学案（一）

第五章 相交线与平行线

课题：5.1.1 相交线

【学习目标】了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题.

【学习重点】邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用. 【学习难点】理解对顶角相等的性质.

【学习过程】 一、学前准备

各小组对七年级上学过的直线、射线、线段、角做总结．每人写一个总结小报告，并编写两道与它们相关的题目，在小组交流，并推出小组最好的两道题在班级汇报．

二、探索思考

探索一：完成课本P2页的探究，填在课本上．

你能归纳出“邻补角”的定义吗？ ． “对顶角”的定义呢？ ． 练习一：

1．如图1所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线． （1）写出∠AOC的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE的邻补角： __； （3）写出∠BOC的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD的对顶角：____ _．

图1

2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）

探索二：任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由．

请归纳“对顶角的性质”： ．

1

练习二：

1．如图，直线a，b相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______

2．如图直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______ 3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=_____.

E B EaDCD2 O31BA O4FAC b第1题 F第2题 第3题

三、当堂反馈

1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为 度． 2．如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1=60°，∠2=

23∠4，?求∠3、∠5的度数．

3．如图所示，有一个破损的扇形零件，?利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是多少度吗？你的根据是什么？

4．探索规律：

（1）两条直线交于一点，有 对对顶角； （2）三条直线交于一点，有 对对顶角； （3）四条直线交于一点，有 对对顶角； （4）n条直线交于一点，有 对对顶角． 四、学习反思

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课题：5.1.2 垂线

【学习目标】1了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的性质； 2会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离.

【学习重点】垂线的意义、性质和画法，垂线段性质及其简单应用. 【学习难点】垂线的画法以及对点到直线的距离的概念的理解. 【学习过程】 一、学前准备

在学习对顶角知识的时候，我们认识了“两线四角”，及两条直线相交于一点，得到四个角，这四个角里面，有两对对顶角，它们分别对应相等，如图，可以说成“直线AB与CD相交于点O”． 我们如果把直线CD绕点O旋转，无论是按照顺时针方向转，还是按照逆时针方向转，∠BOD的大小都将发生变化．

当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足．如图

用几何语言表示：

方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD，垂足是_____

C B AOCA O DBD 方式⑵∵ AB⊥CD于O ∴ ∠AOC=______ 二、探索思考

探索一：请你认真画一画，看看有什么收获．

⑴如图1，利用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画__________条； ⑵如图2，经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画_____条； ⑶如图3，经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画_____条；

B B l

A l l l（图1） （图2） （图3a） （图3b）

经过探索，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．

练习一：

1．如图所示，OA⊥OB，OC是一条射线，若∠AOC=120°， 求∠BOC度数

2．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O， 若∠1=26°，求∠2的度数．

3

3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点． （1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E． （2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点． （3）比较线段PE，PF，PO三者的大小关系

探索二：仔细观察测量比较上题中点P分别到直线AB上三点E、F、O的距离，你还有什么收获？请将你的收获记录下来：_______________________________________________ 简单说成： ．还有，直线外一点到这条直线的垂线段的 叫做点到直线的距离.注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离. 练习二：

1．在下列语句中，正确的是（ ）．

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条

C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离

2．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，

则点B到AC的距离是________，点A到BC的距离是_______，点C到AB?的距离是_______，?AC>CD?的依据是_________． 三、当堂反馈

1．如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（ ）

A．∠EOD比∠FOB大 B．∠EOD比∠FOB小

C．∠EOD与∠FOB相等 D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定

2．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．

3．如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB． （1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的位置关系．

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

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课题：5.1.3 同位角、内错角、同旁内角

【学习目标】1使学生理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们； 2通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力.

【学习重点】三线八角的意义，以及如何在各种变式的图形中找出这三类角.

【学习难点】能准确在各种变式的图形中找出这三类角. 【学习过程】 一、学前准备

在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有 对对顶角，有 对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？

二、探索思考

a

探索：如图，直线c分别与直线a、b相交（也可以说两条

b 直线a、b被第三条直线c所截），得到8个角，通常称为

“三线八角”，那么这8个角之间有哪些关系呢？

c 观察填表： 表一 ∠1和∠5 位置1 处于直线c的同侧 位置2 处于直线a、b的同一方 处于直线a、b的（ ）方 结论 这样位置的一对角就称为同位角 这样位置的一对角就称为（ ） 这样位置的一对角就称为（ ） 这样位置的一对角就称为（ ） 结论 这样位置的一对角就称为内错角 这样位置的一对角就称为（ ） 结论 这样位置的一对角就称为同旁内角 这样位置的一对角就称为（ ） ∠2和∠8 处于直线c的（ ）侧 ∠3和∠6 ∠1和∠5 表二 位置1 处于直线c的两侧 表三 位置1 ∠4和∠8 ∠3和∠5 位置2 处于直线a、b之间 位置2 ∠3和∠8 处于直线c的（ ）侧 处于直线a、b（ ） ∠4和∠5 练习： 1．如图1所示，∠1与∠2是__ _角，∠2与∠4是_ 角，∠2与∠3是__ _角．

5

(图1) (图2) (图3)

2．如图2所示，∠1与∠2是___ _角，是直线______和直线_______?被直线_______所

截而形成的，∠1与∠3是___ __角，是直线________和直线______?被直线________所截而形成的．

3．如图3所示，∠B同旁内角有哪些？

三、当堂反馈

1．如图，(1)直线AD、BC被直线AC所截，找出图中由AD、BC被直线AC所截而成的内错角是_________和__________ (2）∠3和∠4是直线_________和_________被_________

BA134D2C所截，构成内错角.

2．已知∠1与∠2是同旁内角，且∠1=60°，则∠2为（ ）

A. 60° B. 120° C. 60°或120° D.无法确定

E3．如图，判断正误

①∠1和∠4是同位角；（ ） ②∠1和∠5是同位角；（ ） ③∠2和∠7是内错角；（ ） ④∠1和∠4是同旁内角；（ ） 4．如图，直线DE、BC被直线AB所截.

⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？ ⑵如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？

四、学习反思

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A4D23E1BC课题：5.2.1 平行线

【学习目标】1使学生知道平行线的概念，掌握平行公理；

2了解平行线具有传递性，能够画出已知直线的平行线.

【学习重点】平行线的概念和平行公理，利用直尺和三角板画已知直线的平行线. 【学习难点】用几何语言描述画图过程，根据几何语言画出图形. 【学习过程】 一、学前准备

在上学期我们学过点和直线的位置关系，同学们还记得点和直线有几种位置关系吗？请画出来，并尝试用几何语言来表示.

二、探索思考

探索一：我们知道，火车行驶的两条笔直的铁轨、人行道上的斑马线等都给我们平行的形象.一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.如图，记作“a∥b”或“AB∥CD”，

a

A b B D

C 读作“直线a平行于直线b”.请同学们思考一下：在同一平面

内，两条不重合的直线有几种位置关系？动手画一画,并尝试用几何语言来表示..

练习一：

1．下列说法中，正确的是（ ）．

A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交

C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行 2．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（ ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

探索二：请同学们仔细阅读课本P13页“平行线的讨论”，认真思考.通过观察和画图，可以体验一个基本事实（平行公理）：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行. 同样，我们还有（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.简单的说就是：平行于同一直线的两直线平行.

用几何语言可表示为：如果b∥a，c∥a，那么 . 练习二：

1．如图1所示，与AB平行的棱有_______条，与AA′平行的棱有_____条． 2．如图2所示，按要求画平行线．

（1）过P点画AB的平行线EF；（2）过P点画CD的平行线MN． 3．如图3所示，点A，B分别在直线l1，l2上，（1）过点A画到l2的垂线段；（2）过点B

画直线l3∥l1．

7

4．下列说法中，错误的有（ ）．

①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;

②若a∥b，b∥c，那么a∥c;

(图1) (图2) (图3)

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;

④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、?相交、垂线三种 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 三、当堂反馈

1．在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.

2．同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________. 3．判断题

（1）不相交的两条直线叫做平行线.( )

（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线.( )

（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行, 那么它与另一条也互相平行.( ) 4．读下列语句，并画出图形：

⑴点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P?且与直线AB垂直．

⑵直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P?且与直线AB平行，与直线CD相交于E．

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

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课题：5.2.2 平行线的判定

【学习目标】使学生掌握平行线的判定，并能应用这些知识判断两条直线是否平行，培养学生简单的推理能力.

【学习重点】平行线的三种判定方法，并运用这三种方法判断两直线平行.

【学习难点】运用平行线的判定方法进行简单的推理. 【学习过程】 一、学前准备

还知道“三线八角”吗？请画一画，找出一组同位角、一组内错角、一组同旁内角.

二、探索思考

探索一：请同学们仔细阅读课本P13页“平行线判定的思考”，你知道在画平行线这一过程中，三角尺所起的作用吗？

由此我们可以得到平行线的判定方法，如图，将下列空白补充完整（填1种就可以） 判定方法1（判定公理） 几何语言表述为：∵ ∠___=∠___ ∴ AB∥CD

由判定方法1，结合对顶角的性质，我们可以得到：

A5871234EB判定方法2（判定定理） 几何语言表述为：∵ ∠___=∠___ ∴ AB∥CD C由判定方法1，结合邻补角的性质，我们可以得到： 判定方法3（判定定理） F几何语言表述为：∵ ∠___+∠___=180° ∴ AB∥CD 练习一：

6DA 1

B

2

3 4 C

5

D (1题) (2题) (3题)

1．如图1所示，若∠1=∠2，则_____∥______，根据是__ ____． 若∠1=∠3，则______∥______，根据是_____ ____． 2．如图2所示，若∠1=62°，∠2=118°，则_____∥_____，根据是_____ ___ 3．根据图3完成下列填空（括号内填写定理或公理） （1）∵∠1=∠4（已知）

∴ ∥ （ ） （2）∵∠ABC +∠ =180°（已知）

∴AB∥CD（ ）

9

（3）∵∠ =∠ （已知）

∴AD∥BC（ ） （4）∵∠5=∠ （已知）

∴AB∥CD（ ） 探索二：木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示，a∥b，你能说明是什么道理吗？

结论（判定推论）：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.简记为：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 如图，几何语言表述为：∵a⊥l2，b⊥l2 ∴ 练习二：

1．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2， 试说明BF∥CE．

三、当堂反馈

1．如图所示，在下列条件中，不能判断L1∥L2的是（ ）． A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4+∠5=180° D．∠2+∠4=180°

2．如图所示，已知∠1＝120°,∠2＝60°．试说明a与b的关系？ a

3．如图所示，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF平分∠EOD，试说明AB∥CD．

b 2

c

1 3

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

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（2）末位数是5的整数能被5整除．

（3）三角形的内角和是180°．

（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

三、当堂反馈

1．下列语句中不是命题的有（ ）

⑴两点之间，直线最短；⑵不许大声讲话；⑶连接A、B两点；⑷花儿在春天开放． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题中，正确的是（ ）

A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； B．相等的角是对顶角；

C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； D．和为180°的两个角叫做邻补角.

3．下列命题中的条件（题设）是什么？结论是什么？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；

（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；

4．将下列命题改写成“如果??那么??”的形式，并判断正误． （1）对顶角相等；

（2）同位角相等；

（3）同角的补角相等．

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

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课题：5.4平移

【学习目标】1了解平移的概念，知道生活中常见的平移例子； 2掌握平移的规律，会利用平移画图.

【学习重点】平移的规律，画图.

【学习难点】利用平移的特征画图. 【学习过程】 一、学前准备

生活中有许多美丽的图案，他们都有着共同的特点，请同学们欣赏下面图案.

观察上面图形，我们发现他们都有一个局部和其他部分重复，如果给你一个局部，你能复制他们吗？请你试一试. 二、探索思考

探究一：请同学们仔细阅读课本P27～28页，你能发现并归纳平移的特征吗？

平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 ； (2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是 ； (3)连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且 . 即,在平面内，将一个图形沿 移动一定的 ，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移.

注意：图形平移的方向，不一定是水平的.图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”) 练习一：

1．几何图形经过平移，图形中对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且 ，对应线段 且 ，对应角 . 2．平移改变的是图形的（ ）．

A．位置 B．形状 C．大小 D．位置、形状、大小 3．下列现象中，不属于平移的是（ ）．

A．滑雪运动员在的平坦雪地上滑行 B．大楼上上下下地迎送来客的电梯 C．钟摆的摆动 D．火车在笔直的铁轨上飞驰而过 4．下列各组图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）．

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探究二：你能按要求将图形平移吗？动手试一试.

如图所示，把△ABC沿AB方向平移，平移的距离为线段a的长．

练习二：

1．如图所示，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点A′，作出平移后的四边形．

三、当堂反馈

1.一个图形先向右平移5个单位，再向左平移7个单位，所得到的图形可以看作是原来位置的图形一次性向_____平移______个单位得到. 2.∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC=60°，则∠DEF=

3.如图，△ABC平移后得到了△A＇B＇C＇，其中点C的对应点是点C＇，已经标明，请你将点B＇、点A＇在图中标出来，并画出△A＇B＇C＇；若AB边上的中点为M，请你再标出点M的对应点M＇．

4.已知△ABC、，过点D作△ABC平移后的图形，其中点D与点A对应.

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

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BCAD课题：相交线与平行线全章复习

一、本章知识结构图

二、本章知识梳理

1.邻补角的定义： ． 对顶角的定义： ． 对顶角的性质： ．

A 2.当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫 ．

如图，用几何语言表示：

方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD，垂足是_____ 方式⑵∵ AB⊥CD于O ∴ ∠AOC=______

3.在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直． 注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，是图形.点到直线的 距离是 的长度，是一个数量，不能说“垂线段”是距离. 4.识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”， 只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角； 位置1 位置2 ∠1和∠5 ∠3和∠5 ∠4和∠5 处于直线c的同侧 处于直线a、b的同一方 C B a b c

结论 这样位置的一对角就称为（ ） 这样位置的一对角就称为（ ） 这样位置的一对角就称为（ ） O D

5. 现在所说的两条直线的位置关系，是两条直线在“ ”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是 （有一个公共点），二是 （没有公共点）. 6.平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线.

平行公理：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行. 平行线的传递性：平行于同一直线的两直线 .

7.两条直线平行的判定方法：⑴平行线的定义，⑵平行线的传递性，

⑶平行线的判定公理：

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⑷平行线的判定定理1： ⑸平行线的判定定理2： ⑹平行线的判定推论： 8.两条直线平行的性质：⑴根据平行线的定义

⑵平行线的性质公理： ⑶平行线的性质定理1： ⑷平行线的性质定理2： ⑸平行线间的距离 ． 9.命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题.

每个命题都是由_______和______组成.每个命题都可以写成.“如果??，那么??”的形式，用“如果”开始的部份是 ，用“那么”开始的部份是 ，正确的命题叫做______，错误的命题叫做______.从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做 ，通过正确的推理得出的真命题叫做 .

10.平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 ；(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是 ；(3)连接各组对应的线段 .即，在平面内，将一个图形沿 移动一定的 ，图形的这种移动，叫做平移变换，简称 .图形平移的方向，不一定是水平的.图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”) 三、巩固练习

1.如图1，直线a，b相交于点O，若∠1=40°，?则∠2??等于_______．

图1 图2 图3 图4

2.如图2，直线a∥b，∠1=123°30′，则∠2=______． 3.如图3，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_____．

4.如图4，AB∥CD，∠E=40°，∠C=65°，则∠EAB的度数为（ ） A．65° B．75° C．105° D．115°

图5 图6 图7

5.如图5，直线L1与L2相交于点O，OM⊥L1，若α=44°，则β为（? ）

A．56° B．46° C．45° D．44°

6.如图6，AB∥CD，直线PQ分别交AB，CD于点E，F，FG?是∠EFD的平分线，交AB于点

G，若∠FEG=40°，那么∠FGB等于（ ）

A．80° B．100° C．110° D．120° 7.如图7，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数为（ ） A．55° B．75° C．105° D．125°

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