核心突破专题四 三角函数

2012考前90天突破——高考核心考点

专题四 三角函数

【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布

2012考纲解读

三角函数

（1）任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念. ② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.

（2）三角函数 ① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出

?2?α ，π± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画

出 y?sinx，y?cosx，y?tanx的图像，了解三角函数的周期性. ③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间(?,)内的单调性. ④ 理解同角三角函数的基本关系式： 22sinx ⑤ 了解函数y?Asin(?x??)的物理意义；能画出sin2x?cos2x?1，tanx?cosx了解参数A、?、?对函数图像变化的影响.⑥ 了解三角函数是y?Asin(?x??)的图像，

??描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式 ① 会用向量的数量积推导出两角差

的余弦公式. ② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. ③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

（2）简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.

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解三角形（1）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

近几年考点分布 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.

本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题 【考点pk】名师考点透析

考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用 例1：若

sin(???)cos(2???)tan(???)sin(??)2?=?3，且???0,??. 3求（1）

cos??sin?2；（2）1?sin?cos??cos?的值．

cos??sin?

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例2：已知tan?2=2，则

6sin??cos?的值为 ．

3sin??2cos??2?2?2??4; =2, ∴ tan???1?4231?tan2246(?)?176sin??cos?6tan??13所以==?.

3sin??2cos?3tan??23(?4)?263解∵ tan

【名师点睛】①给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；②对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式. 考点二 有关三角函数的性质问题

例3：已知函数f(x)?23sinxcosx?2cosx?1(x?R)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间?0,值。

22tan?6???????上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x)?,x?,?，求cos2x0的00??5?42??2?x)?23nsicosx2cosx1?解：（1）由f(x2?x)?32(nsicos)x2(cosx1)?，得f(x2?

?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)所以函数f(x)的最小正周期为?因为

6????f(x)?2sin?x2?在区间?6?????f(0)?1,f???2,?6????0,?上为增函数，在区间??6?????,?上为减函数，又??62????f????1， ?2?所以函数f(x)在区间?0,???上的最大值为2，最小值为-1 ??2???（Ⅱ）由（1）可知f(x0)?2sin?2x0???6??又因为f(x0)???36?，所以sin?2x0???

6?55?从

而

由

????x0??,??42?，得

2x0???2?7????,?6?36?????4??cos?2x0????1?sin2?2x0????

6?6?5??所

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以

????????????3?43??cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin?

66666610????????【名师点睛】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在

定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．

22

(2)对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝a＋bsin(ωx＋φ)(cos φ＝

aa2＋b，sin φ＝2

ba2＋b2

)的形式来求．

例4：设函数f(x)?msinx?cosx(x?R)的图象经过点?，1?．（Ⅰ）求y?f(x)的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间（Ⅱ）若f(?π?2???12)?2sinA，其中A是面积为

33的锐角?ABC的内角，且AB?2，求AC和BC的长． 2解：（Ⅰ）?函数f(x)?msinx?cosx(x?R)的图象经过点?，1??msin?π?2???2?cos?2?1

?m?1

?f(x)?sinx?cosx?2sin(x?)???.4分?函数的最小正周期T?2??.5分

4由2k????2?x??4?2k???2可得2k??3????x??2k??444

?y?f(x)的调递增区间为[2k??（Ⅱ）因为f(3??,2k??](k?Z)??????7分 44)?2sinA 即f()?2sin?2sinA ∴sinA?sin?9分

12123333?的锐角?ABC的内角，?A? ???.10分 23????∵A是面积为

?S?ABC?13AB?ACsinA?3 ?AC?3??.12分 22222由余弦定理得：BC?AC?AB?2?AB?ACcosA?7 ????????.13分

【名师点睛】求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 例5：已知函数f(x)?sin(x?)?sin(x?)?cosx?a(a?R,a为常数).(Ⅰ)求函数66??f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若函数f(x)在[-，]上的最大值与最小值之和为3，求实

22??数a的值.

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解：（Ⅰ）∵f(x)?2sinxcos?6?cosx?a?3sinx?cosx?a

????2sin?x???a ??4分∴函数f(x)的最小正周期T?2?????6分

6??(Ⅱ)∵x?????2????? ,?，∴??x??22363????∴当x??6?3，即x???2时，fmin?x??f????????3?a??8分 ?2?当x??6??2，即x??3时，fmax?x??f??????2?a ??10分 3??由题意，有(?3?a)?(2?a)?3∴a?3?1 ??12分

【名师点睛】求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解. 考点三 三角函数的图象变换 例6：为了得到函数y?sin(2x?)的图像，只需把函数y?sin(2x?)的图像 36??（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位

44??（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位

22??解y?sin(2x?)，y?sin(2x?)=?sin2(x?)，所以将61236???个长度单位得到y?sin(2x?)的图像，故选B. y?sinx(?2的图像向右平移)634?)=sin2(x????【名师点睛】三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减”，伸缩的倍数是，

求三角函数的最值，一般要把三角函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，有时还要注意ωx+φ的取值范围．

例7：已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??2)的

部分图象如下图所示：（1）求函数f(x)的解析式并写出其所有对称中心；（2）若g(x)的图象与f(x)的图象关于点 P（4，0）对称，求g(x)的单调递增区间． 解：（1）由图可得。A=

2，

T?6?(?2)?8，所以，2

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T?16,??4分 ∴f(x)??8，?2分则此时f(x)?将点2,2代入， 可得??.?2sin(x??)，

48????2sin(x?)； 对称中心为(8k?2,0)(k?Z) ???7分

84??（2）由g(x)的图角与f(x)的图象关于点 P（4，0）对称，得g(x)??f(8?x),???9分

??5???5??g(x)=?2sin[(8?x)?]=?2sin(?x)?2sin(x?),?11分

844884??5??令2k???x??2k??得16k?6?x?16k?14(k?Z).

2842即g(x)单调递增区间为[16k+6,16k+14]k?Z??13分

【名师点睛】本题①三角函数图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离正好是半个周

期，从而确定参数?，由最高点和最低点可确定振幅A，代入某一点的坐标到三角函数解析式可以确定初相?；②求给定区间上的三角函数的最值（或值域）问题，一般思路是求

?x??的范围，并作为一个整体，借助基本函数y?sinx,y?cosx解决.由图象求解析式

时,“找准关键点”的确定很重要,尽量使A取正值. 考点四 三角恒等变换

??例8：计算sin43cos13-sin13cos43的值等于（ ）

??A．

1 2 B．

3 3 C．

2 2 D．

3 2【解析】原式=sin(43?-13?)=sin30?=1，故选A。 242? ，?是第三象限的角，则

?51?tan211(A) ? (B) (C) 2 (D) -2

2233?解：由已知得sin???，所以tan??，又属于第二或第四象限，故由

542例9：若cos???1?tan?2tan2 tan??2?1?tan2解得：tan??21?tan??3，从而

?2??1． ?21?tan2本卷第6页（共71页）

另解：由已知得

sin???35，所以

sin1?tan1?tan???2?2coscos??2?1?cossin1?cos??22?sin?sin??2?(coscos2?2?sin?22)2

?22?222?sin?2?1?sin?1??

cos?23?sin70?例10：?（ ） 2?2?cos10A．

1 2 B．

2 2C．2 D．

3 23?sin70?3?cos20?3?(2cos210??1)解：???2 2?2?2?2?cos102?cos102?cos10【名师点睛】给值求值、给值求角问题. ⑴发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”；⑵寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系；⑶合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 例11：求值：cos400?sin500(1?3tan10?)sin7001?cos400

cos10??3sin10?cos10?【解析】原式＝sin70??2cos20? 2cos(60??10?)cos40??sin50??cos10?＝＝2

sin70??2cos20?cos40??sin50??【名师点睛】合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 例12：已知??(0,??77),??(,?),cos2???,sin(???)? (Ⅰ) 求cos?的值；22992(Ⅱ) 求sin?的值.

解:（Ⅰ）因为??(,?),cos??0又cos2??2cos??1???271,所以cos??? 93（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sin??1?cos??222?8分 3本卷第7页（共71页）

而????(故

?3?22,),且sin(???)?4272,cos(???)??1?sin(???)??1

99sin??sin[(???)??]?sin(???)cos??cos(???)sin?7142221?(?)?(?)?? 93933=

【名师点睛】善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可βαα＋β使问题简化．角的常见变换：α＋2β＝(α＋β)＋β，(α－)－(－β)＝

222考点五 解三角形及实际应用

例13：在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB? （Ⅰ）求

5 ,且a,b,c成等比数列。

1311的值；(Ⅱ)若accosB?12,求a?c的值。 ?tanAtanC

【名师点睛】正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．

例14：如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于

A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西

60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

解：由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得， sin ∠ADB∴DB＝

DBsin ∠DAB＝

ABAB2sin ∠DAB53＋32sin 45°53＋32sin 45°

＝＝

sin ∠ADBsin 105°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°

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53＝

3＋13＋12

＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，

BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD2BC2cos ∠DBC

130

＝300＋1 200－2310332033＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．

230答：救援船到达D点需要1小时．

【名师点睛】将所求问题归结为一个或多个三角形问题中．运用解三角形的知识解决实际问

题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之． 例

15

：

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。

在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30?且与该港口相距20海里的A处，并以30海里

/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀

速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得

O?1C0故3,且对于线段OACC上任意点=A1CP有OP0?OC,，A>C而小艇的最,高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设?COD=?(0

??103， cos?由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t?10?103tan?103和t?，

30vcos?所以

153310?103tan?103?,又v?30,故sin(?+30)??，解得v?， ?sin(?+30)230vcos????tan?取得最小值，且最小值为从而30??<90,由于??30时，3，于是 3t?当??30时，?10?103tan?2取得最小值，且最小值为。

303此时，在?OAB中，OA?OB?AB?20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。

?本卷第9页（共71页）

【名师点睛】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，

分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角

等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或

几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否

具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．

【金题热身】 11年高考试题及解析 1、（江苏7）、已知tan(x??4)?2, 则

tanx的值为__________

tan2x解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。

tan(x?)?12??1tanxtanx（－1tanx）44tanx＝tan(x??)??,＝＝?

?2tanx4429tan(x?)?13tan2x241－tanx2、函数f(x)?Asin(wx??),(A,w,?是常数，A?0,w?0)的部分图象如图所示，则

?f(0)?____

答案：6 2解析：考察三角函数的图像与性质以及诱导公式，中档题。由图可知：

A?2,T7???2????,??2,2????k?,??k???, 4123433266f(0)?2sin(k???)?? 由图知：f(0)? 3223、（四川文8）、理6.在△ABC中，sinA ≤ sinB+ sinC-sinBsinC,则A的取值范围是 （A）(0,2

2

2

第9题图?] （B）[,?) (C) (0,] （D）[,?)

6633???本卷第10页（共71页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eqrh.html