对单摆周期公式的应用初探

对单摆周期公式的应用初探

安徽省肥东第一中学 王在峰

(安徽 肥东一中 231600 手机：13637089983)

在人教版高中物理选修3-4《机械振动》第4节中介绍了单摆，并给出了单摆周期公式T?2?l。在应用这一公式解决具体问题时，往往需要准确地把握g摆长和重力加速度的概念，有时还要灵活地运用等效的思想加以研究。本文对这一公式的推导过程和成立条件不作赘述，只打算对其应用作一初步探讨。

1、准确把握摆长的概念。

如图1所示，摆球运动的轨迹是一个圆弧，所以单摆做的是一个非完整的圆周运动，而摆长则为该圆周运动的轨道半径。即：“l”为质点到圆心的距离。

O 图1

【例1】一个在夏天走时很准的钟，若到冬天，则走时是变慢还是变快？ 〖分析与解〗到冬天时，由于热胀冷缩，摆长变短，故周期变短，走时变快。 【例2】在以下三个问题中均不计空气阻力：

（1）如图2所示，长为L的轻绳一端固定于天花板上的O点，另一端系一小球（可看成质点），在悬点的正下方L/3处有一钉子，今将小球拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。

（2）如图3所示，两根长为L的轻绳一端分别固定于天花板上的A点和B点，另一端共同系一小球（可看成质点），平衡时，两绳与水平的夹角均为θ。今将小球沿垂直纸面向外拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。 （3）如图4所示，三绳长均为L，上面两绳一端固定在天花板上，拉直时与水平成θ角，今将小球沿垂直纸面向外拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。

L/3 O O’ 2L/3 图2

A L θ θ B L A θ L L θ L B 图3

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图4

〖分析与解〗

（1）当小球在右侧摆动时，轨迹所在圆弧的圆心在O点，摆长为L，当小球在左侧摆动时，轨迹所在圆弧的圆心在O’点，摆长为2L，故周期为：

3T??L2L ??g3g（2）小球摆动轨迹所在圆弧的圆心在AB的中点，摆长为Lsin?, 故周期为：

T?2?Lsin? g （3）小球摆动轨迹所在圆弧的圆心在AB的中点，摆长为(L?Lsin?), 故周期为：T?2?L?Lsin? g【例3】在光滑的水平导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的轻质细线，下端悬一质量为m的摆球B，A、B的直径均远小于L，如图5所示。今将B球稍微拉离竖直位置后释放，摆球作小幅度的振动，不计空气阻力，求其振动周期。

〖分析与解〗由于水平方向系统不受力，故A、B组成的系统质心的水平坐标不变，而B又仅做微小的振动，竖直分位移极其微小，所以系统质心在竖直方向的位置也几乎不变，故可以认为B球的摆长就是B球到质心O的距离L'，如图6所示，且有：

L'?2m2L?L

m?2m3A L B 图5

A O L’ B 图6

故其周期为： T?2?L'2L ?2?g3g2、准确把握重力加速度的概念。

根据公式T?2?l可知，单摆的周期与重力加速度有关，同时在教学中，g我们也带领学生通过实验测定了本地的重力加速度的数值，然而不同地点的重力加速度值是有差异的，所以即使是同一个完全相同的单摆，在不同的地点摆动时，周期也存在差异。

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【例4】一个在广州走时很准的摆钟，若到了莫斯科，则走时是变慢还是变快？ 〖分析与解〗由于地球自转的缘故，地球上纬度越高的地方重力加速度值越大。所以这个摆钟在莫斯科时摆动的周期要小于在广州时摆动的周期，所以到了莫斯科后，摆动加快，走时变快。

【例5】一个在山脚下走时很准的摆钟，若到山顶上，则走时是变慢还是变快？ 〖分析与解〗根据万有引力知识，离地越高的地方重力加速度值越小。所以这个摆钟在山顶时摆动的周期要大于在山脚时摆动的周期，所以到了山顶后，摆动变慢，走时变慢。

【例6】一个在地球表面上走时很准的摆钟，若到了月球表面上，则走时是变慢还是变快？

〖分析与解〗由于地球和月球质量的差异，月球表面重力加速度要小于地球表面重力加速度。所以这个摆钟在月球表面上摆动的周期要大于在地球表面上摆动的周期，所以到了月球表面后，摆动变慢，走时变慢。

3、等效思想在单摆和类单摆问题中的应用。

3.1、 “等效重力加速度”的求解策略 3.1.1、斜面上的单摆

【例7】如图7所示，在倾角为?的光滑斜面上，一根长为L的轻绳一端固定在斜面上，另一端系一个可看成质点的小球静止在斜面上，今将小球拉离平衡位置一段很小的距离，放手后小球在斜面上来回摆动，不计空气阻力，求其周期。

〖分析与解〗将斜面看成一个“等效竖直面”，小球静止时，绳中拉力与重力沿斜面向下的分量F1?mgsin?相等，则可以将F1看成“等效重力”，则“等效重力加速度”为

gsin?。故周期为：T?2?图7

θ L gsin?3.1.2、非惯性系中的单摆

【例8】如图8所示，在减速上升的升降机内有一个摆长为L的单摆，已知升降机加速度大小为a（a

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a （升降机） 图8

图9

a

〖分析与解〗假定小球“静止” 在电梯中，则小球和电梯具有相同的加速度a（a

（1）若电梯具有竖直向上的加速度a，其它条件不变，则周期为T?2?L。 g-aL； g?a（2）若将该单摆放在以加速度a做匀加速直线运动的车中，如图9所示，其它条件不变，则其周期为： T?2?3.1.3、倒悬单摆

【例9】如图10所示，在一个水池底部用一根长为L的轻绳固定一个质量为m小木球（可看成质点），小木球所受水的浮力的大小恒为F（F>mg）。若小球绕O点做小振幅（最大摆角小于5°）振动，不计空气阻力，求其周期。 〖分析与解〗小球静止时，绳中拉力与重力和浮力的合力F1?F?mg相等，则可以将F1看成“等效重力”，则“等效重力加速度”为故周期为：T?2?F?mg。 mLg?a22

mL

F?mgO 图10

3.1.4、电场中的单摆

【例10】如图11所示，轻绳长为L，摆球（可看成质点）质量为m，带电量为+q，在该区域存在一个水平向右的匀强电场，场强E，若小球绕O点做小振幅（最

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大摆角小于5°）振动，不计空气阻力，求其周期。 〖分析与解〗小球静止时，绳中拉力与重力和电场力的合力F1?m2g2?E2q2相等，则可以将F1看成“等

O E m2g2?E2q2效重力”，则“等效重力加速度”为。

m故周期为：T?2?mLmg?Eq2222图11

3.1.5、磁场中的单摆

【例11】如图12所示，轻绳长为L，摆球（可看成质点）质量为m，带电量为+q，在该区域存在一个垂直纸面向里的匀强磁场，场强B，若小球绕O点做小振幅（最大摆角小于5°）振动，不计空气阻力，求其周期。 〖分析与解〗小球静止在平衡位置时，绳中拉力与重力和洛伦兹力（因小球静止在平衡位置，故洛伦兹力为零）的合力F1?mg相等，则可以将F1看成“等效重力”，则“等效重力加速度”仍为g。 故周期为：T?2?O B

L g图12

由以上几例可以看出，在解决此类单摆问题时，可与重力场中的单摆模型进行对比转换，灵活运用等效的思想加以研究，求出“等效重力加速度”继而得出周期。具体方法是：

a、将单摆摆动所在平面看成“等效竖直面”；

b、寻找平衡位置，运用平衡条件或牛顿第二定律（主要针对非惯性系中的单摆）求出振子“静止”在平衡位置时的绳中拉力，得出 “等效重力”；

c、求出“等效重力加速度”。 3.2、 将复杂模型等效成类单摆模型

【例12】如图13所示，O为光滑圆弧的最低点，半径R远远大于整段弧长，不计空气阻力。

（1）现分别从非常靠近O点的a处和圆心b处同时由静止释放两小球a、b（两

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球都可看成质点）。试判断a、b谁先到达O点。 （2）若在圆弧上a、c两处分别由静止开始释放a、c两小球（可看成质点），则两球在何处（O点、O点左侧、O点右侧）第一次相碰？ 〖分析与解〗

（1）a球由静止释放所做的运动可以看成是单摆运动，等效摆长为R，又因半径R远远大于整段弧长，所以可以看成简谐运动，由单摆周期公式T?2?a O 图13

c b R l可知：a球第一次到达O点g所需时间为t1??2R g b球由静止释放所做的运动为自由落体运动，到达O点时下落高度为R，可得：b球到达O点所需时间为t2?2R g所以有t1 >t2，b球先到达O点。

（2）a、c两球由静止释放所做的运动可以看成是单摆运动，等效摆长均为R，又因半径R远远大于整段弧长，所以可以看成简谐运动，由单摆周期公式

T?2?l可知周期与振幅和振子质量无关，所以两球将同时到达O点，在Og点相碰。

在上例中，小球在光滑圆弧面上的运动是复杂的非匀变速曲线运动，关于时间问题的分析、判断，若采用牛顿运动定律或者是动量知识解决时，都显得相当复杂，甚至无从下手。但是，若灵活地运用等效的思想加以研究，将该过程等效成一个类单摆运动，抓住单摆的周期与振幅和振子质量无关的特点，则问题就迎刃而解了。

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球都可看成质点）。试判断a、b谁先到达O点。 （2）若在圆弧上a、c两处分别由静止开始释放a、c两小球（可看成质点），则两球在何处（O点、O点左侧、O点右侧）第一次相碰？ 〖分析与解〗

（1）a球由静止释放所做的运动可以看成是单摆运动，等效摆长为R，又因半径R远远大于整段弧长，所以可以看成简谐运动，由单摆周期公式T?2?a O 图13

c b R l可知：a球第一次到达O点g所需时间为t1??2R g b球由静止释放所做的运动为自由落体运动，到达O点时下落高度为R，可得：b球到达O点所需时间为t2?2R g所以有t1 >t2，b球先到达O点。

（2）a、c两球由静止释放所做的运动可以看成是单摆运动，等效摆长均为R，又因半径R远远大于整段弧长，所以可以看成简谐运动，由单摆周期公式

T?2?l可知周期与振幅和振子质量无关，所以两球将同时到达O点，在Og点相碰。

在上例中，小球在光滑圆弧面上的运动是复杂的非匀变速曲线运动，关于时间问题的分析、判断，若采用牛顿运动定律或者是动量知识解决时，都显得相当复杂，甚至无从下手。但是，若灵活地运用等效的思想加以研究，将该过程等效成一个类单摆运动，抓住单摆的周期与振幅和振子质量无关的特点，则问题就迎刃而解了。

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