第二届苏北数学建模论文集

苏北数学建模联赛概况

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第二届苏北数学建模联赛是由中国矿业大学教务处、团委、徐州工业与应用数学学会主办，中国矿业大学理学院团委、徐州空军学院数学教研室协办，中国矿业大学数学建模协会承办的一项大型赛事。2005年5月1日到4日，第二届苏北数学建模联赛成功举办，本次联赛共有204个队报名参加，收到有效论文166份。

包括中国矿业大学、徐州空军学院、徐州师范大学、徐州建筑职业技术学院、徐州工程学院等五所在徐高校的参赛队以及北京航空航天大学、上海交通大学、浙江大学、哈尔滨工业大学、深圳大学、信息工程大学、广西大学、湖南城市学院等多所外省高校的参赛队报名参加了本次联赛。

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苏北数学建模联赛组委会成员名单

顾问：赵跃民中国矿业大学副校长

高井祥中国矿业大学教务处处长

曹巍中国矿业大学团委书记

主任：曹德欣中国矿业大学纪委书记、徐州工业

与应用数学学会副理事长

委员：朱开永中国矿业大学教务处副处长

刘静丽中国矿业大学校团委副书记

张益东中国矿业大学理学院党委副书记

廖大庆徐州空军学院数学系主任

郝达徐州师范大学团委副书记

殷惠光徐州工程学院副院长

梁惠徐州建筑职业技术学院团委书记秘书组组长：焦阳魏永生

副组长：张永军缪治洲李海涛王飞

组员：李陆锋王国栋闵乾洪赵月英

何琦陈慧光郑喜申磊

吴德民李华治

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苏北数学建模联赛评委会成员名单顾问：朱道元全国大学生数学建模竞赛江苏赛区组委会负责人主任: 戴朝寿徐州师范大学数学建模竞赛主教练

秘书长张兴永中国矿业大学数学建模竞赛主教练

成员: 廖大庆徐州空军学院数学建模竞赛主教练

周圣武中国矿业大学数学建模教练

吴宗翔中国矿业大学数学建模教练

王海军中国矿业大学数学建模教练

索新丽中国矿业大学数学建模教练

徐宝计徐州空军学院数学建模竞赛教练

沐暗勤徐州空军学院数学建模竞赛教练

刘信斌徐州空军学院数学建模竞赛教练

孙世良徐州师范大学数学建模教练

李苏北徐州工程学院数学建模教练

郭建萍徐州建筑职业技术学院数学建模教练

焦书光徐州建筑职业技术学院数学建模教练

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第二届苏北数学建模联赛获奖名单

(本科组)

A题

5

B题

6

(专科组)

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第二届苏北数学建模联赛试题A题．抑制房地产泡沫问题

近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：

1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；

2．通过分析找出影响房价的主要因素；

3．给出抑制房地产价格的政策建议；

4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。

B题．工件的安装与排序问题

某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。

Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。

Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即

cm）；两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如33Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。

问题1．按重量排序算法；

问题2．按重量和体积排序算法；

问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。

cm），进行实时计算：请按下面两组工件数据（重量单位：g ，体积单位：3

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C题．人民币汇率对经济的影响

近年来，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型解决下列问题：

1．以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响；

2．人民币汇率与主要货币（如英镑、日元、欧元等）的汇率关系；

3．人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。

D题．职业教育与国民经济关系问题

近年来，我国职业教育规模发展迅速，国民经济得到快速发展，但随着职

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业教育规模的扩大，又造成了学生就业难的问题，因而构建与国民经济发展相适应的职业教育规模是职业教育能否健康发展的关键。

1．试从职业教育与国民经济和谐发展的角度，建立职业教育发展层次、规模与国民经济发展水平之间相适应的数学模型；

2．预测未来职业教育的发展规模；

3．写一篇短文，对我国职业教育发展提出合理化建议。

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第二届苏北数学建模联赛优秀论文

抑制房地产泡沫问题

吴伟光，王霞，李丽

（中国矿业大学，徐州221008）

摘要：住房是人类的基本需求，在中国经济发展的现阶段，住房问题已成为百姓关注的“头等大事”。如果说，中国现阶段的主要矛盾是落后的社会生产力同人民群众日益增长的物质文化需求之间的矛盾，那么，住房就是这一主要矛盾中的重点。

本文就通过房地产这一问题对城市房价作了深入的分析和科学的探讨。我们对城市房价构建数学模型。首先，在只考虑成本的情况下，得出了地价与房价之间的线性关系；接着，我们借助了“蛛网模型”的思想，在同时考虑成本、市场供求的情况下，建立了需求函数、供应函数、供需平衡方程来分析市场供求对价格的影响，并考虑现实生活中，本周期的供应量与地产商对本期的预测房价有关；最后得出房价的表达式。

通过对城市房价模型的分析和求解，更深入了解了房价的形成因素及复杂的演化机理，从而针对性地提出解决房地产泡沫的有效政策和建议，并对所提政策和建议作出科学的预测和评价，为城市居民的住房问题提供诸多便利。

一问题的重述

近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：

1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；

2．通过分析找出影响房价的主要因素；

3．给出抑制房地产价格的政策建议；

4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。

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二问题的分析

住房是居民的基本生活需求。在全面建设小康社会阶段，随着经济社会的发展和人民生活水平的提高，城镇住房的增量需求和改善需求双旺盛，是房地产业持续发展的动力。供不应求是未来几十年中国房地产市场的主导趋势。

本题要求我们建立一个城市房价的数学模型，通过分析模型，找出影响房价的主要因素，并给出抑制房价的政策建议，最后对建议可能产生的效果进行科学预测和评价。

看到价格房价这个关键词，我们就想起了微观经济学里著名蛛网模型（见附录）。

蛛网模型简介：

1．生产具有长周期的动态模型，特点是：本期产量决定本期价格；而本期价格决定下期产量。

2．三种形式：A、封闭式（需求曲线和供给曲线斜率一样）；B、收敛式（需求曲线比供给曲线斜率大）；C、发散式（需求曲线比供给曲线斜率小）。

房地产产品开发周期长，形成有效供给相对于投资期具有滞后性，当年的房地产业市场是投资与需求矛盾双方以往多年相互作用积累、演变的结果[1]。所以，城市房价的模型可以借鉴蛛网模型的思想。

然而，影响房价的因素除了有供求变化外，还包括成本（地价、建安造价和各种税费）、城市人口平均收入、城市人口就业率、政策等。

在建立模型时不可能也没必要考虑所有因素，只能抓主要的、关键的因素进行合理的假设。我们都知道，影响房价的最直接的因素是：生产成本和市场供求变化。这也符合商品经济的基本规律。

三模型的基本假设

1．房地产产品具有一定的生产周期

2．房价的计算只考虑生产成本和市场供求

3．理想房价是仅基于成本得到的房价，不考虑供求

4．成本的花费包括地价（地面地价）、建安造价和各种税收；且每一个周期的地价、建安造价和税费率都维持不变

5．容积率在每个周期维持不变

6．需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多7．供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少

8．楼面地价又称单位建筑面积地价，是平均到每单位建筑面积上的土地价格，

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所对应的是地面地价。楼面地价＝土地总价÷总建筑面积＝地面地价÷容积率[3]

9．理想房价=(楼面地价+建安造价) ×(1+税费率)[3]

10．供需平衡指：供应量=需求量

四符号说明

p：房价(元/平方米建筑面积)

p：理想房价（元/平方米建筑面积）

?

p：第n个周期的房价

n

∧

p：第n个周期的预测房价

n

p：需求曲线和供应曲线的交点处的房价

e

A：地价（元/平方米土地面积）

B：建安造价（元/平方米建筑面积）

C：楼面地价（元/平方米建筑面积）

σ：税费率（%）（包括管理费、销售费用、利息、税费及合理利润）1

σ：容积率（%）

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d

Q：第n个周期，居民对房子的需求量

n

s

Q：第n个周期，地产商的供应量

n

其中n=1,2,3,……

五模型的建立和求解

模型的建立

由上面的假设可以得到一个这样的价格系统。如下图

看图可知，成本决定理想价格；理想价格和房价决定需求量；理想价格和地产商的预测价格决定供应量；需求量和供应量又共同决定房价。

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求理想房价?p 。

首先，将地价A 转化为楼面地价C ，其公式为： 2

σA

C =

①

其次，根据理想房价的求法得出其表达式：

)()1(1C B p +?+=?σ ② 最后，将公式（1）代入公式（2），整理可得： 2

11)1()1(σσσA

B p ?

++?+=? ③

令

a =+2

1)

1(σσ,b B =?+)1(1σ，a 和b 为不为正常数，则可得：

A a b p ?+=? ④

从公式③和④中，可以看出：

15 第一，地价与理想房价之间为线性正相关关系；

第二， 地价与理想房价之间影响的程度因建安成本、税费率和容积率的不

同而不 同；

第三，从某种角度上讲，理想房价就是成本费用的体现；根据假设4中，

成本不变，所以理想房价也维持不变。

将理想房价引入供求系统。

一． 需求函数

根据假设6：需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多。

证明假设的合理性：

取极限法，实际价格与理想价格的比值为无穷大，那么实际的价格就是无穷大，就没有人需要，因为都买不起；反之，比值为0，白送的房子你不要吗？需求量自然就大。所以，我们的假设是合理的。

需求方程： ?

?-=p p Q n d n βα 其中α和β为正常数，?p 为理想价格，需求函数斜率为?-p β

。

二． 供应函数

根据假设7：供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少。

证明假设的合理性：

因为房屋的供应量由地产商所决定的，地产商在决定提供多少房屋之前，首先关心的是自己是否能够盈利，能够盈利多少，因此，地产商总会根据前几周期的价格预测下一周期的价格，再将预测的价格与成本（理想价格）比较，最终确定供应数量。所以，假设合理。

地产商的预测和比较方法各异，为了简化起见，采用如下预测和比较方法： 预测价格为：

)(211---∧

-?+=n n n n p p p p ε 表明：本期的价格是上一期的实际价格加上一个修正量，ε为修正系数[5]。 比较方法：预测价格与成本（理想价格）的比值越大，利润越高，供应量越大。

则供应量为： ?

----?+?+=p p p p Q n n n s n )(211εδγ

16 其中γ和δ是正常数，?p 为理想价格，供应函数斜率为近似为

?

p δ 。 三． 供需平衡方程：

s n d n Q Q = 即 ?---?-?+?+=?

-p p p p p p n n n n )(211εδγβα 整理后得到

?--?-=??-?+?+p p p p n n n β

γαβεδβεδ21)1( 模型的求解

先求出方程的特解：

设方程的一个特解为X ，将其带入方程后得到等式

??-=X ??-X ?+?+X p β

γαβεδβεδ)1( 解得： ??+-=

X p δβγα 再求通解：

齐次方程： 0)1(21=??-?+?+--n n n p p p βεδβεδ 特征方程： 0)1(21=??-?+?+--n n n λβ

εδλβεδλ 即 0])1([22=??-?+?+

-n λβεδλβεδλ 显然，0=λ为其中的一个解。

约去2-n λ公因子得： 0)1(2=?-?+?+β

εδλβεδλ 如果令： β

εδβεδ??-+?=?4])1([2

17 则解得1λ和2λ为： 2)1(2,1?±+?-

=β

εσλ

线性差分方程稳定的条件：方程的特征根均在单位圆内。 即 1||1<λ，1||2<λ时，则e p 为稳定点，即1p ，2p ，3p ……趋于e p ；否则渐渐远离e p 。

解得方程的解的一般形式为： X +?+?=n

n n k k p 2211λλ

其中1k 和2k 两个任意常数，由具体情况决定。将??+-=X p δβγα，

18 A B p ?++?+=?21

11)1(σσσ 带入得

]1)1[(2112211A B k k p n n n ?++?+?+-+

?+?=σσσδβγαλλ

分析：

由以上得到的房价的表达式：

]1)1[(2

112211A B k k p n

n n ?++?+?+-+?+?=σσσδβγαλλ 可以得出如下结论：

第一．成本与房价之间为正相关关系。成本越多，房价越高，反之依然； 第二．供求变化对房价的波动与蛛网模型的结论一样，也有三种形式（见

附录）；

第三．地产商对价格的预测影响着价格。

六 解答问题

问题二 通过分析找出影响房价的主要因素

对于该问题的解答，正是对我们模型的检验。我们的解答方法：首先列出影响城市房价的主要因素，紧接着用我们搜集的资料证明我们的结果。 影响城市房价的主要因素：

(1)成本（地价、建安造价和各种税费）

具体体现：

①地价。国家发展和改革委员会、国家统计局发布的调查报告显示，2004年第一季度35个大中城市有7个城市土地交易价格涨幅超过10个百分点，有9个城市房价涨幅超过10个百分点。其中上海、沈阳、杭州、宁波、天津等五个城市地价与房价双双上涨。第二季度，全国有8个城市土地交易价格涨幅超过10%，有6个城市房屋销售价格涨幅超过10个百分点。可见，地价上涨是当前房价上涨中的重要因素[4]。

②建安造价。地价的上涨和新建住宅品质的提升有关。譬如，建筑材料价格上涨，房价必会有所提高；新建住宅品质（建筑材料品质，户型及配套设施，小区环境的优化等）提升亦会导致房价的上涨。

③税费率。税费率的变动也会影响房价。

(2)供求变化

从本质上看，一般商品的价值是价格的货币表现，一般商品的价格波动反映市场供需平衡，既是市场机制作用的起点，又是市场机制作用的结果，价格

总是围绕价值上下波动。在正常的市场条件下，价格上涨、供给增大，投资者预期价格下降。目前，房地产市场上存在着供求不平衡现象，中低价位商品住房供应量下降，使得中低价房供不应求，高档商品住房供应量增加，导致了商品房平均价格上涨[4]。

问题三给出抑制房地产价格的政策建议

对于该问题，我们结合问题二的结果进行解答。

我们针对成本和供求及在网上搜索的资料提出以下政策建议：

1．强化土地资源管理

通过土地资源供应量的调整，控制商品房价格的不合理上涨。要根据住房市场的需求，保持土地的合理供应量和各类用地的供应比例，实行土地出让公开招投标制度，控制一些城市过高的地价。要坚决制止高档住宅的盲目开发和大规模建设，防止出现新的积压。对于发生在房地产领域违法犯纪行为要严厉惩处，严惩无正当理由闲置土地的“圈地人”以及房地产领域的违法活动[4]。

2．明租、正税、清费，降低房地产开发成本

针对房地产开发成本中存在不合理的因素，明租主要是推行土地年租制，由于土地缴纳的只是一年的租金，土地中蕴含的价值并不大，开发商依靠土地抵押贷款开发项目的盈利模式将彻底消除；正税主要是征收物业税，保有环节的税收将在一定程度上抑制过渡的投资；清费主要是清除不合理的费用，本着谁投资，谁受益的原则，清晰产权，合理地降低房地产开发成本[6]。

3．优化与改善供应结构

房价的上涨的原因之一就是：中低价位商品住房供应量下降，使得中低价房供不应求，高档商品住房供应量增加，导致了商品房平均价格上涨。所以要加大中低价房供应以平抑房价。

4．建立全国统一的房地产市场运行预警预报制度，加强和完善宏观监测体系。对全国房地产市场通过信息的及时归集、整理和分析，就市场运行情况做出评价和预测，定期发布市场分析报告，合理引导市场，为政府宏观决策做好参谋。近年来，我国房地产业持续以较快的速度增长，吸引了大量的企业进行房地产投资，应当引起注意，要加快建立和完善房地产业的宏观监测体系，通过土地供应、税收和改善预售管理等手段及时进行必要的干预和调控，有效地防止房地产业“泡沫”的产生[4]。

问题四对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价

通过建立模型并对模型的机理进行了深入地剖析之后，我们有效地掌握了解决房地产泡沫问题即抑制房价上涨的理论与科学的方法。现在就针对提出的上述几种政策和建议给予相关的预测和作出较科学的评价。

首先强调了对于土地资源的有效管理。通过对土地资源供应量的合理调整，将在很大程度上控制房价的过快上升。因为合理的土地资源供应量及各类用地的供应比例，理论上不会引起土地价格的大幅度上涨，根据所建模型得出来的结论，可以科学地预测房价也将会有所控制，房价的过度上涨也将会被有效地遏制。

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现今阶段，房地产市场结构的不平衡现象主要体现在中低档商品住房供应量的减少和高档商品住房供应量的增加，因此针对这一主要矛盾，我们建议政府应大规模推出经济适用房来抑制商品房价格。通过大规模建设经济适用房，将会给众多中低收入家庭的买房问题减轻很大负担，还可以很好地调整房地产市场的供应量，它不再偏向高档的商品住房，减少了用地的囤积量，并满足了绝大多数居民的基本需求。具体从模型上可得出理想的趋势，即随着房地产市场供应量的逐步改善，房地产价格的波动幅度将愈来愈小，最终回复到均衡状态。

除了以上必要的发展趋势外，政府还应通过一些有效的宏观调控来制约房地产市场的种种变动。譬如建立全国统一的房地产市场运行预警预报制度，对房地产市场的信息作出及时的收集和考察，以便采取更有力的运行措施，来很好地优化市场运行制度。再者，通过整顿住房金融市场秩序，规范住房金融业务，可以有效地防范住房贷款风险，从而避免金融风险，为社会金融制度提供保障。政府还应进行一些税费调整，这样的话将会强有力地抑制房价的上升，从而鼓励更多普通住房的消费。此外，通过舆论宣传的引导，扭转广大消费者的错误理念，避免“随波逐流”，通过咨询专家，根据自身情况作出正确的决断，将有助于房地产市场的运行有序。

七模型的改进

我们这个模型，对成本的假设是静态的，成本不随时间变化而变化。这种假设只是为了解题的方便，模型进一步完善就要把成本动态化，更接近与实际，得到的房价也更具有说服力。

建模的时候，忽略了政府的宏观调控对价格的影响，事实上，在我国，政府的政策对价格的影响是很大的，所以，模型的改进也要考虑政策的影响。

总结：模型的改进就是考虑周期成本和政府政策。

八模型的推广（略）

九模型的评价（略）

参考文献（略）

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抑制房地产泡沫问题

林龚伟，李裕建，沈思博

（中国矿业大学，徐州221008）

摘要：房价作为一种价格杠杆，在引导房地产可持续发展和抑制房地产泡沫将起到积极的作用。科学合理地制定房价，对房地产的发展具有重要意义。本文先从产生房地产泡沫的原因谈起，找出影响房产的相关因素，然后从房地产开发商和消费者两个方面展开讨论，得出两个不同的模型。模型一从开发商的角度建立模型，运用定性的分析方法，分析一个商场中只有一个房地产开发商，两个开个商和多个开发商的情况，运用博弈论的方法给出不同的模型，给出一个从特殊到一般的数学模型，并运用相关的经济理论进行解释；模型二从消费者的角度建立模型，运用有效需求价格，动态地确定消费者的房价的范围。在此基础上，采用一元线性回归，通过推导出的模型和运用大量的数据对模型

费、居民的收入、政策导向、社区位置等，自然因素包括地价、建安成本和开发商利润等；并在分析影响房价的诸多因素之后，提出了八点政策性建议。

综上所述，运用我们的模型得出相应的房价，然后利用我们相应的政策作为指导，我国的房地产不但会抑制房地产泡沫问题，而且我国的房地产市场将得到持续健康地发展。

一问题重述

近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：

1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eqte.html