2012北京邮电大学数学建模模拟试题

2012北京邮电大学数学建模模拟

说明：

1、 本次模拟考试是课程学习的最后一个环节，请各位重视和充分利用；

2、 参加数学建模课程设计的同学自由组成3人小组进行模拟，最终以论文的形式（其格

式要求同全国大学生数学建模竞赛）提交结果，论文连同平时完成的作业，将作为依据，确定本校参加2012年全国大学生数学建模竞赛的代表队； 3、 模拟时间为07月02日08:00-07月08日23:59； 4、 论文写作格式，请统一按照“format_cumcm2011.doc”；

5、 论文与有关计算程序请放置在以队员姓名(全部队员按照某种次序)组合为名的文件夹

内，如“丁一于二王三A”，其中“A”表示相应队的模拟选题为A题，压缩后提交到ftp://slcx.sci.bupt.cn（homework），同时以邮件附件的形式发到邮箱 3rdi.bupt@gmail.com;

6、 论文提交的时间截至到07月08日(本周日)23:59时，逾时无效处理；

7、 期间，每个模拟队选派一个队员，请再次通过课程报名系统slcx.sci.bupt.cn/sxjm，

将各组的组队信息提交一下，即3（一些组可能是4）个队员的“姓名、学号、班级”，按照“姓名1、学号1、班级1；姓名2、学号2、班级2；姓名3、学号3、班级3”的格式填写到“自我介绍”框内，我统一整理；

8、 我们在08月20日~9月6日期间将组织数学建模竞赛赛前培训，培训对象为本次小学

期学习考核合格、成功组队并完成模拟试题的同学，其间确定我校的参赛队与组队队数；

9、 我们将在08月24日09:00-11:59，数理创新实践基地（主楼408室）统一组织本校学

生注册报名参赛事宜，请每参赛队选派一个队员在该时段到实验室集中办理，逾时不候！

更多细节请留意期间的邮件通知。

A题：

(说明：本题为2012年“深圳杯”全国大学生数学建模夏令营C题，详见

http://www.mcm.edu.cn/html_cn/block/4ce3bc77a3ffd386eaa14d37796a4c18.html)：

问题背景：由于高密度计算、多任务计算的需要，越来越多的高性能数据中心或互联网中心（DC、IDC）正逐渐建成。在现代的数据中心内，由于刀片服务器成本与性价比高，体积小而被广泛使用。由于自身能源与冷却条件限制，这类大规模的数据中心或许每年需要花费数百万美元，主要用于计算设备及系统冷却所需的能源费用。因此有必要提高数据中心设备的能效，极大化数据中心的能源利用率及计算能力。大约在上世纪90年代后期，IBM、HP等公司首先提出绿色数据中心的概念，并受到世界各国的广泛重视。 绿色数据中心的主要目标包括：

? 最佳PUE（数据中心基础设施能源利用效率）实现 ? 实现动态智能制冷，精确送配风系统 ? 优化的场地设计、电气系统设计

? 支持全球领先环保节能标准LEED（美国领先能源和环境设计规范） ? 实现最佳系统部署

? 区域化和模块化设计－－高热区和低热区，采用不同的散热方式，实现对不同负载的

有效支持。对大型数据中心，模块化设计理念。

? 整合的智能的机房监控系统 (动力设施,环境与IT设施,平台统一)实现自动化管理。 绿色数据中心的设计在我国处于刚起步阶段，相关的工作很少，资源缺乏。作为绿色数据中心设计的一个重要环节是利用源自服务器及环境温度的数据，刻画数据中心的热循环过程。机房内热环境分析是绿色机房设计的主要步骤之一。为了保证机房内设备健康运行，数据中心制冷系统必须根据机房内热点的温度（室内最高温度）向机房送配冷气。而合理地给服务器分配工作任务，能够降低机房内热点的温度，达到节能目的。图1是较典型的一类数据中心机房虚拟示意图。

图1 虚拟机房示意图

该类机房采用独立的空调通风制冷系统（HVAC），机房机柜的布置通常按一定的行业设计规范要求布置。相邻机柜的出风口面对同一个通道，形成热通道。机房内热气流经循环进入HVAC顶部，在经过水冷系统冷却后从地下冷风槽通过中孔板送入机柜进风口，形成冷通道。对于此类机房，往往由于机柜布置的不合理，以及各机柜服务器任务分配的不合理，造成机房内局部温度过高（形成热点）。为了保证服务器的健康工作，通常需要HVAC降低送风温度或加大送风量，造成耗能增加。绿色数据中心的主要任务之一就是根据机房的基础设施状态，按照行业规范要求合理地布置机柜，分布任务，尽量避免局部地区过热。该问题数学上处理起来比

较困难，图2是一个测试案例，部分测试数据见附件1及附件2。供你们队参考。

热通道 冷通道 热通道 冷通道 热通道

图2 测试机房虚拟示意图

该测试机房高3.2米，每个机柜群长6.4米，深0.8米，高2米，由8个同样的机柜组成，每个机柜由5个机架构成（共160个机架）。通道2与4是冷通道，空调制冷系统将冷气送到冷通道，各机柜的服务器从冷通道吸入冷气。通道1,3,5是热通道，服务器将热量排入热通道，再通过排风系统排出，循环进入空调顶部。机柜群与侧边墙距离1.6米，两个空调布置在冷通道的一端靠墙处。空调几何尺寸为宽1.8米，厚度为0.9米，高度为2米。回风孔位于空调顶部，几何尺寸约为0.5米乘1.4米。空调的进风风速与温度由机房室内温度与风速确定，送风温度为送风槽出口温度，风速不详。可以将机房近似看作封闭系统（一般情况下机房门是不开着的，不允许人进出）。

出风槽的宽度约为0.4米（冷通道宽度的三分之一），长度约为6.4米，孔隙率约为50%，与机柜并行排列。

你们队需要解决的问题如下：

（1）根据附件1的数据，绘出冷、热通道的热分布及流场分布及室内最高温度位置。 （2）建立描述该问题热分布的数学模型及算法，并与测试案例进行比较。7

（3）如果定义该机房的总体任务量为1，根据你的模型及附件1的流场数据，确定服务器实际任务量为0.8及0.5的最优任务分配方案，并给出室内最高温度。 （4）如果按照《电子信息系统机房设计规范》（附件3）C级要求控制机房温度，讨论服务器设计任务量一定条件下，如何控制空调的送风速度或送风温度（可以通过送风槽的出口风速与温度来描述）。

B题：打孔机生产效能的提高

(本题为2012年“深圳杯”全国大学生数学建模夏令营D题，详见

http://www.mcm.edu.cn/html_cn/block/4ce3bc77a3ffd386eaa14d37796a4c18.html)

过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分之一，过孔的加工费用通常占制板费用的30%到40%，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业。本问题旨在提高某类打孔机的生产效能。

打孔机的生产效能主要取决于以下几方面：

（1） 单个过孔的钻孔作业时间，这是由生产工艺决定，为了简化问题，这里假定对于

同一孔型钻孔作业时间都是相同的； （2）打孔机在加工作业时，钻头的行进时间；

（3）针对不同孔型加工作业时，刀具的转换时间。目前，实际采用的打孔机普遍是

单钻头作业，即一个钻头进行打孔。

现有某种钻头，上面装有8种刀具a，b，c，? , h，依次排列呈圆环状，如图1所示。

图1：某种钻头上8种刀具的分布情况

而且8种刀具的顺序固定，不能调换。在加工作业时，一种刀具使用完毕后，可以转换使用另一种刀具。相邻两刀具的转换时间是18 s，例如，由刀具a转换到刀具b所用的时间是18s，其他情况以此类推。作业时，可以采用顺时针旋转的方式转换刀具，例如，从刀具a转换到刀具b；也可以采用逆时针的方式转换刀具，例如，从刀具a转换到刀具h。将任一刀具转换至其它刀具处，所需时间是相应转换时间的累加，例如，从刀具a转换到刀具c，所需的时间是36s（采用顺时针方式）。为了简化问题，假定钻头的行进速度是相同的，为180 mm/s，行进成本为0.06元/mm（180*0.06=10.8元/s），刀具转换的时间成本为7元/min。刀具在行进过程中可以同时进行刀具转换，但相应费用不减。

（省时间不省费用，但是，节约下来的时间可以用来多生产，所以，目标函数应该是总费用/总的产品数量）

不同的刀具加工不同的孔型，有的孔型只需一种刀具来完成，如孔型A只用到刀具a。有的孔型需要多种刀具及规定的加工次序来完成，如孔型C需要刀具a和刀具c，且加工次序为a，c。表1列出了10种孔型所需加工刀具及加工次序（标*者表示该孔型对刀具加工次序没有限制）。

表1：10种孔型所需加工刀具及加工次序 孔型 所需刀具 A a B b C D E F G H I J a, c d, e* c, f g, h* d, g, f h e, c f, c 一块线路板上的过孔全部加工完成后，再制作另一线路板。但在同一线路板上的过孔不要求加工完毕一个孔，再加工另一个孔，即对于须用两种或两种以上刀具加工的过孔，只要保证所需刀具加工次序正确即可。

请建立相应的数学模型，并完成以下问题：

（1）附件1提供了某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，单位是密尔（mil）（也称为毫英寸，1 inch=1000 mil），请给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。

（2）为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（每个钻头的形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，且作业是独立的，即可以两个钻头同时进行打孔，也可以一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm（称为两钻头合作间距）。为使问题简化，可以将钻头看作质点。

（i）针对附件1的数据，给出双钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？

（ii）研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。 附件：过孔中心坐标的数据（data_B.txt）

C题：水资源短缺风险综合评价

(说明：本题为2011年“深圳杯”全国大学生数学建模夏令营B题，详见

http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/cc3aa1fc07fe689c77198eaba613678d.html )：

水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。

风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。

水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。

以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：

1 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？

影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。

2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？

3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。 4 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。

附表： 1979年至2000年北京市水资源短缺的状况(下表涉水资源数据,单位均为“亿立方米”) 年份 总用水量 农业用水 工业用水 第三产业及生活等其它用水 水资源总量 1979 42.92 24.18 14.37 4.37 38.23 1980 50.54 31.83 13.77 4.94 26 1981 48.11 31.6 12.21 4.3 24 1982 47.22 28.81 13.89 4.52 36.6 1983 47.56 31.6 11.24 4.72 34.7

1984 40.05 21.84 14.376 4.017 39.31 1985 31.71 10.12 17.2 4.39 38 1986 36.55 19.46 9.91 7.18 27.03 1987 30.95 9.68 14.01 7.26 38.66 1988 42.43 21.99 14.04 6.4 39.18 1989 44.64 24.42 13.77 6.45 21.55 1990 41.12 21.74 12.34 7.04 35.86 1991 42.03 22.7 11.9 7.43 42.29 1992 46.43 19.94 15.51 10.98 22.44 1993 45.22 20.35 15.28 9.59 19.67 1994 45.87 20.93 14.57 10.37 45.42 1995 44.88 19.33 13.78 11.77 30.34 1996 40.01 18.95 11.76 9.3 45.87 1997 40.32 18.12 11.1 11.1 22.25 1998 40.43 17.39 10.84 12.2 37.7 1999 41.71 18.45 10.56 12.7 14.22 2000 40.4 16.49 10.52 13.39 16.86 注：2000年以后的数据可以在《北京2009统计年鉴》上查到。

D题：风电功率预测问题

（说明：本题为2011年电工建模竞赛A题）

根据百度百科，“风”是“跟地面大致平行的空气流动，是由于冷热气压分布不均匀而产生的空气流动现象”。

风能是一种可再生、清洁的能源，风力发电是最具大规模开发技术经济条件的非水电再生能源。现今风力发电主要利用的是近地风能。

近地风具有波动性、间歇性、低能量密度等特点，因而风电功率也是波动的。 大规模风电场接入电网运行时，大幅度地风电功率波动会对电网的功率平衡和频率调节带来不利影响。

如果可以对风电场的发电功率进行预测，电力调度部门就能够根据风电功率变化预先安排调度计划，保证电网的功率平衡和运行安全。

因此，如何对风电场的发电功率进行尽可能准确地预测，是急需解决的问题。

根据电力调度部门安排运行方式的不同需求，风电功率预测分为日前预测和实时预测。 日前预测是预测明日24小时96个时点（每15分钟一个时点）的风电功率数值。 实时预测是滚动地预测每个时点未来4小时内的16个时点（每15分钟一个时点）的风电功率数值。

在附件1国家能源局颁布的风电场功率预测预报管理暂行办法中给出了误差统计的相应指标。

某风电场由58台风电机组构成，每台机组的额定输出功率为850kW。

附件2中给出了2006年5月10日至2006年6月6日时间段内该风电场中指定的四台风电机组（A、B、C、D）输出功率数据（分别记为PA，PB，PC，PD;另设该四台机组总输出功率为P4）及全场58台机组总输出功率数据（记为P58）。

问题1：风电功率实时预测及误差分析。

请对给定数据进行风电功率实时预测并检验预测结果是否满足附件1中的关于预测精的

相关要求。具体要求：

1）采用不少于三种预测方法（至少选择一种时间序列分析类的预测方法）； 2）预测量：

a．PA, PB, PC, PD； b．P4； c．P58。

3）预测时间范围分别为（预测用的历史数据范围可自行选定）：

a. 5月31日0时0分至5月31日23时45分； b. 5月31日0时0分至6月6日23时45分。

4）试根据附件1中关于实时预测的考核要求分析你所采用方法的准确性； 5）你推荐哪种方法？

问题2：试分析风电机组的汇聚对于预测结果误差的影响。

在我国主要采用集中开发的方式开发风电，各风电机组功率汇聚通过风电场或风电场群（多个风电场汇聚而成）接入电网。众多风电机组的汇聚会改变风电功率波动的属性，从而可能影响预测的误差。

在问题1的预测结果中，试比较单台风电机组功率（PA，PB，PC，PD）的相对预测误差与 多机总功率（P4，P58）预测的相对误差，其中有什么带有普遍性的规律吗？从中你能对风电机组汇聚给风电功率预测误差带来的影响做出什么样的预期？

问题3：进一步提高风电功率实时预测精度的探索。

提高风电功率实时预测的准确程度对改善风电联网运行性能有重要意义。

请你在问题1的基础上，构建有更高预测精度的实时预测方法（方法类型不限），并用预测结果说明其有效性。

通过求解上述问题，请分析论证阻碍风电功率实时预测精度进一步改善的主要因素。风电功率预测精度能无限提高吗？

附件1：风电场功率预测预报管理暂行办法

附件2：风功率数据PA 、风功率数据PB、风功率数据PC、风功率数据PD、58台机总风功率数据P58

E题: “五分制”PK“百分制”

在学生课程学习评价时，有不同的分值评价体系，其中“五分制”、“百分制”是我们最为熟知的两种。显然这两种分值体系各有优缺，“五分制”在处理只是通过成绩评定给出学习者课程学习成效的大致优劣分档的场合，优点是在成绩评定时成绩评定者基于某种标准可以较为高效地做出判断，而且由于分值的取值少，不同成绩评定专家在对同一参评者（作品）在作出最终评价时很少受其本人给分习惯（比方倾向给高分、或倾向给低分）而产生严重的评分差异；“百分制”则适合一些考题具有标准答案、一项考核可以被分解为大量相对细致的考点的情形，而基于“百分制”评价体系，也为一些特殊场合的人员选拔提供了更为精致的排名结果，缺点是，在一些无需通过成绩评定给出被考核者过分严格的排名时，这种评分体系将导致考核代价的浪费，而在评价结果主要依照成绩评定专家个人学识、好恶、经验等因素形成的综合评价结果，以“百分制”给分事实上已经超出了人脑的正常能力，不同专家对同一参评者（作品）在做出最终评价时这些人不同的给分习惯（比方倾向给高分、或倾向给低分）而产生非常严重的评分差异。

如下描述的场合可能会通过您卓有成效的工作给“百分制”的分值评价体系的严重缺陷做

出揭示：

一个源自现实生活或生产实践的选择性题目，收到了大量的问题解决应征作品，一些专家被邀请来对应征作品作出成绩评价。这些专家通常只是在应邀评阅作品的时候才开始接触题目，对这些题目的思考并非总是比应征作品的提交者更为深入，只是在全部作品评价结束后，专家们似乎对问题的合适解决之道形成了一些闪闪烁烁的印象。

因此，对一件作品的好坏采信一个专家的评价结果是有缺陷的，而应该取决于多位专家评价结果的某种折中；如果邀请的每一位专家能够对全部作品均给出评价结果，折中结果的给出会相当方便——但由于进度的关系，通常不能实现，活动的组织者根据作品数量、专家人数、进度安排，确定一篇作品需要同时过目的专家人数，为每位专家平均地、随机地分配应征作品加以评阅。

在具体评阅时，采用“百分制”；专家们会得到一份评阅要点和给分原则。在由于出自专家的题目参考答案通常和应征作品提交的结果有非常大的差距，造成了专家们得到一份评阅要点和给分原则难以被一致地加以执行——事实上如果“标准”严格地被执行可能导致的后果会更加糟糕。

“百分制”除了已经提及的“不同专家对同一参评者（作品）在做出最终评价时这些人不同的给分习惯（比方倾向给高分、或倾向给低分）而产生非常严重的评分差异”外，事实上，同一专家在对其本人任务范围内作品进行评阅时，随着受不断增加的问题解决方法解读、作品完成的整体状况的逐步掌握，甚至健忘等因素的影响，在整个作品评阅过程中，所坚持的评价标准不断地在被无意识的状态下改变，即今天的评价标准和昨天的会有很大的差别——后者是不能通过任何统计技术予以消除，而由于“百分制”对评阅者形成的压力又导致要求专家对已经评阅的作品进行再次评价成为不可能的事。

类似数学建模竞赛论文的评阅，比方主办方共收到1000份论文，共邀请30位专家，每份论文将请3位不同的专家独立做出成绩评定，即每位专家需要评阅100份参赛论文。竞赛主办方将基于一些特殊的数据处理手段实现每位专家就其评阅任务范围内100份论文的平均分以及均方差实现相等。此时，在对每份论文不同专家标准化后的给分取平均，作为最后得分。取前5%为一等奖，次10%为二等奖，再次15%为三等奖。

请你就此类评奖任务，建模分析“五分制”与“百分制”的优缺点；也有如下的论文评阅建议，您也可以尝试通过所建模型对其可行性做出分析：

从全部论文中完全随机抽取若干篇（10~20）论文，要求全体专家对这些特别抽取的论文均完全进行评价，将综合全部专家评价结果对抽取论文排序，采用与抽取论文数目同值的评分制对其余论文按照通常作业方式进行论文评阅，而并全部专家共同评阅的特别抽取论文为所有专家论文给分是提供共同的参照标准。

F题:小麦发育后期茎秆抗倒性的数学模型

（说明：2011年全国研究生数学建模竞赛C题）

小麦高产、超高产的研究始终是小麦育种家关注的热点问题。

随着产量的增加，小麦的单茎穗重不断增加。但穗重的增加同时使茎秆的负荷增大，导致容易倒伏。倒伏不但造成小麦减产，而且影响小麦的籽粒品质。因此要实现小麦高产优质的跨越，就必须解决或尽量减少小麦的倒伏问题。

小麦倒伏从形式上可分为“根倒”和“茎倒”，一般都发生在小麦发育后期。“根倒”主要与小麦种植区域的土壤品种与结构特性有关，本题不做讨论。

“茎倒”是高产小麦倒伏的主要形式，尤其是发生时间较早的“茎倒”，往往造成大幅度的减产。“茎倒”的原因是茎秆与穗的自重和风载作用的迭加超过了小麦茎秆的承受能力。

解决倒伏问题的方法之一就是针对不同的产量，寻找小麦抗倒伏能力最佳的茎秆性状（包

括株高、茎长、各节间长、各节茎外径、壁厚、茎秆自重、穗长、穗重等）。各方面的专家通过分析影响小麦倒伏的各种因素，目前已经得到了一些结果，但是对抗倒伏能力最佳的茎秆性状还没有定论。

通过物理力学类比研究小麦抗倒伏性是一个新方向，已有一些工作。值得我们进行探讨。困难在于缺乏相关试验参考数据，我们只能在作较多假设下先进行粗略研究，为进一步试验提供根据。

题目的附件中收集了一批各个品种小麦的茎秆性状、产量、倒伏情况的数据。显然还不够完整，各年参数选取不一致，也有数据缺漏。但农业数据一年只有一次，短期内无法做到完整、全面、详尽，期望以后能逐渐完善。请你们就已有数据解决以下几个问题：

(1) 依据有些论文中判断茎秆抗倒性的抗倒伏指数公式：

茎秆抗倒伏指数=茎秆鲜重×茎秆重心高度/茎秆机械强度

对提供的数据，建立各品种小麦的茎秆抗倒指数公式。对于缺乏有关参数的年份，可进行合理的假设，如通过已知数据求茎秆机械强度与茎秆粗厚的关系。

(2) 研究抗倒伏指数与茎秆外部形态特征之间的关系。

即给出抗倒伏指数与株高、穗长、各节间长、节间长度比、各节壁厚、穗重、鲜重等茎秆性状在最易引起倒伏期的相关性指标。

判断小麦茎秆性状的各个因素之间是否有相关性？

并对2008年国信1号与智9998品种的小麦都发生倒伏，其他品种没有发生倒伏的原因给出判断。

(3) 探讨单穗重分别是1.19g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g时小麦的理想株型结构。

(4) 将茎秆按刚/弹性材料处理，研究小麦茎秆在麦穗自重和风载作用下应力的基本规律，引

用、修改附件三文献中力学公式或自己另行推导，建立小麦茎秆抗倒伏的数学模型。

(5) 应用(4) 力学模型中的抗弯刚度EI，麦穗自重下和风载作用下的公式对2007年腊熟期

各品种数据进行计算，有些参数可依据需要作某些假设。

因腊熟期小麦叶片、叶鞘多已脱落，可设风力仅对单穗穗头起作用，暂时忽略风力对小麦茎秆作用。试计算在2007年数据中腊熟期各品种的抗倒伏风速 (取小数后两位)。

(6) 总结所建模型及分析结果，提出值得考虑的问题。同时请你为2012年制定完整的试验方案及数据分析方法。并给小麦育种家在育种实践中提出合理的建议。

附件一：测量数据

附件二：有关小麦和风级的一些知识 附件三：有关力学资料

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/equt.html