4.1二元关系和函数

第四章 二元关系和函数

第一节、集合的笛卡儿积与二元关系

有序对ordered pair定义:有两个元素x,y(允许x=y)按给定顺序排列组成

的二元组合称为一个有序对 ,记作<x,y>其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。例、平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 实数对,我们可用<x,y>表示。 注:有序对是讲究次序的,例<1,3>和<3,1>是表示平面 上两个不同的点,这与集合不同,{1,3}和{3,1}是两个相等的 集合。 性质1:如x y即<x,y> <y ,x>。 性质2:<x,y>=<a,b>的充要条件是x=a,y=b.

n元有序对有序对可推广到n个元素，设A1, A2, …, An是 集合，a1 A1, a2 A2, …, an An是元素，定义有 序n元组(ordered n-tuple)<a1, a2, …, an>为<<a1, a2, …, an-1>, an>,注意这是一个归纳(inductive) 定义，将有序 n元组的定义归结为有序 n-1 元组 的定义。 显然有<a1, a2, …, an> = <b1, b2, …, bn>当 且仅当a1 = b1且a2 = b2且…且an = bn。

二、笛卡儿积设A,B是任意两个集合，用A中元素作第 一元素， B 中元素作第二元素，构成的有 序对，所有这样有序对的全体组成的集合 称集合A、B的笛卡尔积，记作A×B。

即A×B={<x,y> x A,y B}。

设集合A={a,b,c},B={0,1},求A×B,B×A。解： A×B={<a,0>,<a,1>,<b,0>,<b,1>,<c,0>,<c,1>} B×A={<0,a>,<1,a>,<0,b>,<1,b>,<0,c>,<1,c>} 显然此种情况下，(A×B)∩ B×A=

笛卡儿积的说明<1> 如A,B均是有限集， A =m, B =n, 则必有 A B =m n <2> 一般说A B与B A不相等，即集合的 笛卡尔积运算，不成立交换律 。

A、B是无限集时设A={x 1≤x≤2,x∈R} B={y y≥0,y∈R} 求A B,B A 解：A B={<x,y> 1≤x≤2, y≥0, y∈R} B A={<x,y> x≥0, 1≤y≤2,x, y∈R}A B,B A分别表示平面直角坐标系中的某一个区域.Y A× B Y B ×A

21

1

2

X

X

例：R×RR×R={<x,y>|x∈R∧y∈R}为整个坐标平面； Z×Z={<x,y>|x∈Z∧y∈Z} N×N={<x,y>|x∈N∧y∈N} R+×R+ ={<x,y>|x∈R + ∧y∈R + } R+×R- ={<x,y>|x∈R + ∧y∈R - },……3 2 1-2-1

Y

1

2

3

-1 -2

X

例设集合A={1,2}求P(A) A

解：P(A)={ ,{1},{2},{1,2}} P(A) A={< ,1>,< ,2>,<{1},1>,<{1},2>,<{2},

1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2> 共8个元素。

n阶笛卡尔积A1 , A2… , An 是 n 个 集 合 ， 记 A1 A2 … An={<x1,…,xn> xi Ai,i=1,…,n} 称为这n个集合的笛卡尔积。 而当A1= A2=…= An时，记A A …… A=An

三、关系关系：人与人的关系有朋友关系，上下级 关系，父子关系，同学关系.两数之间有大 于，小于，等于关系，有整除，同余关系。 两个变量有函数关系等。关系描述客体之

间相互联系。

关系(relation)的第一种定义定义：任意一个有序对的集合称为一 个二元关系，简称关系。记作R,如

果 <a,b> R,可记作aRb,称a与b有关系R;

如<a,b> R,记作 a R b,或aRb称a与b没 有关系R。通常研究得最多的是二元关系，n元关系的许 多性质可从二元关系的性质扩充而得到。如果没有 特别指明的话，说R是一个关系则是指R是一个二元 关系。

R1={<a,1>,<b,1>,<b,2>}则aR11,aR12 R2={<x,y> x,y N且x y}这是自然数集 合上的一个“大于”关系，显然 <3,2> R2,即3R22。

R中的有序对是讲究次序的，如 <a,b> R未必有<b,a> R,即a与b有关系R, 未必b与a有关系R 。例如：甲与乙有父子关系，则乙与甲肯定没有

父子关系了。

关系(relation)的第二种定义A B的任何一个子集所定义的一个二元 关系R,称从A到B的二元关系，即是：R

A×B。称A是R的前域，B是R的后域。当A=B时，我们称之为A上的二元关系。

例：R×RR×R={<x,y>|x∈R∧y∈R}为整个坐标平面； Z×Z={<x,y>|x∈Z∧y∈Z} R1={<x,y>|y=2x} R2={<x,y>|x-y=0} R3={<x,y>|y=x2}

关系R的定义域和值域关系R中所有有序对的第一元素的集合称为 关系R的定义域，记作Dom(R)第二元素的 集合称为关系R的值域，记作Ran(R)。 如果 R 是 A 到 B 的关系，则 Dom ( R ) A ,

Ran(R) B

三个特殊的关系对于集合A, (1) 是A A的子集,由 定义的A上的关系,称 为A上的空关系； (2) A A本身也A A的子集,由A A定义的A 上的关系称为A上的全域关系,记作EA,即 EA={<a,b> a A,b A}

(3) A={<a,a> a A}称为A上的恒等关系

例如集合A={0,1,2}设集合A={0,1,2} EA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,< 2,0>,<2,1>,<2,2>} EA是A上的全域关系 。 EA = A×A =9

A={<0,0>,<1,1>,<2,2>}, A是A上的恒等关系, A = A =3

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