江海名师零距离2015届高三数学二轮总复习专题19 解决概率统计与

专题十九 解决概率统计与算法问题

【典题导引】

例1.在市统测后，从高二年级抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．

（1）估计这次数学考试的平均成绩； （2）从样本中任选一学生，该生数学成绩在 （3）用分层抽样的方法在分数段为

[110,140)(单位：分)之间的概率；

[140,160](单位：分)的学生中抽取一个容量为5的样本，

[140,150)(单位：分)和[150,160](单位：分)这两个

从中选取2人作学习数学经验介绍，求选到分数段各一人的概率．

0.0130.009120例1图

解：（1）由表知：本次考试成绩共分为8组，各组的频率分别为： 0.02,0.04,0.13,0.2,0.26,0.2,0.09,0.06，

?估计这次数学考试的平均成绩为：

85?0.02?95?0.04?105?0.13?115?0.20?125?0.26?135?0.20?145?0.09?155?0.06?124；

（2）由（1）得，数学成绩在

[110,140)的频率为0.20?0.26?0.20?0.66，

?从样本中任选一学生，该生数学成绩在

[110,140)之间的概率为0.66；

51?（3）分层抽样比为9?63，

116??29??3[150,160]3?在分数段[140,150)抽取3（人），在分数段 抽取（人）， 这5名学生中，在

[140,150)的3名学生记为：a1,a2,a3，在

[150,160]的2名学生记为：b1,b2．

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则在这5名学生中选取2名学生的所有可能的基本事件：

a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2， a3b1，a3b2，b1b2共10个；

两个分数段各一人的所有可能的基本事件：a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2共6个； 选取2人作学习数学经验介绍，选到这两个分数段的事件记为A，则答：（1）估计这次数学考试的平均成绩为124分； （2）从样本中任选一学生，该生数学成绩在

P(A)?63?105．

[110,140)之间的概率为0.66；

3（3）选到这两个分数段各一人的概率为5．

例2. 如图所示的算法中，令a?tan?,b?sin?,c?cos?，若在集合 {???4???3???,??0,,}442中，给?取一个值，输出的结果

是sin?．

（1）求?值所在的范围；

2f(x)?2x?2x?cos?有2个零点的概率． （2）求函数

例2图

解：(1)由程序框图知，输出的x是a,b,c中的最大值．

?3???????0或???,??424??sin??tan?,?3????????3?.?????,??0,,sin??cos?,?444442，??则?

?3?(,)因此?的取值范围是24.

(2)由已知，得??4?8cos??0，得?3??2????????24，23.

cos???12，

2????32?6?2P?3???3?2424?函数f(x)?2x?2x?cos?有2个零点的概率.

例3. 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生

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和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生， 将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随 机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．

（1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； （2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充 分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．

解: （1）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．

由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1?A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.

（2）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可 能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.

第二次抽取 第一次抽取 ?1227???0.7202010，即连续抽

1 (1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)2 (1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)3 (1,3)(2,3)4 (1,4)5 (1,5)1 2 3 4 5

(2,4) (2,5) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3)(4,4)(4,5) (5,3) (5,4) (5,5) 试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典 概型．用A表示事件“独唱和

朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表

演的概率

P(A)?51??0.2255.

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例4．(2012北京)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可 回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放 情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位： 吨）： 厨余垃圾 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 可回收物 30 其他垃圾 20 （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

100 240 20 100 30 60 （3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c， 其中a?0，a?b?c?600.当数据a,b,c的方差s2最大时，写出a,b,c的值（结论不 要求证明），并求此时s2的值. 解：（1）厨余垃圾投放正确的概率约为：?厨余垃圾?箱里厨余垃圾量??厨余垃圾总量

4002??400?100?1003? （?）设生活垃圾投放错误为事件A?则事件A表示生活垃圾投放正确?事件A的概率约为?厨余垃圾?箱里厨余垃圾量??可回收物?箱里可回收物量与?其他垃圾?箱里其他垃圾量的总和除以

400?240?60?0.7P(A)1000生活垃圾总量?即约为?所以P(A)约为1?0.7?0.3?

1x?(a?b?c)?2003（?）因为? 11s2?[(a?200)2?(b?200)2?(c?200)2]?(a2?b2?c2?120000)33所以? 当??????b?c?0时? s2取得最大值?

1s2?[(600?200)2?(0?200)2?(0?200)2]?800003最大值为?

【归类总结】

1．古典概型与几何概型：

（1）①有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本 事件总数；②对于较复杂的题目要注意正确分类，分类时应不重不漏；

（2）①当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几 何概型求解；②利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件 发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

2．运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后分别求出各事 件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼 此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解． 3．抽样方法：（1）在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需

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N

要分成几个组，则分段间隔即为n(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号 码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．（2）在分层抽样中，要求各层在样本中 和总体中所占比例相同．

频率4．频率分布直方图的纵轴表示组距，图中读出的纵坐标的数据并非是频率，需要乘以组 距以后才为频率．频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上 可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平 均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．方差和标准差都是用来描述一组数 据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较 小的波动较小．

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