2018年辽宁省阜新市中考数学试卷

2018年辽宁省阜新市中考数学试卷

一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分)

1．（3.00分）（2018?阜新）﹣2018的相反数是（ ） A．﹣2018 B．2018

C．±2018 D．﹣

2．（3.00分）（2018?阜新）如图所示，是一个空心正方体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

3．（3.00分）（2018?阜新）某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表： 年龄/岁 人数 12 1 13 3 14 4 15 2 16 2 关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ） A．众数为14 B．极差为3

C．中位数为13 D．平均数为14

的解集，在数轴上表示正确的是（ ）

4．（3.00分）（2018?阜新）不等式组

A． B． C． D．

5．（3.00分）（2018?阜新）反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（ ） A．（﹣3，﹣2）

B．（3，2） C．（﹣2，﹣3）

D．（﹣2，3）

6．（3.00分）（2018?阜新）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）

第1页（共24页）

A．25° B．35° C．15° D．20°

7．（3.00分）（2018?阜新）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．

8．（3.00分）（2018?阜新）甲、乙两地相距600km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意可列方程为（ ） A．C．

=4 B．=4 D．

=4 =4×2

9．（3.00分）（2018?阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）

A．（1，1） B．（0，） C．（） D．（﹣1，1）

10．（3.00分）（2018?阜新）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（﹣1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（ ）

第2页（共24页）

A．ac＞0

B．b2﹣4ac＜0

C．对称轴是直线x=2.5 D．b＞0

二、填空题（每小题3分,共18分) 11．（3.00分）（2018?阜新）函数

的自变量x的取值范围是 ．

12．（3.00分）（2018?阜新）如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为 ．

13．（3.00分）（2018?阜新）如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为 ．

14．（3.00分）（2018?阜新）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为 ．

15．（3.00分）（2018?阜新）如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为 m（结果保留根号）．

第3页（共24页）

16．（3.00分）（2018?阜新）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是 km/h．

三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分) 17．（8.00分）（2018?阜新）（1）计算：（）﹣2+（2）先化简，再求值：

÷（1+

﹣2cos45°；

），其中a=2．

18．（8.00分）（2018?阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．

（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；

（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2； （3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．

第4页（共24页）

19．（8.00分）（2018?阜新）为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“A．奶制品类，B．肉制品类，C．面制品类，D．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：

（1）这次抽查了四类特色美食共 种，扇形统计图中a= ，扇形统计图中A部分圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图；

（3）如果全省共有这四类特色美食120种，请你估计约有多少种属于“豆制品类”？

20．（8.00分）（2018?阜新）在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费3000元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．

（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？

（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1050元，则最多可购买多少个篮球？

21．（10.00分）（2018?阜新）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF； （2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°． ①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=

AM；

②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．

第5页（共24页）

22．（10.00分）（2018?阜新）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值； （3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

第6页（共24页）

2018年辽宁省阜新市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分)

1．（3.00分）（2018?阜新）﹣2018的相反数是（ ） A．﹣2018 B．2018

C．±2018 D．﹣

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：﹣2018的相反数是2018． 故选：B．

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

2．（3.00分）（2018?阜新）如图所示，是一个空心正方体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】直接利用左视图的观察角度进而得出答案． 【解答】解：如图所示：

左视图为：故选：C．

．

【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．

3．（3.00分）（2018?阜新）某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表： 年龄/岁

12 13 14 15 16 第7页（共24页）

人数 1 3 4 2 2 关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ） A．众数为14 B．极差为3

C．中位数为13 D．平均数为14

【分析】根据众数、中位数、平均数与极差的定义逐一计算即可判断． 【解答】解：A、这12个数据的众数为14，正确； B、极差为16﹣12=4，错误； C、中位数为D、平均数为故选：A．

【点评】本题主要考查众数、极差、中位数和平均数，熟练掌握众数、极差、中位数和平均数的定义是解题的关键．

4．（3.00分）（2018?阜新）不等式组

的解集，在数轴上表示正确的是（ ）

=14，错误；

=

，错误；

A． B． C． D．

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项． 【解答】解：

∵解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤2，

∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，

在数轴上表示为故选：B．

，

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．

5．（3.00分）（2018?阜新）反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（ ）

第8页（共24页）

A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）

【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案． 【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2）， ∴xy=k=﹣6，

A、（﹣3，﹣2），此时xy=﹣3×（﹣2）=6，不合题意； B、（3，2），此时xy=3×2=6，不合题意；

C、（﹣2，﹣3），此时xy=﹣3×（﹣2）=6，不合题意； D、（﹣2，3），此时xy=﹣2×3=6，符合题意； 故选：D．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键．

6．（3.00分）（2018?阜新）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）

A．25° B．35° C．15° D．20°

【分析】根据直径得出∠ACB=90°，进而得出∠CAB=25°，进而解答即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=65°， ∴∠CAB=25°， ∵OA=OC，

∴∠OCA=∠CAB=25°， 故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．

第9页（共24页）

7．（3.00分）（2018?阜新）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．

【解答】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x， 则这个点取在阴影部分的概率是故选：C．

【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

8．（3.00分）（2018?阜新）甲、乙两地相距600km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意可列方程为（ ） A．C．

=4 B．=4 D．

=4 =4×2

=，

【分析】由路程÷速度=时间，利用“乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h，高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍”得出等量关系即可建立方程求得答案即可．

【解答】解：设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，由题意得

，

故选：C．

【点评】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．

第10页（共24页）

9．（3.00分）（2018?阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）

A．（1，1） B．（0，） C．（） D．（﹣1，1）

【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．

【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1， ∴B（1，1）， 连接OB，

由勾股定理得：OB=

，

，

由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=

∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，

相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°， ∴B1（0，

），B2（﹣1，1），B3（﹣

，0），…，

发现是8次一循环，所以2018÷8=252…余2， ∴点B2018的坐标为（﹣1，1） 故选：D．

第11页（共24页）

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．

10．（3.00分）（2018?阜新）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（﹣1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（ ）

A．ac＞0

B．b2﹣4ac＜0

C．对称轴是直线x=2.5 D．b＞0

【分析】直接利用二次函数图象与系数的关系进而分析得出答案． 【解答】解：A、∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

∵抛物线与y轴交在正半轴上， ∴c＞0，

∴ac＜0，故此选项错误； B、∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故此选项错误；

C、∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（﹣1，0）和（4，0）， ∴对称轴是直线x=1.5，故此选项错误；

第12页（共24页）

D、∵a＜0，抛物线对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号，

∴b＞0，故此选项正确． 故选：D．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握各项符号判断方法是解题关键．

二、填空题（每小题3分,共18分) 11．（3.00分）（2018?阜新）函数

的自变量x的取值范围是 x≠3 ．

【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得，x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为：x≠3．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12．（3.00分）（2018?阜新）如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为 52° ．

【分析】依据AB∥CD，∠EGF=64°，即可得到∠BEG=∠EGF=64°，再根据EG平分∠BEF，即可得到∠BEF=2∠BEG=128°，进而得出∠AEF=180°﹣128°=52°． 【解答】解：∵AB∥CD，∠EGF=64°， ∴∠BEG=∠EGF=64°， 又∵EG平分∠BEF， ∴∠BEF=2∠BEG=128°，

第13页（共24页）

∴∠AEF=180°﹣128°=52°， 故答案为：52°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．

13．（3.00分）（2018?阜新）如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为 4 ．

【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，那么△DEF∽△BCF，利用相似三角形对应边成比例即可求出线段BF的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴

=

，

∵点E为AD中点， ∴DE=AD， ∴DE=BC， ∴

=，

∴BF=2DF=4． 故答案为4．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，线段中点的定义，证明出△DEF∽△BCF是解题的关键．

14．（3.00分）（2018?阜新）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为 5 ．

第14页（共24页）

【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=8﹣x，且A1B=4，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案． 【解答】解：

由折叠的性质可得AE=A1E，

∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8， ∴AB=8，

∵A1为BC的中点， ∴A1B=4，

设AE=A1E=x，则BE=8﹣x，

在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5， 故答案为：5．

【点评】本题主要考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．

15．（3.00分）（2018?阜新）如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为 10 m（结果保留根号）．

【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°， ∴∠B=30°， ∵BC=30m， ∴AC=故答案为：10

m，

第15页（共24页）

【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．

16．（3.00分）（2018?阜新）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是 3.6 km/h．

【分析】根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．

【解答】解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇． 设乙的速度为xkm/h 2.5×（6+x）=36﹣12×2 解得x=3.6 故答案为：3.6

【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．

三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分) 17．（8.00分）（2018?阜新）（1）计算：（）﹣2+（2）先化简，再求值：

÷（1+

﹣2cos45°；

），其中a=2．

【分析】（1）根据负整数指数幂的意义，二次根式的性质以及特殊角锐角三角函数值即可求出答案．

（2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式=4+3

﹣2×

第16页（共24页）

=4+3=4+2

﹣

（2）原式===

×

÷

当a=2时， 原式=

=

【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

18．（8.00分）（2018?阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．

（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；

（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2； （3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．

【分析】（1）根据点C移到点C1（﹣2，﹣4），可知向下平移了5个单位，分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可解决问题；

（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可； （3）利用勾股定理计算CC2，可得半径为2

，根据圆的周长公式计算即可．

第17页（共24页）

【解答】解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，（2分） ∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；（4分）

（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，（6分）

（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆， 由勾股定理得：CC2=

=4

，

π．（8分）

∴点C经过的路径长：×2πr=2

【点评】本题考查平移变换、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题，属于中考常考题型．

19．（8.00分）（2018?阜新）为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“A．奶制品类，B．肉制品类，C．面制品类，D．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：

（1）这次抽查了四类特色美食共 20 种，扇形统计图中a= 40 ，扇形统计图中A部分圆心角的度数为 72° ； （2）补全条形统计图；

（3）如果全省共有这四类特色美食120种，请你估计约有多少种属于“豆制品类”？

第18页（共24页）

【分析】（1）根据A类的种数除以占的百分比即可得到总人数；再根据总数依次求出即可；

（2）求出B的种数是20﹣4﹣6﹣8=2，画出即可； （3）用样本估计总体．

【解答】解：（1）这次抽查了四类特色美食共4÷20%=20种， ∵8÷20=0.4=40%， ∴a=40，

360°×20%=72°，即扇形统计图中A部分圆心角的度数是72°， 故答案为：20，40，72°；

（2）

；

（3）120×=36（种），

答：估计约有36种属于“豆制品类”．

【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键．

20．（8.00分）（2018?阜新）在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费3000元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．

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（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？

（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1050元，则最多可购买多少个篮球？

【分析】（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据题意列出方程组解答即可；

（2）设购买a个篮球，根据题意列出不等式解答即可．

【解答】解：（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据题意可得：

，

解得：

，

答：购买一个篮球，一个足球各需150元，100元；

（2）设购买a个篮球，根据题意可得：0.9×150a+0.85×100（10﹣a）≤1050， 解得：a≤4，

答；最多可购买4个篮球．

【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据总费用作为不等关系列出不等式求解．

21．（10.00分）（2018?阜新）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF； （2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°． ①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=

AM；

②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．

第20页（共24页）

【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAD=45°，进而得出∠CAD=∠B，再判断出∠BDE=∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；

（2）①先判断出AM=PM，进而判断出∠BMP=∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP=AB+AN，再判断出AP=

AM，即可得出结论；

②先求出BD，再求出∠BMD=60°，最后用三角函数求出DM，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°， ∴∠CAD=∠B，AD=BD， ∵∠EDF=∠ADC=90°， ∴∠BDE=∠ADF，

∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴DE=DF；

（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P， ∴∠AMP=90°， ∵∠PAM=45°， ∴∠P=∠PAM=45°， ∴AM=PM，

∵∠BMN=∠AMP=90°， ∴∠BMP=∠AMN， ∵∠DAC=∠P=45°，

∴△AMN≌△PMB（ASA）， ∴AN=PB，

∴AP=AB+BP=AB+AN，

在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP， ∴AP=

AM，

AM；

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∴AB+AN=

②在Rt△ABD中，AD=BD=AB=，

∵∠BMN=90°，∠AMN=30°， ∴∠BMD=90°﹣30°=60°， 在Rt△BDM中，DM=∴AM=AD﹣DM=

﹣

．

=

，

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BDE≌△ADF是解（1）的关键，构造出全等三角形是解（2）的关键．

22．（10.00分）（2018?阜新）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值； （3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可

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得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得

，

解得

，

这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），

设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得

，

解这个方程组，得

直线BC的解析是为y=﹣x+3，

过点P作PE∥y轴

交直线BC于点E（t，﹣t+3）， PE=﹣t+3﹣（t﹣4t+3）=﹣t2+3t，

，

∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（﹣t2+3t）×3=﹣（t﹣）2+∵﹣＜0，∴当t=时，S△BCP最大=

，

（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3） MN=m2﹣3m，BM=

|m﹣3|，

（m﹣3），解得m=

当MN=BM时，①m2﹣3m=②m2﹣3m=﹣

，

（m﹣3），解得m=﹣

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当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°， m2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，

﹣（m2﹣4m+3）=﹣m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN是等腰三角形时，m的值为

，﹣

，1，2．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．

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