域上的单调性,并证明你的结论；

k恒成立, 求正整数k的最大值。 x?144. 已知函数f(x)?logax和g(x)?2loga(2x?t?2),(a?0,a?1,t?R)的图象在

x?2处的切线互相平行.

(3)若当ｘ>０时，f（ｘ）＞(Ⅰ) 求t的值；

（Ⅱ）设F(x)?g(x)?f(x)，当x?1,4时，F(x)?2恒成立，求a的取值范围. 45. 已知函数f(x)?aln(x?1)???2x?b的图象与直线x?y?2?0相切于点(0,c)。 x?1（1）求a的值；

（2）求函数f(x)的单调区间和极小值。

46. 已知函数．f(x)?2x?ax与g(x)?bx?cx的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线．

(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；

(2)设F(x)?mg(x)?ln(x?1)，其中m?0，求F(x)的单调区间．

8x3247. 已知函数f(x)?x，g(x)?ln(1?x)，h(x)? （1）证明：当x?0时，恒有f(x)?g(x); （2）当x?0时，不等式g(x)?3

2

x. 1?xkx(k?0)恒成立，求实数k的取值范围; k?x48. 已知函数f(x)=x＋bx＋cx＋d有两个极值点x1=1, x2=2,且直线y=6x＋1与曲线y=f(x)相切于P点.

(1)求b和c 郝进制作 (2)求函数y=f(x)的解析式;

(3)在d为整数时, 求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.

49. 已知函数f(x)=x3－3ax(a∈R)． (I)当a=l时，求f(x)的极小值；

(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围； (Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 50. 已知函数y?|x|?1，y?11?t)(x?0) 的最小值恰好是x2?2x?2?t，y?(x?2x方程x3?ax2?bx?c?0的三个根，其中0?t?1． （Ⅰ）求证：a2?2b?3；

（Ⅱ）设(x1,M)，(x2,N)是函数f(x)?x3?ax2?bx?c的两个极值点．

2，求函数f(x)的解析式；②求|M?N|的取值范围． 31151.已知函数f(x)=x3+ax2+ax-2(a∈R),

32①若|x1?x2|?(1)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围； (2)设A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函数f(x)的两个极值点，若直线AB的斜率不小于-的取值范围.

52. 已知函数f(x)?ax3?2bx2?3cx(a,b,c?R)的图象关于原点对称，且当x?1时，

5求实数a62． 3（1）求a，b，c的值；

f(x)取极小值－，1?时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的（2）当x???1结论．

53. 对于x的三次函数f（x）= x3 +（m2－4m + 2）x + m3－6m2 + 9m－1．

（Ⅰ）若f（x）有极值，求m的取值范围；

（Ⅱ）当m在（1）的取值范围内变化时，求f（x）的极大值和极小值之和g（m），并求g（m）的最大值和最小值．

354. 已知函数f(x)?ax?3(a?2)x2?6x?3. 2 （I）当a > 2时，求f(x)的极小值； （II）讨论方程f(x) = 0的根的个数. 55. 设函数f(x)?x(x?1)(x?a)(a?1)'

（1）求导数f(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点；

（2）若对于（1）中的x1、x2不等式f(x1)?f(x2)?0 成立，求a的取值范围。 56. 已知t?R，函数f(x)??13x?tx. 2

（Ⅰ）当t=1时，求函数y?f(x)在区间[0，2]的最值； （Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2]上是单调函数，求t的取值范围；

（Ⅲ））是否存在常数t，使得任意x?[?2,2]都有|f(x)|?6恒成立，若存在，请求出t，

若不存在请说明理由.

57. 设x1、x2(x1?x2)是函数f(x)?ax3?bx2?a2x(a?0) 的两个极值点. （1）若x1??1,x2?2，求函数f(x)的解析式； （2）若|x1|?|x2|?22,求b的最大值；

（3）若x1?x?x2,且x2?a,函数g(x)?f?(x)?a(x?x1)，求证：|g(x)|?1a(3a?2)2. 1258. 已知函数f(x)?ax3?3x2?6ax?11，g(x)?3x2?6x?12，和直线m:y?kx?9，又f?(?1)?0． （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）是否存在k的值，使直线m既是曲线y?f(x)的切线，又是y?g(x)的切线；如果

存在，求出k的值；如果不存在,说明理由．

（Ⅲ）如果对于所有x??2的x,都有f(x)?kx?9?g(x)成立，求k的取值范围． 59. 设函数f(x)?x?ax?bx(x?0)的图象与直线y?4相切于M(1,4)． （Ⅰ）求f(x)?x?ax?bx在区间(0,4]上的最大值与最小值；

（Ⅱ）是否存在两个不等正数s,t(s?t)，当x?[s,t]时，函数f(x)?x?ax?bx的值域也是[s,t]，若存在，求出所有这样的正数s,t；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设存在两个不等正数s,t(s?t)，当x?[s,t]时，函数f(x)?x?ax?bx的值域是[ks,kt]，求正数k的取值范围．

60. 已知函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值． （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）能否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的结论; （Ⅲ）设使关于x的方程f(x)＝λ2x2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意 t∈[－3，3], λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

3232323261. 已知f(x)=x3+bx2+cx+2.

(Ⅰ)若f(x)在x=1时，有极值-1，求b、c的值；

(Ⅱ)当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线； (Ⅲ)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M，求证：M≥

3. 211)=f()（a∈R，aa62. 设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|，已知f(-1)=f(1) ，且f(-且a≠0），函数g(x)?ax3?bx2?cx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。

（1）试求a、b的值；

（2）若x?0时，函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方，求正整数c的值。 363. 已知函数f(x)?x3?bx2?3cx?8和g(x)?x3?bx2?cx（其中??b?0），

2Fx()f?x()5()gx?，f?(1)?g?(m)?0．

（1）求m的取值范围；

（2）方程F(x)?0有几个实根？为什么？

64. 已知函数f(x)=x3?bx2?cx?d(b，c，d?R且都为常数)的导函数为f′(x)=3x2?4x， 且f(1)=7，设F(x)=f(x)-ax(a∈R). (Ⅰ)当a<2时，求F(x)的极小值；

2???，都有F(x)≥0成立，求a的取值范围并证明不等式(Ⅱ)若对任意的x∈?0，a2?13a?39?

答案及解析 1.解：（Ⅰ）当a??1时，f(x)?x?lnx,

1. a?61 得f?(x)?1?,

x 令f?(x)?0，即1? ………………2分

1?0，解得x?1，所以函数f(x)在(1,??)上为增函数， x

………………4分

据此，函数f(x)在[e,e2]上为增函数，

而f(e)?e?1，f(e2)?e2?2，所以函数f(x)在[e,e2]上的值域为[e?1,e2?2]

………………6分

aa（Ⅱ）由f?(x)?1?,令f?(x)?0，得1??0,即x??a,

xx 当x?(0,?a)时，f?(x)?0，函数f(x)在(0,?a)上单调递减；

当x?(?a,??)时，f?(x)?0，函数f(x)在(?a,??)上单调递增； ……………7分 若1??a?e，即?e?a??1，易得函数f(x)在[e,e2]上为增函数，

此时，f(x)max?f(e2)，要使f(x)?e?1对x?[e,e2]恒成立，只需f(e2)?e?1即可，

?e2?e?1所以有e?2a?e?1，即a?

22?e2?e?1?(e2?3e?1)?e2?e?1而?(?e)??0，即??e，所以此时无解.

222………………8分

若e??a?e2，即?e?a??e2，易知函数f(x)在[e,?a]上为减函数，在[?a,e2]上为增函数， a??1??f(e)?e?1?要使f(x)?e?1对x?[e,e]恒成立，只需?，即??e2?e?1， 2?f(e)?e?1?a??22?e2?e?1?e2?e?1?e2?e?1e2?e?12由?(?1)??0和?(?e)??0

2222?e2?e?1得?e?a?.

22 ………………10分

若?a?e2，即a??e2，易得函数f(x)在[e,e2]上为减函数，

此时，f(x)max?f(e)，要使f(x)?e?1对x?[e,e2]恒成立，只需f(e)?e?1即可， 所以有e?a?e?1，即a??1，又因为a??e2，所以a??e2.

……………12分 ……………13分

?e2?e?1 综合上述，实数a的取值范围是(??,].

22. 解：（I）函数f(x)的定义域为{x|x?0}，

f?(x)?a1?2.??????????????????????????2分 xx又曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直， 所以f?(1)?a?1?2.

即a=1.??????????????????????????????4分

Z_X_X_K][来源学科网][来源学_科_网 （II）由于f?(x)?

ax?1. x2当a?0时，对于x?(0,??),有f?(x)?0在定义域上恒成立， 即f(x)在(0,??)上是增函数.

当a?0时,由f?(x)?0,得x??1?(0,??). a当x?(0,?)时,f?(x)?0,f(x)单调递增； 当x?(?1a1,??)时,f?(x)?0,f(x)单调递减.??????????8分 a1,x?[2,??). （III）当a=1时，f(x?1)?ln(x?1)?x?11?2x?5. 令g(x)?ln(x?1)?x?1 g?(x)?11(2x?1)(x?2)??2?.??????10分 x?1(x?1)2(x?1)2

当x?2时,g?x(x)?0,g(x)在(2,??)单调递减. 又g(2)?0,所以g(x)时,g(x)?0. 即ln(x?1)?1?2x?5?0. x?1故当a=1，且x?2时,f(x?1)?2x?5成立.????????13分

3解：（Ⅰ）f'(x)?3x2?12ax?9a2?3(x?a)(x?3a)?0

2 （1）当a?3a，即a?0时，f'(x)?3x?0，不成立．

（2）当a?3a，即a?0时，单调减区间为(3a,a)．

（3）当a?3a，即a?0时，单调减区间为(a,3a)．-------------------5分 （Ⅱ）f'(x)?3x?12ax?9a?3(x?a)(x?3a)，

22f(x)在(0,a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,??)上递增．

（1）当a?3时，函数f(x)在[0,3]上递增， 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)，

若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有??f(3)?4,解得a??．

a?3,? （2）当1?a?3时，有a?3?3a，此时函数f(x)在[0,a]上递增，在[a,3]上递

减，所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)，

若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有??f(a)?4, 解得a?1．

?1?a?3,（3）当a?1时，有3?3a，此时函数f(x)在[a,3a]上递减，在[3a,3]上递增， 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)或者是f(3)．

由f(a)?f(3)?(a?3)2(4a?3)， ①0?a?3时，f(a)?f(3)， 4?f(3)?4,?若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有?3

0?a?,??4解得a?[1?②

233,]． 943?a?1时，f(a)?f(3)， 4?f(a)?4,3?若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有?3 解得a?(,1)．

4?a?1,??4 综上所述，a?[1?23,1]． -------------14分 94．解：（1）f?(x)?x2?2ax?a2?1.

?x?1是极值点

?f?(1)?0，即a?2a?0

?x?0或2.??????????????????????3分 （2）?(1,f(1))在x?y?3?0上. ?f(1)?2 ∵（1，2）在y?f(x)上 ?2? 又f?(1)?k??1 ?a?2a?1?0 ?f(x)?221?a?a2?1?b 3?1?2a?a2?1??1

a?1,b?8 3128x?x2?,f?(x)?x2?2x. 33[来源:Zxxk.Com] （i）由f?(x)?0可知x=0和x=2是f(x)的极值点. ?f(0)?

84,f(2)?,f(?2)??4,f(4)?8, 33 ?f(x)在区间[－2，4]上的最大值为8.??????????8分 （ii）G(x)?(x?mx?m)e2?x

G?(x)?(2x?m)e?x?e?x(x2?mx?m)?e?x[?x2?(2?m)x] 令G?(x)?0，得x?0,x?2?m

当m=2时，G?(x)?0，此时G(x)在(??,??)单调递减 当m?2时： x G′（x） G（x） (－∞，2，－m) － 减 2－m 0 （2－m，0） + 增 0 0 （0，+∞） － 减 当时G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增. 当m?2时： x G′（x） G（x） （－∞，0） － 减 0 0 （0，2－m） + 增 2－m 0 （2－m+∞） － 减 此时G（x）在（－∞，0），（2－m+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增，综上所

述：当m=2时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减； m?2 时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增； m?2 时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增. 5．解：函数f(x)?lnx?a的定义域为(0,??) x1ax?af'(x)??2?2

xxx????1分 ????3分

（1）?a?0,?f'(x)?0.

故函数在其定义域(0,??)上是单调递增的. （II）在[1，e]上，发如下情况讨论：

①当a<1时，f'(x)?0,函数f(x)单调递增， 其最小值为f(1)?a?1, 这与函数在[1，e]上的最小值是

????5分

3相矛盾； 2????6分

②当a=1时，函数f(x)在?1,e?单调递增， 其最小值为f(1)?1, 同样与最小值是

3相矛盾； 2 ????7分

③当1?a?e时，函数f(x)在?1,a?上有f'(x)?0，单调递减， 在?a,e?上有f'(x)?0,单调递增，所以， 函数f(x)满足最小值为f(a)?lna?1 由lna?1?3,得a?e, 2 ????9分

④当a=e时，函数f(x)在?1,e?上有f'(x)?0,单调递减， 其最小值为f(e)?2,还与最小值是

3相矛盾； 2????10分

⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1,e]上单调递减， 其最小值为f(e)?1?仍与最小值是

a?2, e

????12分 ????13分

3相矛盾； 2综上所述，a的值为e.

6．（I）解：f?(x)?mx2?2ax?(1?b2). ??3分 （II）因为函数f(x)是R上的增函数，

所以f?(x)?0在R上恒成立，

则有??4a?4(1?b)?0,即a?b?1. 设?2222?a?rcos?,(?为参数,0?r?1).

?b?rsin?2rsin(??则z?a?b?r(cos??sin?)?当sin(???4)

?4)??1,且r=1时，z?a?b取得最小值?2.

（可用圆面的几何意义解得z?a?b的最小值?2）??????????8分

2 （Ⅲ）①当m?0时f?(m)?mx?2x?1是开口向上的抛物线，显然f?(x)在（2，+

∞）上存在子区间使得f?(x)?0，所以m的取值范围是（0，+∞）. ②当m=0时，显然成立.

2③当m?0时，f?(m)?mx?2x?1是开口向下的抛物线，要使f?(x)在（2，+∞）

??m?0?m?0,??1?1?上存在子区间使f?(x)?0，应满足??或???2,?2,

?m?m1???f?(2)?0.?f(?)?0,?m?1313?m?0,或??m?，所以m的取值范围是(?,0). 24243则m的取值范围是(?,??).????????????????????13分

4解得?7．解：（1）当p?2时，

函数f(x)?2x?2?2lnx,f(1)?2?2?2ln1?0 x22f(x)?2?2?

xx曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为

f??(1)?2?2?2?2. 1分

从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y?0?2(x?1),

即y?2x?2

p2px2?2x?p. 3分 （2）f?(x)?p?2??xxx2

2令h(x)?px?2x?p，要使f(x)在定义域（0，∞）内是增函

只需h(x)?0在（0，+∞）内恒成立 4分

由题意p?0,h(x)?px?2x?p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

2x?1?(0,??)， p1, p

?h(x)min?p?

只需p?1?0,即p?1时， p

h(x)?0,f?(x)?0

?f(x)在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是?1,??? 6分

（3）?g(x)?2ex在[1,e]上是减函数， ?x?e时， g(x)min?2;

x?1时,g(x)min?2e，

即g(x)?[2,2e] 1分

①当p?0时，h(x)?px2?2x?p

其图象为开口向下的抛物线，对称轴x?1p在y车的左侧， 且h(0)?0，所以f(x)在x?[1,e]内是减函数。 当p?0时，在h(x)??2x 因为x?[1,e]， 所以h(x)?0,f?(x)??2xx2?0. 此时，f(x)在x?[1,e]内是减函数。 故当p?0时，f(x)在x?[1,e]上单调递减

?f(x)max?f(1)?0?2，不合题意；

②当0?p?1时，由x?[1,e]?x?1x?0 所以f(x)?p(x?1)?2lnx?x?1xx?2lnx. 又由（2）知当p?1时，f(x)在x?[1,e]上是增函数，

?x?1x?2lnxe?11e?2lne?e?e?2?2，不合题意； ③当p?1时，由（2）知f(x)在x?[1,e]上是增函数，

f(1)?0?2

分 11

又g(x)在x?[1,e]上是减函数， 故只需f(x)max?g(x)min,x?[1,e]

而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne,g(x)min?2 即P(e?)?2lne?2, 解得p?1e1e4e， 2e?14e,??)。 13分 2e?1p2'8. 解：（Ⅰ）方法一：∵f(x)?p?2?，………………………………2分

xx'∴f(1)?2(p?1)． 设直线ly， :?2(p?1)(x?1)所以实数p的取值范围是(并设l与g(x)?x2相切于点M（x0,y0） ………………………………3分 ∵

g?(x)?2x ∴2x0?2(p?1)

∴x0?p?1,y0?(p?1)2

代入直线l的方程，解得p=1或p=3． ………………………………6分 方法二：

将直线方程l代入y?x2得

解得p=1或p=3 ． ………………………………6分

2px?2x?px)?（Ⅱ）∵f(， 2x'①要使f(x)为单调增函数，须f(x)?0在(0,??)恒成立，

2x22?即px在(0,??)恒成立，即p?2在(0,??)恒成立， ?2x?p?01x?1x?x2?1，所以当p?1时，f(x)在(0,??)为单调增函数； …………9分 又

1x?x'②要使f(x)为单调减函数，须f(x)?0在(0,??)恒成立，

2x22??2x?p?0即px在(0,??)恒成立，即p?2在(0,??)恒成立，

1x?1x?x2?0，所以当p?0时，f(x)在(0,??)为单调减函数． …………11分 又

1x?x综上，若f(x)在(0,??)为单调函数，则p的取值范围为p?1或p?0．……12分

129. 解：（I）因为h(x)?x?2x?logax(x?0).

2'2(p?1)(x?1)?0 ∴??4(p?1)2?8(p?1)?0

所以h?(x)?x?2?1. xlna因为h(x)在(0,??)上是增函数。 所以x?2?

1?0在(0,??)上恒成立 ……………………………1分 xlna11?0?x2?2x??. xlnalna

当x?0时,x?2?而x2?2x?(x?1)2?1在(0,??)上的最小值是?1。 于是?1??11,即1?.（※） lnalna11?0.这与?1矛盾) 可见a?1(若0?a?1,则lnalna 从而由（※）式即得lna?1. ① ………………..………………………… 4分

1x2lna?2xlna?1?(x?0) 同时，h?(x)?x?2?xlnaxlna由h?(x)存在(正)零点知??(?2lna)2?4lna?0,

解得lna?1②，或lna?0(因为a?1,lna?0,这是不可能的). 由①②得 lna?1.

此时，h?(x)存在正零点x?1,故a?e即为所求 ……………………………6分 注：没有提到（验证）lna?1时，h?(x)存在正零点x?1,不扣分。

（II）由（I），g(x)?lnx,g?(x0)?1, x0 于是

1g(n)?g(m)n?m?,x0?. ……………………………7分 x0n?mlnn?lnmn?m.（☆）

lnn?lnm （☆）等价于mlnn?mlnm?n?m?0. ……………………………8分

以下证明m?

构造函数r(x)?xlnn?xlnx?n?x(0?x?n), 则r?(x)?lnn?lnx,当x?(0,n)时，

r?(x)?0,所以r(x)在(0,n]上为增函数。

因此当m?n时,r(m)?r(n)?0, 即mlnn?mlnm?n?m?0.

从而x0?m得到证明。 ……………………………11分 同理可证n?n?m.综上,m?x0?n. ……………………………12分

lnn?lnm注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分。

10. 解：（Ⅰ）由a=0，f(x)?g(x)可得?mlnx??x，

x ┉┉┉┉┉┉┉┉1分 lnxx记??，则f(x)?g(x)在（1，+∞）上恒成立等价于m??(x)min.

lnxlnx?1求得?'(x)? ┉┉┉┉┉┉┉┉2分

ln2x即m?当x?(1,e)时；?'(x)?0；当x?(e,??)时，?'(x)?0 ┉┉┉┉┉┉┉┉3分 故?(x)在x=e处取得极小值，也是最小值，

即?(x)min??(e)?e，故m?e. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分

（Ⅱ）函数k(x)?f(x)?h(x)在?1,3?上恰有两个不同的零点等价于方程x?2lnx?a，在?1,3?上恰有两个相异实根．┉┉┉┉┉┉┉┉5分 令g(x)?x?2lnx，则g'(x)?1?2 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分 x当x?[1,2)时，g'(x)?0，当x?(2,3]时，g'(x)?0

?g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．

故g(x)min?g(2)?2?2ln2 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分 又g（1）=1，g（3）=3-2ln3 ∵g（1）>g（3），∴只需g（2）

故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3） ┉┉┉┉┉┉┉┉9分 （Ⅲ）存在m=

1，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性． 2f'(x)minm2x2?m?2x??，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．┉┉┉┉┉┉10分

xx若m?0，则f(x)'?0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；┉┉┉11分

若m?0，由f(x)'?0可得2x2-m>0，解得x>mm或x<-（舍去）

22故m?0时，函数的单调递增区间为（m，+∞） 2单调递减区间为（0，

m） ┉┉┉┉┉┉┉┉12分 211），单调递增区间是（，+∞） 22而h（x）在（0，+∞）上的单调递减区间是（0，

故只需1m1=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

222即当m=

1时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性．┉14分. 211. 解：（I）因为f?(x)?(x2?3x?3)?ex?(2x?3)?ex?x(x?1)?ex ??1分

由f?(x)?0?x?1或x?0;由f?(x)?0?0?x?1, 所以f(x)在(??,0),(1,??)上递增,在(0,1)上递减????3分

欲f(x)在[?2,t]上为单调函数,则?2?t?0?????4分

（II）证：因为f(x)在(??,0),(1,??)上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x?1处取得

极小值e 又f(?2)?13?e,所以f(x)在[?2,??]上的最小值为f(?2) e2从而当t??2时,f(?2)?f(t),即m?n??????7分

f?(x0)f?(x0)22222?x?x,所以?(t?1),即为x?x?(t?1)2， （III）证：因为 0000x0x033ee22令g(x)?x2?x?(t?1)2,从而问题转化为证明方程g(x)?x2?x?(t?1)2?033在(?2,t)上有解,并讨论解的个数??????9分222因为g(?2)?6?(t?1)2??(t?2)(t?4),g(t)?t(t?1)?(t?1)2

3331?(t?2)(t?1),所以 3时,g(?2)?g(t)?0,所以g(x)?0在(?2,t)上有解，且只有一①当t?4或?2?t?1解

??????11分

②当1?t?4时,g(?2)?0且g(t)?0,但由于g(0)??所以g(x)?0在(?2,t)上有解，且有两解

2(t?1)2?0， 3③当t?1时,g(x)?x2?x?0?x?0或x?1,所以g(x)?0在(?2,t)上有且只有一解；

当t?4时,g(x)?x2?x?6?0?x??2或x?3,所以g(x)?0在(?2,4)上也只有一解??????13分

综上所述,对于任意的t??2,总存在x0?(?2,t),满足f?(x0)ex0?23(t?1)2,且当t?4或?2?t?1时,有唯一的x0适合题意;

12. 解: （1）f?(x)?2x?ax,依题意f?(x)?0,x?(1,2],即a?2x2,x?(1,2]. ∵上式恒成立,∴a?2 ①

??????????1分

又g?(x)?1?a2x,依题意g?(x)?0,x?(0,1),即a?2x,x?(0,1).

∵上式恒成立,∴a?2. ②

??????????2分

由①②得a?2.

??????????3分

∴f(x)?x2?2lnx,g(x)?x?2x.

??????????4分

（2）由(1)可知,方程f(x)?g(x)?2,即x2?2lnx?x?2x?2?0. 设h(x)?x2?2lnx?x?2x?2,则h?(x)?2x?2x?1?1x, 令h?(x)?0,并由x?0,得(x?1)(2xx?2x?x?2)?0,x?1. ????????5分

令h?(x)?0,由x?0,解得0?x?1. ??????????6分 列表分析:

x (0,1) 1 (1,+?) h?(x) - 0 + h(x) 递减 0 递增 可知h(x)在x?1处有一个最小值0, ??????????7分

解

知

当x?0且x?1时,h(x)＞0,

∴h(x)?0在(0,+?)上只有一个解.

即当x＞0时,方程f(x)?g(x)?2有唯一解. （3） 设?(x)?x?2lnx?2bx?分

2 ??????????8分

122'则?(x)?2x??2b??0, ??????923xxx为

减

函

数

??(x)在

(0,1]??(xm)?b?)?i?n?(?1又1 210b??1 ?????11分

所以：?1?b?1为所求范围. 13. 解：（1）?f(0)?0,?d?0

??????????12分

?f'(x)?ax2?11x?c及f'(1)?0,有a?c? 221?f'(x)?0在R上恒成立,即ax2?x?c?0恒成立

2112即ax?x??a?0恒成立

22显然a?0时，上式不能恒成立

11?a?0,函数f?(x)?ax2?x??a是二次函数

22由于对一切x?R,都有f?(x)?0,于是由二次函数的性质可得

?a?0,a?0,???即?121?a2?1a?1?0,(?)?4a(?a)?0.??216?2?2??a?0,12即?,(a?)?0?4?解得:a?1

4

a?c?1 ． 41111.?f?(x)?x2?x?. 4424121132b1 ?由f?(x)?h(x)?0,即x?x??x?bx???0

4244241b12 即x?(b?)x??0,即(x?b)(x?)?0

22211111 当b?时,解集为(,b),当b?时,解集为(b,)，当b?时,解集为?．

2222211211 （3）?a?c?,?f?(x)?x?x?

44241211 ?g(x)?f?(x)?mx?x?(?m)x?.

424 该函数图象开口向上，且对称轴为x?2m?1.

（2）?a?c?

假设存在实数m使函数g(x)?f?(x)?mx?1211x?(?m)x?区间[m.m?2] 上424有

最小值－5.

①当m??1时,2m?1?m,函数g(x)在区间[m,n?2]上是递增的.

111?g(m)??5,即m2?(?m)m???5.

424777解得m??3或m?.???1,?m?舍去

333②当?1?m?1而在 时,m?2m?1?m?2,函数g(x)在区间[m,2m?1]上是递减的，区间[2m?1,m?2]上是递增的，

?g(2m?1)??5.

111(2m?1)2?(?m)(2m?1)???5 424111121或m???21,均应舍去 解得m???2222即

③当m?1时，2m?1?m?2,函数g(x)在区间[m,m?2]上递减的

?g(m?2)??5

即

111(m?2)2?(?m)(m?2)???5. 424解得m??1?22或m?1?22.其中m?1?22应舍去. 综上可得，当m??3或m??1?22时，

函数g(x)?f?(x)?mx在区间[m,m?2]上有最小值?5.

32214. 解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导：f?(x)?3x?2ax?1 当a2≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增

?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?

32???a?a2?3?a?a2?3??a?a2?3?，即f(x)在???，?递增，??递减，

????333??????a?a2?3?，???递增 ???3????a???（2）???a???a2?32≤?33a2?31≥?337 4，且a2?3解得：a≥15. 解：（Ⅰ）f?(x)?1lnx11lnx． ········ 2分 ?????x(1?x)(1?x)2xx?1(1?x)21)时，f?(x)?0， 故当x?(0，x?(1，∞?)时，f?(x)?0

1)单调递增，在(1，∞?)单调递减． ·············· 4分 所以f(x)在(0，?)的极大值为f(1)?ln2，没有极小值． 由此知f(x)在(0，∞·········· 6分

（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时， 由于f(x)?(1?x)ln(1?x)?xlnxln(1?x)?x?ln(1?x)?lnx???0， 1?x1?x?)． 故关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0，∞················ 10分

lnxln2n1??1??n（ⅱ）当a?0时，由f(x)?，其中n为?ln?1??知f(2)??ln1??nn?1?xx1?22????正整数，且有

nn1?a1?12分 ln?1?n???n?e2?1?n??log2(e2?1)． ·············

2?2?2ln2nnln2nln22ln2???又n≥2时，． nnn(n?1)1?21?(1?1)n?12且

2ln2a4ln2??n??1． n?12nn2取整数n0满足n0??log2(e?1)，n0?4ln2?1，且n0≥2， a则f(20)?nn0ln21??ln1??n1?2n0?20?aa????a， ?22?)． 即当a?0时，关于x的不等式f(x)≥a的解集不是(0，∞?)，且a的取综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0，∞值范围为??∞，0?． 14分

16. （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=?(rad) ，则OA?AQ10?, 故 cos?cos?10，又OP＝10?10tan?10－10ta?， cos?1010??10?10tan?， 所以y?OA?OB?OP?cos?cos?OB?所求函数关系式为y?20?10sin?????10?0????

cos?4??②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以OA =OB=2?10?x?2?102?x2?20x?200 所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10? （Ⅱ）选择函数模型①，y?'令y?0 得sin ??'?10cos??cos???20?10sin????sin??10?2sin??1?? 22cos?cos???1，因为0???，所以?=，

462????,?时，y'?0 ，y是?的增函?64?当???0,????6??时，y?0 ，y是?的减函数；当???'数，所以当?=

?时，ymin?10?103。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 6103km处。 317解：（1）f(x)的定义域为(0,??),f?(x)?令f?(x)?0得x?e当x?(0,e当x?(e1?a1?a1?(lnx?a)

x2

)时,f?(x)?0,f(x)是增函数

1?a,??)时,f?(x)?0,f(x)是减函数

1?a∴f(x)在x?e（2）（i）当e处取得极大值,f(x)极大值?f(e1?a)?ea?1

1?a?e2时，a??1时，由（Ⅰ）知f(x)在(0,e1?a)上是增函数，在(e1?a,e2]上是减函数

?f(x)max?f(e1?a)?ea?1

又当x?e?a时,f(x)?0,当x?(0,e?a]时f(x)?0.当x?(e?a,e2]时，f(x)?(0.ea?1)所以

f(x)与图象g(x)?1的图象在(0,e2]上有公共点，等价于ea?1?1

解得a?1,又a??1,所以a?1 （ii）当e1?a?e2即a??1时，f(x)在(0,e2]上是增函数，

2?a e222∴f(x)在(0,e]上的最大值为f(e)?所以原问题等价于

2?a?1,解得a?e2?2. 2e又?a??1，∴无解

18解：（Ⅰ）当a?0时函数f(x)的定义域为(0,??)； 当a?0时函数f(x)的定义域为(?1,0)

x?1?ln(ax)11??（Ⅱ）f?(x)?x xx?1(x?1)2(x?1)?xln(ax)?(x?1)2?x(x?1)?ln(ax) ??22x(x?1)(x?1)令f?(x)?0时，得lnax?0即x?1， a1a①当a?0时，x?(0,)时f?(x)?0，当x?(,??)时，f?(x)?0， 故当a?0 时，函数的递增区间为(0,)，递减区间为(,??) ②当?1?a?0时，?1?ax?0，所以f?(x)?0， 故当?1?a?0时，f(x)在x?(?1,0)上单调递增．

③当a??1时，若x?(?1,)，f?(x)?0;若x?(,0)，f?(x)?0， 故当a??1时，f(x)的单调递增区间为(,0);单调递减区间为(?1,)． （Ⅲ）因为当a?0时，函数的递增区间为(0,);单调递减区间为(,??)

1a1a1a1a1a1a1a1a1a若存在x使得f(x)?ln(2a)成立，只须f()?ln(2a)，

1a?a?0a?1a?1?)?ln2a??2a??1?0?a?1 即ln(aa??a?1??219解：（1）据题意的

39(2x2?29x?107)(x?5)...(5?x?7)198?6xy?{(x?5)....................(7?x?8)

x?5?50?10(x?8)?(x?5)...........(x?8)39?(2x3?39x2?252x?535)...(5?x?7)?{6(33?x)..................................(7?x?8)

?10x2?180x?650.......................(x?8)（2）由（1）得：当5?x?7时，y?39?(2x3?39x2?252x?535)

y'?234(x2?13x?42)?234(x?6)(x?7)

当5?x?6时，y'?0，y?f(x)为增函数 当6?x?7时，y'?0,y?f(x)为减函数

?当x?6时，f(x)max?f(16)?195

当7?x?8时，y?6(33?x)??150,156? 当x?8时，y??10(x?9)?160

当x?9时，ymax?160 综上知：当x?6时，总利润最大，最大值为195

2x2?1x,f(x)?x, 20解: (1) 由已知可得C=0, ∴g(x)?xlnf?(x)?lnx?1, 令f?(x)?0,得x?e．列表如下: 2lnxx

f?(x) f(x)

(0,1) - 单调减

(1,e)

- 单调减

(e,??)

+ 单调增

所以f(x)的单调增区间为(e,??),单调减区间为(0,1)和(1,e) (2)在e?x两边取对数,得x?mlnx．而x?1．所以m?由(1)知当x?(1,??)时,f(x)?f(e)?e．所以m?e． 21解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(0,??)，

xmx lnx112(x?)2?b?b2x?2x?b22 (x?0) f'(x)?2x?2???xxx1?当b?时， f?(x)?0，函数f(x)在定义域(0,??)上单调递增．

22（2） ①由（Ⅰ）得，当b?②当b?1时，f/(x)?0,函数f(x)无极值点． 2111?2b11?2b时，f?(x)?0有两个不同解，x1?? , x2??2222211?2b?i) b?0时，，x1???0?(0,??)，舍去2211?2b 而x2???1?(0,??),

22此时 f?(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (0,x2) ? 减 x2 0 极小值 (x2，??) ? 增 由此表可知：b?0时，f(x)有惟一极小值点, x?ii） 当0?b?11?2b， ?221时，0

222222（3）由（2）可知当b??1时，函数f(x)?(x?1)?lnx，此时f(x)有惟一极小值点

综上所述：当b?0时，f(x)有惟一最小值点, x?x?3?1 21?31?3)时，f'(x)?0, f(x)在(0,)为减函数 22141?3?当 n?3 时， 0? 1?1???，n32111?恒有 f(1)?f(1?)，即恒有 0?2?ln(1?)

nnn1?当 n?3 时恒有ln(n?1)?lnn ?2 成立n1x?1令函数h(x)?(x?1)?lnx （x?0) 则 h'(x)?1??xx且x?(0,?x?1 时，h'(x)?0 ，又h(x)在x?1处连续?x?[1,??)时h(x)为增函数1111?n?3 时 1?1? ?h(1?)?h(1) 即 ?ln(1?)?0nnnn11?ln(n?1)?lnn?ln(1?)?nn11综上述可知 n?3 时恒有 ?ln(n?1)?lnn?2nn22解：（1）?g(x)?'

?2x' ?g(2)??22且g(2)?1?a 22(x?1)故g(x)在点P(2,g(2))处的切线方程为：22x?y?5?a?0 （2）由f(x)?'2x?0得x?0， x2?1故f(x)仅有一个极小值点M(0,0)，根据题意得：

5?ad??1 ?a??2或a??8

3 （3）令h(x)?f(x)?g(x)?ln(x?1)? h(x)?'21?a x2?1?12x2x1? ??2x??222222?x?1(x?1)?x?1(x?1)?' 当x??0,1)?(1,??)时，h(x)?0 当x?(??,?1)?(?1,0)时，h(x)?0

因此，h(x)在(??,?1),(?1,0)时，h(x)单调递减，

' 在(0,1),(1,??)时，h(x)单调递增.

又h(x)为偶函数，当x?(?1,1)时，h(x)极小值为h(0)?1?a 当x??1时，h(x)???， 当x??1时，h(x)??? 当x???时，h(x)???， 当x???时，h(x)??? 故f(x)?g(x)的根的情况为：

当1?a?0时，即a?1时，原方程有2个根； 当1?a?0时，即a?1时，原方程有3个根；

当1?a?0时，即a?1时，原方程有4个根

23解：（1）y???2ax，切线的斜率为?2at，?切线l的方程为y?(1?at2)??2at(x?t)

??1?at21?at2?2at21?at2?t??令y?0,得x? 2at2at2at1?at2?M(,0),令t?0,得y?1?at2?2at2?1?at2,?N(0,1?at2)

2at11?at2(1?at2)22??MON的面积S(t)??(1?at)?

22at4at3a2t4?2at2?1(at2?1)(3at2?1)?(2) S?(t)? 224at4at?a?0,t?0,由S?(t)?0,得3at2?1?0,得t?1 3a当3at?1?0,即t?21时, S?(t)?0 3a1时, S?(t)?0 3a当3at?1?0,即0?t?2?当t?1时,S(t)有最小值 3a1114?,?a? 处, S(t)取得最小值,故有233a2已知在t?故当a?41,t?时,S(t)min3241(1??)2134?2 ?S()?41234??321324.(1) a,b的值依次是2、1，(2)k??.

b?11?2x?解析：(1)因为f(x)是奇函数, 所以f(0)=0, 即 ?0?b?1?f(x)?a?2a?2x?111?22?a?2. ??又由f(1)??f(?1)知

a?4a?11?1?2x11(2) 解法一：由(1)知f(x)?, 易知f(x)在(??,??)上为减函 ???2?2x?122x?1数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2?2t)?f(2t2?k)?0等价于

f(t2?2t)??f(2t2?k)?f(k?2t2).因f(x)为减函数,由上式推得:t2?2t?k?2t2．

即对一切t?R有：3t2?2t?k?0, 从而判别式??4?12k?0?k??. 1?2t?2t1?22t?k1?2x??0 解法二：由(1)知f(x)?．又由题设条件得： 222?2x?12?2t?2t?12?22t?k?12213即： (22t2?k?1?2)(1?2t22?2t)?(2t2?2t?1?2)(1?22t2?k)?0

整理得: 23t?2t?k?1,因底数2>1,故:3t2?2t?k?0.上式对一切t?R均成立, 从而判别式

1??4?12k?0?k??.

3?k2(x?2)(x?4),?3?x??2;?kx(x?2),?2?x?0;?3?25、（1）f(?1)??k，f(2,5)??（2）f(x)??x(x?2),0?x?2;

4k??1(x?2)(x?4),2?x?3.??k

f(x)在??3,?1?与?1,3?上为增函数，在??1,1?上为减函数；

2（3）①k??1而f(x)在x??3处取得最小值f(?3)??k，在x??1处取得最大值

f(?1)??k．

②k??1时，f(x)在x??3与x?1处取得最小值f(?3)?f(1)??1，在x??1与x?3处取得最大值f(?1)?f(3)?1．

③?1?k?0时，f(x)在x?1处取得最小值f(1)??1，在x?3处取得最大值

1f(3)??．

k?解析：（1）f(?1)?kf(1)??k,?f(0.5)?kf(2,5)，

?f(2,5)?113f(0.5)?(0.5?2)?0.5??． kk4k（2）?对任意实数xf(x)?kf(x?2)，

?f(x?2)?kf(x),?f(x)?1f(x?2)． k当?2?x?0时，0?x?2?2,f(x)?kf(x?2)?kx(x?2)； 当?3?x??2时，?1?x?2?1,f(x)?11f(x?2)?(x?2)(x?4)． kk?k2(x?2)(x?4),?3?x??2;?kx(x?2),?2?x?0;??故f(x)??x(x?2),0?x?2;

??1(x?2)(x?4),2?x?3.??k?k?0,?f(x)在??3,?1?与?1,3?上为增函数，在??1,1?上为减函数；

（3）由函数f(x)在??3,3?上的单调性可知，

f(x)在x??3或x?1处取得最小值f(?3)??k2或f(1)??1，而在x??1或x?3处取

得最大值f(?1)??k或f(3)??1． k2故有①k??1而f(x)在x??3处取得最小值f(?3)??k，在x??1处取得最大值

f(?1)??k．

②k??1时，f(x)在x??3与x?1处取得最小值f(?3)?f(1)??1，在x??1与x?3处取得最大值f(?1)?f(3)?1．

③?1?k?0时，f(x)在x?1处取得最小值f(1)??1，在x?3处取得最大值

1f(3)??．

k26.若a?0，则f??x??0，因此f?x?在?0,???上是增函数．

若a?0，则由f??x??0得x??a?a?，因此f?x?的单调递增区间是??,???，单调递减4?4?时，最大值是2a?16．

区间是?0,???a??32?a??15时，5??a?4最大值是a?1；当?1?．4?4313，故

?解析： 解：(1) f?x??x?ax2?4114x?a f??x??x3?ax3?32333x若a?0，则f??x??0，因此f?x?在?0,???上是增函数． 若a?0，则由f??x??0得x??a?a?，因此f?x?的单调递增区间是??,???，单调递减4?4?区间是?0,?数．

??a?，因此f?x?在?1,8?上是增函?．(2) 若a??4，则f??x??0（x??1,8?）

4?那么f?x?在x??1,8?上的最小值是f?1??a?1，最大值是f?8??2a?16； 若a??32，则f??x??0（x??1,8?），因此f?x?在1,8上是减函数．

??那么f?x?在x??1,8?上的最小值是f?8??2a?16，最大值是f?1??a?1． 若?32?a??4，则 x 1 a??1,??? 4??? ?0 a 4?a???,8? ?4?+ ↗ 8 f??x? f?x? f?1??a?1 ↘ 极小值 f?8??2a?16 所以f?x?在x??1,8?上的最小值是f???a?33a??a?， 44??4当f?1??a?1?f?8??2a?16，即?32?a??15时，最大值是a?1；当?15?a??4时，最大值是2a?16．

???27、f(x)=2sin?2x???2 ,a?f?x???2?2,2?2??2?2,2?2??0?

4???解析：（1）当x?0时，

f?x???sinx?cosx??2cos2x?sin2x?2cos2x?1

2?????sin2x?cos2x?2?2sin?2x???????2 4????x?0时，?x?0，f?x???f(?x)?2sin?2x???2（6分）

4??（2）若关于x的方程f?x??a?o有解，a?f?x???2?2,2?2??2?2,2?2??0?（12分）

????28、f(1)?f(6)?f(28)?2?9?55?66

?解析：解：（I） 由①知，对任意a,b?N*,a?b，都有(a?b)(f(a)?f(b))?0，

由于a?b?0，从而f(a)?f(b)，所以函数f(x)为N*上的单调增函数

（II）令f(1)?a，则a…1，显然a?1，否则f(f(1))?f(1)?1，与f(f(1))?3矛盾.从而a?1，而由f(f(1))?3,即得f(a)?3. 又由（I）知f(a)?f(1)?a，即a?3.

*于是得1?a?3，又a?N，从而a?2，即f(1)?2.

进而由f(a)?3知，f(2)?3. 于

是

f(3)?f(f(2))?3?2?6, f(6)?f(f(3))?3?3?9,

f(9)?f(f(6))?3?6?18,

f(18)?f(f(9))?3?9?27, f(27)?f(f(18))?3?18?54, f(54)?f(f(27))?3?27?81, 由于54?27?81?54?27,

而且由（I）知，函数f(x)为单调增函数，因此f(28)?54?1?55. 从而f(1)?f(6)?f(28)?2?9?55?66. （Ⅲ）f(an)?f(f(3n))?3?3n?3n?1,

an?1?f(3n?1)?f(f(an))?3an，a1?f(3)?6.

即数列{an}是以6为首项, 以3为公比的等比数列 . ∴ an?6?3n?1?2?3n(n?1,2,3?)

11(1?n)111111113?1(1?1),显然1(1?1)?1, 于是?????(?2???n)??31a1a2an2333243n443n1?312n另一方面3n?(1?2)n?1?Cn?2?Cn?22???Cn?2n?1?2n,

从而

1111n(1?n)?(1?)?. 442n?14n?23综上所述,

n1111??????.

4n?2a1a2an429、（Ⅰ）a?0

（Ⅱ）0?a?（Ⅲ）(??,0]

1?5 2?解析：（Ⅰ）f?(x)?a?3x2?2x?a ax?1x[3ax2?(3?2a)x?(a2?2)] ?ax?1∵x?

22

为f(x)的极值点，∴f'()=0 332222)+(3-2a)-(a2+2)=0且a?1?0

3332为f(x)的极值点成立。 3∴3a(∴a?0. 又当a?0时，f'(x)=x(3x-2)，从而x=（Ⅱ）因为f(x)在[1,??)上为增函数，

x[3ax2?(3?2a)x?(a2?2)]所以?0在[1,??)上恒成立.

ax?1若a?0，则f?(x)?x(3x?2)， ∴f(x)在[1,??)上为增函数不成立；

若a?0，由ax?1?0对x?1恒成立知a?0。

所以3ax?(3?2a)x?(a?2)?0对x?[1,??)上恒成立。

22令g(x)?3ax2?(3?2a)x?(a2?2)，其对称轴为x?因为a?0，所以

11， ?32a111??，从而g(x)在[1,??)上为增函数。 32a3所以只要g(1)?0即可，即?a2?a?1?0

所以

1?51?5 ?a?22又因为a?0，所以0?a?1?5． 2b x（Ⅲ）若a??1时，方程f(1?x)?(1?x)3?可得lnx?(1?x)2?(1?x)?2b x23即b?xlnx?x(1?x)?x(1?x)?xlnx?x?x在x?0上有解 即求函数g(x)?xlnx?x?x的值域．

23b?x(lnx?x?x2) 令h(x)?lnx?x?x2

由h?(x)?1(2x?1)(1?x) ∵x?0 ?1?2x?xx∴当0?x?1时，h?(x)?0，从而h(x)在(0,1)上为增函数； 当x?1时，h?(x)?0，从而h(x)在(1，+∞)上为减函数。

∴h(x)?h(1)?0，而h(x)可以无穷小。 ∴b的取值范围为(??,0].

?1?30、（1）?0,?（2）?fn?x??an?x?n??n?1?x?（3）a?3

?4?11?1??解析：（1）?f(x)??(x?)2?,x??0,1?,?f(x)??0,?。

24?4?（2）当n?x?n+1(n?0,n?Z)时,

fn?x??afn?1?x?1??a2fn?1?x?2????anf1?x?n?， ?fn?x??an?x?n??n?1?x?。 x?n+1n(n0,Z?)（3）当n??时,fn?x??afn?1?x?1??a2fn?1?x?2????anf1?x?n?，

?fn(x)?an?3x?n；

显然fn(x)?an?3x?n,x??n,n?1?,n?0,n?Z当a?0时是增函数， 此时?fn(x)?an,3an，

若函数y?f(x)在区间?0，???上是是单调增函数，则必有an?1?3an，解得：a?3； 显然当a?0时，函数y?f(x)在区间?0，???上不是单调函数； 所以a?3。

???5?31、（1）0（2）??,???（3）见解析

?2??解析：（1）解：∵f?x???x3?ax2?bx?c，∴f??x???3x2?2ax?b．

∵f?x?在???,0?上是减函数，在?0,1?上是增函数， ∴当x?0时，f?x?取到极小值，即f??0??0． ∴b?0．

（2）解：由（1）知，f?x???x?ax?c，

32∵1是函数f?x?的一个零点，即f?1??0，∴c?1?a． ∵f??x???3x?2ax?0的两个根分别为x1?0，x2?22a． 3∵f?x?在?0,1?上是增函数，且函数f?x?在R上有三个零点， ∴x2?2a35?1，即a?．∴f?2???8?4a??1?a??3a?7??． 322故f?2?的取值范围为???5?,???． ?2?32（3）解：由（2）知f?x???x?ax?1?a，且a?3． 2要讨论直线y?x?1与函数y?f?x?图像的交点个数情况，

?y?x?1,即求方程组?解的个数情况． 32?y??x?ax?1?a3232由?x?ax?1?a?x?1，得x?1?ax?1??x?1??0． 2即?x?1?x?x?1?a?x?1??x?1???x?1??0．

??????

2x即?x?1?????1?a?x??2?a????0．

∴x?1或x??1?a?x??2?a??0．

2由方程x??1?a?x??2?a??0， （*）

22得???1?a??4?2?a??a?2a?7．

2∵a?3， 23?a?22?1．此时方程（*）无实数解． 2若??0，即a2?2a?7?0，解得

若??0，即a2?2a?7?0，解得a?22?1．此时方程（*）有一个实数解x?2?1．

若??0，即a2?2a?7?0，解得a?22?1．此时方程（*）有两个实数解，分别为

a?1?a2?2a?7a?1?a2?2a?7，x2?． x1?22且当a?2时，x1?0，x2?1． 综上所述，当

3?a?22?1时，直线y?x?1与函数y?f?x?的图像有一个交点． 2当a?22?1或a?2时，直线y?x?1与函数y?f?x?的图像有二个交点． 当a?22?1且a?2时，直线y?x?1与函数y?f?x?的图像有三个交点．

??f'??1??0?3?2a?b?0?a?2????32、1）由题设知：? ， ?3?2a?b?8?b?1??f'?1??8

∴f(x)?x?2x?x 则f'?x??3x?4x?1

322令f?(x)?0,解得x1??,x2??1

当x变化时，f?x?,f'?x?的变化情况如下表：

13x f'?x? f?x? ???,?1? + 11?? ??1 ??1,?? 33??－ 0 ?1???,??? ?3?+ 0 0 ? ? ?4 ? 27

所以f?x?的极大值为f??1??0；极小值为f??????1??3?4 ?????5分 27322 （2）x?2x?x?kx?xx?2x?1?k?0

??

考虑方程xx2?2x?1?k?0根的情况：

??k?0，则方程x?x2?2x?1?k??0的根为x1?0,x2??k?1,x3?k?1

?k?1?0?当k?1时，k?1,解集为xx?k?1或?k?1?x?0

??当k?1时,解集为xx??2 当0?k?1,解集为xx?0或?k?1?x????k?1

? （3）?,??R,∴?1?sin??1,∴?1?cos??1

?4?112 ∴f?sin???f?cos???f????2727??33、（1）见解析（2）钝角三角形

???解析：证明：假设存在x0,x0?(a,b),且x0?x0,使得 f(b)?f(a)?f?(x0)

b?af(b)?f(a)??f?(x0) ∴

b?a∵f?(x0)?f?(x0)

?ex11??1?,记g(x)?f(x)??, ∴f?(x)?1?ex1?ex1?exex∴g?(x)??0,f?(x)是[a,b]上的单调增函数。 x2(1?e)?,这与x??x0矛盾,即x0是唯一的。 ∴x0?x0（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且x1?x2?x3 ∵f?(x)??1?0,

1?ex∴f(x)是x?R上的单调减函数。 ∴f(x1)?f(x2)?f(x3).

∵BA?(x1?x2,f(x1)?f(x1)),BC?(x3?x2,f(x3)?f(x2)), ∴BA?BC?(x1?x2)(x3?x2)?(f(x1)?f(x2))(f(x3)?f(x2)), ∵x1?x2?0,x3?x2?0,f(x1)?f(x2)?0,f(x3)?f(x2)?0, ∴BA?BC?0 ∴cosB?0,?B为钝角 ∴△ABC为钝角三角形。

34、（1）a>1（2）有且仅有两个交点

a1?解析：（1）h(x)?lnx?x2?2x(x?0),h'(x)??ax?2.

2x1若使h(x)存在单调递减区间，则h'(x)??ax?2?0在(0,??)上有解．

x1112而当x?0时,?ax?2?0?ax??2?a?2?

xxxx1212问题转化为a?2?在(0,??)上有解，故a大于函数2?在(0,??)上的最小值．

xxxx 又

121122??(?1)?1,?在(0,??)上的最小值为-1，所以a>1． 22xxxxx （2）令F(x)?f(x)?g(x)?ax?lnx?1(a?0).

函数f(x)?ax与g(x)?lnx?1的交点个数即为函数F(x)的零点的个数．

1(x?0). x11令F'(x)?a??0,解得x?.

xaF'(x)?a?随着x的变化，F'(x),F(x)的变化情况如下表：

x F'(x) 1(0,) a- 单调递减 1 a0 1(,??) a+ F(x) 极（最）小值2+lna 单调递增 ?2① 当F()?2?lna?0,即a?e时,F(x)恒大于0，函数F(x)无零点．

1a?2② ②当F()?2?lna?0,即a?e时,由上表，函数F(x)有且仅有一个零点．

1a?2③F()?2?lna?0,即0?a?e时,显然1?1a1 a11F(1)?a?1?0,所以F(1)?F()?0.又F(x)在(0,)内单调递减，

aa1所以F(x)在(0,)内有且仅有一个零点

a1(ea)x?1. 当x?时,F(x)?lnax由指数函数y?(ea)x(ea?1)与幂函数y?x增长速度的快慢，知存在x0?1, a(ea)x0(ea)x0使得?1.从而F(x0)?ln?1?ln1?1?1?0.

x0x0因而F()?F(x0)?0.

又F(x)在(,??)内单调递增，F(x)在?,???上的图象是连续不断的曲线， 所以F(x)在(,??)内有且仅有一个零点． 因此，0?a?e?2时,F(x)有且仅有两个零点．

综上，a?e时,f(x)与g(x)的图象无交点；当a?e时,f(x)与g(x)的图象有且仅有一个交点；0?a?e时,f(x)与g(x)的图像有且仅有两个交点．

?2?2?21a1a?1?a??1a35、（1）见解析（2）奇函数（3）见解析

??解析：（1）取f(x)=tanx，定义域为{x∣x≠kπ+2，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；

a??4使得f(a)=tana=1；

且存在常数

又由两角差的正切公式知，符合

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)。

f(0)?f(x)1?f(0)f(x)，

f(0?x)?（2）f(x)是D上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x1=0，x2=x，由

得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D上的奇函数；

（3）考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜测4a是f(x)的一个周期。

f(x?a)?f(x)?f(a)f(x)?1?1?f(x)f(a)1?f(x)，则

证明：由已知

f(x?2a)?f[(x?a)?a]?f(x?a)?1f(x)?1f(x)?11?[?1]?[1?]??1?f(x?a)1?f(x)1?f(x)f(x)，

1?f(x)f（x?2a）。

f(x?4a)?f[(x?2a)-2a]??所以f(x)是周期函数，4a是f(x)的一个周期。

36、（Ⅰ）f(n)?(1)n?1，g(n)?13?2(n?5)?2n?3

3（Ⅱ）Sn?[1?()n]?（Ⅲ）(M?m)min?3

94133n1n92n?31n?1()?3n??3n??()23443

11?解析：. 解：（Ⅰ）取x?n，得f(n?1)?f(n)，取x?0，f(1)?f(0)?1

33故数列{f(n)}是首项是1，公比为的等比数列，所以f(n)?()n?1

取x?n，y?1，得g(n?1)?g(n)?2(n?N)*，即g(n?1)?g(n)?2，故数列{g(n)}是公差为2的等差数列，又g(5)?13，所以g(n)?13?2(n?5)?2n?3 （Ⅱ）cn?g[f(n)]?g[()n?1]?n()n?1?3n2n123131313

11111Sn?c1?c2???cn?1?2()?3()2?4()3???(n?1)()n?2?n()n?1?3n

33333111111Sn??2()2?3()3???(n?1)()n?1?n()n?n，两式相减得 33333311?()n2111113?n(1)n?2n?3[1?(1)n]?n(1)n?2nSn?1??()2?()3???()n?1?n()n?2n?133333332331?39Sn?[?14n所以

1n?(331n?9)?nn]??n(?)?23494?1 3n243331()（Ⅲ）F(n)?Sn?3n??2n?31n?12n?31n?12n?51n1?()，F(n?1)?F(n)?()?()?(n?1)()n?0 4343433所以F(n)是增函数，那么F(n)min?F(1)?1 由于nlim??2n?392n?31n?199，则，由于，则，所以 ?0limF(n)?()?0F(n)?1?F(n)?n??3n?14434494因此当m?1且M?时，m?F(n)?M恒成立，所以存在正数m?0,?1,?2,??,M?3,4,5,??，使得对任意的正整数，不等式m?F(n)?M恒成立.此时， (M?m)min?3

1537、（1）f2(x)不是“平底型”函数（2）实数x的范围是[,]⑶m＝1，n＝1

22?解析：（1）对于函数f1(x)?|x?1|?|x?2|，当x?[1,2]时，f1(x)?1.

当x?1或x?2时，f1(x)?|(x?1)?(x?2)|?1恒成立，故f1(x)是“平底型”函数.

,2]对于函数f2(x)?x?|x?2|，当x?(??时，f2(x)?2；当x?(2,??)时，f2(x)?2x?2?. 2所以不存在闭区间[a,b]，使当x?[a,b]时，f(x)?2恒成立.故f2(x)不是“平底型”函数.

|k|?f(x)（Ⅱ）若|t?k|?|t?k|?对一切t?R恒成立，则(|t?k|?|t?k|)min?|k|?f(x).

因为(|t?k|?|t?k|)min?2|k|，所以2|k|?|k|?f(x).又k?0，则f(x)?2. 因为f(x)?|x?1|?|x?2|，则|x?1|?|x?2|?2，解得

15?x?. 22故实数x的范围是[,]. （Ⅲ）因为函数g(x)?mx?1522x2?2x?n是区间[?2,??)上的“平底型”函数，则存在区

x2?2x?n?c恒成立.

间[a,b]?[?2,??)和常数c，使得mx??m2?1?m?1?m??1???22所以x?2x?n?(mx?c)恒成立，即??2mc?2.解得?c??1或?c?1.

?n?1?n?1?c2?n????m?1?当?c??1时，g(x)?x?|x?1|. ?n?1?当x?[?2,?1]时，g(x)??1，当x?(?1,??)时，g(x)?2x?1??1恒成立. 此时，g(x)是区间[?2,??)上的“平底型”函数.

?m??1?当?c?1时，g(x)??x?|x?1|. ?n?1?当x?[?2,?1]时，g(x)??2x?1?1，当x?(?1,??)时，g(x)?1. 此时，g(x)不是区间[?2,??)上的“平底型”函数. 综上分析，m＝1，n＝1为所求.

e?x38、（1）f2(x)?x不是?函数；（2）在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，则函数f(x) 是

e?1?函数.

?解析：1）∵|xsinx|≤|x|,∴f1(x)=xsinx是?函数；

1e?x∵f2(0)?，∴不满足|f(0)|≤|0|,∴f2(x)?x不是?函数；

2e?1（2）设F(x)=f(x)-x,则F′(x)=①当x>0时，∵a>1, ∴

2x?1 2x?a2x2x1???1 22x?a2xaa当x=0时，F′(x)=-1<0 ∴当x≥0时，F′(x)=

2x?1<0. 2x?a∴F(x)在?0,???上是减函数

∴F(x)≤F(0),又F(0)=f(0)=0,∴F(x)=f(x)-x≤0 ∵x>0时f′(x)=

2x?0 2x?a∴函数f(x)在?0,???上是增函数，∴f(x)≥f(0)=0 ∴0≤f(x)≤x,即|f(x)| ≤|x|

②当x<0时，-x>0, ∴|f(-x)|≤|-x|,显然f(x)为偶函数 ∴|f(x)|≤|-x|即|f(x)| ≤|x|

∴在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，则函数f(x) 是?函数.

39、（1）见解析（2）成立

?解析：（1）函数f1(x)?x?2不属于集合A. 因为f1(x)的值域是[?2,??),所以函数

f1(x)?x?2不属于集合A.(或?当x?49?0时,f1(49)?5?4，不满足条件.)

1f2(x)?4?6?()x(x?0)在集合A中, 因为: ① 函数f2(x)的定义域是[0,??)；

2② 函数f2(x)的值域是[?2,4)；③ 函数f2(x)在[0,??)上是增函数．

x（2）f(x)?f(x?2)?2f(x?1)?6?()(?)?0，

1214?不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)对于任意的x?0总成立

11112??f(x?1)??(x?1)?(x?1)f(x)?f(x?1)?(x?2)?(x?2)2?；21???? 2222112?∴fn(x)?nf(x?n)??(x?n)?(x?n) ??2240、f1(x)??解析：当x?I1＝?1,2?时，x?1??0,1?，由题意

f1(x)?11f(x?1)??(x?1)?(x?1)2???， 22当x?I2??2,3?时，x?1??1,2?，由题意

f2(x)?112?f1(x?1)??(x?2)?(x?2)． ??22∵f(x)?2f(x?1)?22f(x?20?…?2nf(x?n)， ∴f(x?n)?2nf(x)，

当x?In??n,n?1?时，x?n??0,1?，

∴fn(x)?112??f(x?n)?(x?n)?(x?n)n?． 22?9241. 解：（I）f?(x)?x?1

a92 当a?0时,f?(x)?x?1?0,所以f(x)在R上是减函数；

a

当a?0时,解9x2?1?0,得x?a或x??a; 解9x2?1?0,得?a?x?a,

a33a33

aa,)为f(x)的减区间，区间(??,?a)和(a,??)为f(x)的增区间.?53333932a?1， 分 （II）在点(3a,f(3a))处曲线切线的斜率为a932a?1)(x?3a), 切线方程y?(3?3a)?(a所以，区间(?令x=0，可得y=－6， 所以切线恒守定点（0，－6）????9分

（III）点(x1,f(x1))处曲线的切线方程为y?(

339x1?x1)?(x12?1)(x?x1)， aa6x13令y?0,得x2?，

9x12?a

6x13x1(a?3x12)， x2?x1?2?x1?29x1?a9x1?a因为a?0,x1?a,所以x1?0,9x12?a?0,a?3x12?0， 3x1(a?3x12)所以?0,所以x2?x1 29x1?a42. (Ⅰ)当-2≤a<显然-1≤x1<

1?1?4a1?1?4a1,x2?. 时，由f'(x)=0得x1=42211?1??1?,

?x?x1??x?x2?

x21≤x≤x2时，f'(x)≥0，f(x)单调递增； 2当x2

4解: 因为g(x)?[f(x)?lnx]?x2=ax?x3

不妨设任意不同两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，其中x1?x2

3y1?y2a(x1?x2)?(x2?x13)2则k???a?(x12?x1x2?x2)

x1?x2x1?x222由 k?1知:a? 1+(x1?x1x2?x2)

因为

3?7?222?3x12?x12?x1x2?x2?3x2?12，所以1+(x12?x1x2?x2)??,13?， 4?4?74故存在a?(??,]符合条件。

43. 解：(1)函数的定义域为(?1,0)?(0,??).

(2) f??x?＝

1?x?＝－1?1?

?????1?lnx?1?lnx?12?2??x?x?1x???x?1?２

∵ｘ＞０，∴ｘ＞０，

1＞０．lｎ（ｘ＋１）＞０。∴f??x?＜０。

x?1因此函数f（ｘ）在区间（０，＋∞）上是减函数． 当-1g(0)=1>0,故此时f??x?＝－函数f(x)在区间(-1,0)上也是减函数.

综上可知函数f(x)在 (-1,0)和(0,??)上都是减函数

（3） 当ｘ>０时，f（ｘ）＞

k恒成立, 令ｘ＝１有ｋ＜２?1?ln2? x?1k（ｘ＞０）恒成立． x?1又k为正整数．∴k的最大值不大于３． ……..10分 下面证明当ｋ＝３时，f（ｘ）＞

即证当ｘ>０时，?x?1?ln?x?1?＋１－２ｘ＞０恒成立． 令ｇ（ｘ）＝?x?1?ln?x?1?＋１－２ｘ，则g??x?＝ln?x?1?－１， 当ｘ>ｅ－１时，g??x?＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，g??x?＜０．

∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０． ∴当ｘ>０时，?x?1?ln?x?1?＋１－２ｘ＞０恒成立． 因此正整数k的最大值为３

14logae,g?(x)?logae. x2x?t?2∵函数f(x)和g(x)的图象在x?2处的切线互相平行, ?f?(2)?g?(2), 14?logae?logae 2t?2?t?6. （Ⅱ）?t?6

?F(x)?g(x)?f(x)?2loga(2x?4)－logax

44. 解：(Ⅰ) ?f?(x)?(2x?4)2?loga,x??1,4?

x(2x?4)216?4x??16,x??1,4? 令h(x)?xx164(x?2)(x?2)?h?(x)?4?2?,x??1,4? 2xx∴当1?x?2时，h?(x)?0,当2?x?4时，h?(x)?0.

∴h(x)在?1,2?是单调减函数，在?2,4?是单调增函数.

?h(x)min?h(2)?32，?h(x)max?h(1)?h(4)?36.

∴当0?a?1时，有F(x)min?loga36，当a?1时，有F(x)min?loga32.

∵当x??1,4?时，F(x)?2恒成立, ∴F(x)min?2 ∴满足条件的a的值满足下列不等式组

?0?a?1,?a?1,①，或?② ?log36?2;log32?2.?a?a不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1?a?42. 综上所述，满足条件的a的取值范围是：1?a?42.

2xa2?b，∴f'(x)??， x?1x?1(x?1)2 ∵函数f(x)在x?0处的切线方程为y??x?2， ∴f'(0)?a?2??1，∴a?1

（2）∵点(0,c)在直线x?y?2?0上， ∴c?2?0，∴c?2，

2x?b的图象上，∴f(0)?b?2， ∵(0,2)在f(x)?ln(x?1)?x?12x?2(x??1) ∴f(x)?ln(x?1)?x?112x?1由（1）得：f'(x)???(x??1)， 22x?1(x?1)(x?1)令f'(x)?0，则x?1，因此函数f(x)的单调递增区间为（1，+∞）， 令f'(x)?0，则?1?x?1，因此函数f(x)的单调递减区间为（－1，1） ∴当x?1时，函数f(x)取得极小值1?ln2

45. 解：（1）∵f(x)?aln(x?1)?

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