2021中考数学专题复习：二次函数综合专项训练题1(培优 附答案详解)

2021中考数学专题复习：二次函数综合专项训练题1（培优 附答案详解） 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的边BC 在x 轴上，顶点A 在y 轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）设点M 是x 轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N ，使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若抛物线对称轴交x 轴于点P ，在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△PAQ 是以PA 为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q 的坐标，选择一种情况加以说明；若不存在，说明理由．

2．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，

3OC =.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ?面积最大时，求点P 的坐标；

（3）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12

AQ QC +

是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由

3．如图，抛物线经过()1,0A -，()3,0B ，30,2C ?

? ???

三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；

（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+6经过两点A （﹣1，0），B （3，0），C 是抛物线与y 轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P （m ，n ）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式（指出自变量m 的取值范围）和S 的最大值；

（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得∠CMN ＝90°，且△CMN 与△OBC 相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．

5．如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴的交点为A 、D(A 在D 的右侧)，与y 轴的交点为C ．

（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；

（2）若点M 在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点M 的坐标；

（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、

C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝m x ＋k ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，经过点A 的抛物线y ＝ax 2＋bx ﹣3a 与x 轴另一个交点为点D ，AD ＝4，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．

（1）求点C 的坐标（用k 表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线的对称轴在y 轴右侧，连接BD ，BD 比BO 长1，抛物线与线段BC 恰有一个公共点，求直线y ＝m x ＋k 的解析式和a 的取值范围．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1

0)A -，，(30)B ，两点，与y 轴交于点C ．

（1）直接写出抛物线的解析式为：；

（2）点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴和y 轴分别交于点G ，H ，

设点D 的横坐标为m ． ①求DF HF +的最大值；

②连接EG ，若45GEH ∠=，求m 的值．

8．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于(1,0)A ，(2,3)C -两点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线AC 的函数表达式；

（3）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ?面积的最大值及此时点P 的坐标.

9．（2019秋?潮阳区校级月考）已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为(﹣3，0)，与y 轴交于点C ，点D(﹣2，﹣3)在抛物线上． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求△PAD 周长的最小值；

（3）抛物线的对称轴上有一动点M ，当△MAD 是等腰三角形时，直接写出M 点坐标．

10．如图，抛物线23y ax bx =++经过()()1,0,4,0A B -两点，D 为线段BC 上方抛物线上一动点，DE BC ⊥于E .

()1求抛物线的函数表达式;

()2求线段DE 长度的最大值:

11．如图，在平面直角坐标系中，直线223y x =-

+分别与x 轴、y 轴相交于点B 、C ，经过点B 、C 的抛物线223

y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A （-1，0）． （1）求这个抛物线的表达式；

（2）已知点D 在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD 的面积；

（3）点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ．是否存在点P ，使得以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点(0C ，7)，A 、B 两点间的距离为8，抛物线的对称轴为3x =-．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，对称轴上是否存在点P ，使PA PC =，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)如图2，抛物线的顶点为F ，对称轴交x 轴于点D ，点E 为抛物线上一点，点E 不

与点F 重合． 当72x -<<-时，过点E 分别作x 轴的垂线和平行线，与x 轴交于点Q 、

与对称轴交于点H ，得到矩形EQDH ，求矩形EQDH 周长的最大值；

13．如图，直线112

y x =-

+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过A 、B 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P 是抛物线上一点，且P 点坐标为3,12?? ???

，点Q 为抛物线对称轴上一点，求QP QA +的最小值；

（3）点N 为直线AB 上的动点，点M 为抛物线上的动点，当以点O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．

14．如图1，已知开口向下的抛物线223y ax ax a =+-与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,C ACB ∠不小于90．

（1）求点,,A B C 的坐标(用含a 的代数式表示)；

（2）求系数a 的取值范围；

请你根据自身能力从()3或(4)小题中任选-题作答．

（3）如图2，当12a =-时，P 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点A 作AE AC ⊥

交CP 的延长线于点,E 试探究是否存在点P ，使得ACE △的某一个角等于CAO ∠的2倍？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，当12

a =-时，P 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点A 作AE AC ⊥交CP 的延长线于点,E 抛物线的对称轴与x 轴交于点,D 连接,CD 试探究是否存在点,P 使得ACE △与OCD 相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图1，抛物线2y x mx n =-++交x 轴于点()30A -,和点B ，交y 轴于点()0,3C ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求一次函数y kx b =+（直线AC ）的表达式和ABC 的面积；

（3）如图2，设点N 是线段AC 上的一动点，作DN x ⊥轴，交抛物线于点D ，求四边形ABCD 最大面积时D 点的坐标和最大面积．

16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两

点，点A 的坐标为(20)-，．

（1）求B 点坐标；

（2）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于5-，求m 的取值范围． （3）直线142y x m n =++经过点B ． ①求直线和抛物线的解析式；

②设抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l x ∥轴，将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图像，请你结合新图像回答： 当直线12

y x b =+与新图像只有一个公共点()00,P x y 且08y ≤时，求b 的取值范围． 17．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣13

x 2+bx+c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点A 的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为（4，0），连接AC ，BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ ．

（1）填空：b= ，c= ；

（2）在点P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M ，使△PQM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点N 的坐标为（﹣32

，0），线段PQ 的中点为H ，连接NH ，当点Q 关于直线NH 的对称点Q′恰好落在线段BC 上时，请直接写出点Q′的坐标．

18．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()()()1,0,4,0,2,3A B C ---，直

线BC 与y 轴交于点,D E 为二次函数图象上任一点．

()1求这个二次函数的解析式；

()2若点E 在直线BC 的上方，过E 分别作BC 和y 轴的垂线，交直线BC 于不同的两点,F G (F 在G 的左侧)，求EFG 周长的最大值；

()3是否存在点,E 使得EDB △是以BD 为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．

19．已知：如图，直线3y x =--交坐标轴于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =++过A 、C 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA ，PC ，试问△PAC 是否存在最大值，若存在，请求出△APC 取最大值以及点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M 为抛物线上一点，点N 为抛物线对称轴上一点，若△NMC 是以∠NMC 为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M 的坐标．

20．抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ．

（1）如图1，若OB ＝2OA ＝2OC

①求抛物线的解析式；

②若M 是第一象限抛物线上一点，若cos ∠MAC 17，求M 点坐标． （2）如图2，直线EF ∥x 轴与抛物线相交于E 、F 两点，P 为EF 下方抛物线上一点，

且P （m ，﹣2）．若∠EPF ＝90°，则EF 所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．

21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线215322

y x x =-++与x 轴的一个交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点C ，与线段AB 交于点E ，点D 是对称轴l 上一动点．

（1）点A 的坐标是________，点B 的坐标是________；

（2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，抛物线的对称轴l 向右平移与线段AB 交于点F ，与抛物线交于点G ，当四边形DEFG 是平行四边形且周长最大时，求出点G 的横坐标．

22．如图，抛物线()():15L y a x x =--与x 铀交于,A B 两点(点A 作点B 的左侧)，与y 轴交于点.C 且OB OC =，点()P m n ,为抛物线L 的对称轴右侧图象上的一点.

（1）a 的值为_ ，抛物线的顶点坐标为_ ； （2）设抛物线L 在点C 和点P 之间部分(含点C 和点P )的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 关于m 的函数表达式，并写出自变量m 的取值范围；

（3）当点()P m n ,的坐标满足:19m n +=时，连接,,PC PB AC ，若M 为线段PC 上一点，且BM 分四边形ABPC 的面积为相等两部分，求点M 的坐标.

23．如图，一次函数y ＝12

x ﹣2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 的坐标为（﹣1，0），二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A ，B ，D 三点． （1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，已知点G （1，m ）在抛物线上，作射线AG ，点H 为线段AB 上一点，过点H 作HE ⊥y 轴于点E ，过点H 作HF ⊥AG 于点F ，过点H 作HM ∥y 轴交AG 于点P ，交抛物线于点M ，当HE?HF 的值最大时，求HM 的长；

（3）在（2）的条件下，连接BM ，若点N 为抛物线上一点，且满足∠BMN ＝∠BAO ，求点N 的坐标．

24．综合与探究

如图，抛物线21262y x x =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴

交于点C ，连接BC ，点D 为抛物线对称轴上一动点．

（1）求直线BC 的函数表达式；

（2）连接OD CD 、，求OCD 周长的最小值；

（3）在抛物线上是否存在一点E ．使以B C D E 、、、为顶点的四边形是以BC 为边的平行四边形？若存在，请直接写出E 点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A （0，-4）和B （-2，2）.

（1）求c 的值，并用含a 的式子表示b ；

（2）求证：此抛物线与x 轴有两个不同交点；

（3）当20x -<<时，若二次函数满足y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围；

(4) 直线AB 上有一点C （m ，5），将点C 向右平移4个单位长度，得到点D ，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，求a 的取值范围．

26．已知抛物线的顶点(1,4)A --，经过点(2,3)B --，与x 轴分别交于C ，D 两点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，点M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作x 轴的平行线与直线OB 交于点N ，当MN 取最大值时，求点M 的坐标；

（3）如图2，AE y 轴交x 轴于点E ，点P 是抛物线上A ，D 之间的一个动点，直线PC ，PD 与AE 分别交于F ，G ，当点P 运动时．

①直接写出EF EG +的值；

②直接写出tan tan ECF EDG ∠+∠的值．

27．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点D（2，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC，CD，BC，其且AC=5．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图②，点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．当0

28．如图，已知抛物线的顶点为M(2，-4)，且过点A(-1，5)，连接AM交x轴于点B．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)求点B的坐标；

(3)设点P(x ，y)是抛物线在x 轴下方、顶点左方一段上的动点，连接PO ，过以P 为顶角顶点、PO 为腰的等腰三角形的另一顶点C 作x 轴的垂线交直线AM 于点D ，连结PD ，设△PCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式；

(4)在上述动点P(x ，y)中，是否存在使PCD S ?=2的点?若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．

29．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴负半轴交于B ，与正半轴交于点C （8，0），且∠BAC ＝90°．

（1）求该二次函数解析式；

（2）若N 是线段BC 上一动点，作NE ∥AC ，交AB 于点E ，连结AN ，当△ANE 面积最大时，求点N 的坐标；

（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接P A 、PC ，设所得△P AC 的面积为S ．问：是否存在一个S 的值，使得相应的点P 有且只有2个？若有，求出这个S 的值，并求此时点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

30．在平面直角坐标系中，正方形111122213332,,A B C O A B C C A B C C .... 按如图的方式放置．点123,,A A A A n 和点123.... n C C C C 、、分别落在直线1y x =--和x 轴上．抛物线1L 过点11,A B ,且顶点在直线1y x =--上，抛物线2L 过点22A B 、，且顶点在直线1y x =--上，...按此规律，抛物线n L ,过点,n n A B , 且顶点也在直线1y x =--上，其中抛物线2L 交正方形111A B C O 的边11A B 于点1D ，抛物线3L 交正方形2221A B C C 的边22A B 于点2D (其中1n ≥且n 为正整数) ．

（1）直接写出下列点的坐标：1B ，2B ； （2）写出抛物线23,L L 的解析式，并写出抛物线2L 的解析式求解过程，再猜想抛物线n L 的顶点坐标；

（3）设1122121122,A D A D k k D B D B ==，试判断1k 与2k 的数量关系并说明理由．

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