广州二中应元学校数学全等三角形单元达标训练题(Word版 含答案)

广州二中应元学校数学全等三角形单元达标训练题（Word版含答

案）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在四边形ABCD中，BC CD

=，对角线BD平分ADC

∠，连接AC，2

ACB DBC

∠=∠，若4

AB=，10

BD=，则ABC

S=_________________．

【答案】10

【解析】

【分析】

由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD∥BC，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD，可得CB=CA=CD，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE的长和BCF CDE

∠=∠，然后即可根据AAS证明

△BCF≌△CDE，可得CF=DE，再根据三角形的面积公式计算即得结果．

【详解】

解：∵BC CD

=，∴∠CBD=∠CDB，

∵BD平分ADC

∠，∴∠ADB=∠CDB，

∴∠CBD=∠ADB，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，

∵2

ACB DBC

∠=∠，2

ADC BDC

∠=∠，∠CBD=∠CDB，

∴ACB ADC

∠=∠，∴CAD ADC

∠=∠，

∴CA=CD，∴CB=CA=CD，

过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，则

1

5

2

DE BD

==，

1

2

BCF ACB

∠=∠，

∵

1

2

BDC ADC

∠=∠，ACB ADC

∠=∠，∴BCF CDE

∠=∠，

在△BCF 和△CDE中，∵BCF CDE

∠=∠，∠BFC=∠CED=90°，CB=CD，

∴△BCF≌△CDE（AAS），∴CF=DE=5，

∴

11

4510

22

ABC

S AB CF

=?=??=．

故答案为：10．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．

2．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____

cm ．

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．

【详解】

解：∵PD AB ，PE BC ∥

∴四边形HBDP 是平行四边形

∴PD=HB ∵ABC 为等边三角形,周长为12cm

∴∠B=∠A=60°,AB=4

∵PE BC ∥

∴∠AHE=∠B=60°

∴∠AHE=∠A=60°

∴△AHE 是等边三角形

∴HE=AH

∵∠HFP=∠A=60°

∴∠HFP=∠AHE=60°

∴△AHE 是等边三角形，

∴FP=PH

∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．

3．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF 的长

_________ .

【答案】3

【解析】

【分析】

过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明

CAI?BAJ，求出°

7830

∠=∠=，然后求出

1

2

IF FJ AF

==，，通过设FJ x

=求出x，即可求出AF的长.

【详解】

解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J

在CAE和BAD中

AC AB

CAE BAD

AE AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴CAE?BAD

∴ICA ABJ

∠=∠

∴BFE CAB ∠=∠（8字形）

∴°120CFD ∠=

在CAI 和BAJ 中

°90

ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=?

∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ ==

∴°60CFA AFJ ∠=∠=

∴°30FAI FAE ∠=∠=

在RtAIF 和RtAJF 中

°30FAI FAE ∠=∠=

∴12

IF FJ AF ==

设FJ x = 7,4CF BF ==

则47x x +=-

3

2x ∴=

2AF FJ =

AF ∴=

3

【点睛】

此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.

4．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，

，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．

【答案】

53

【解析】

试题分析：如图所示，由△ABC是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=

3

BC=6，

∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等边三角形；

S△ABC=

1

2

AC?BE=

1

2

AC×EH×3EH=

1

3

BE=

1

3

×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE﹣

∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S五边形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣

S△FIN=22

331

4231

442

?-?-??=53，故答案为53．

考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．

5．如图，1

AB A B

=，

1112

A B A A

=，

2223

A B A A

=，

3334

A B A A

=，…，当2

n≥，70

A

∠=?时，11

n n n

A A B

--

∠=__________．

【答案】

1702n -? 【解析】

【分析】

先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．

【详解】

解：∵在1ABA ?中，70A ∠=?，1AB A B =

∴170BA A A ∠==?∠

∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ?的外角 ∴12111211703522B A A A B A BA A ?∠=∠==

=?∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ?∠=

==?∠，343131708.7582B A A BA A ?∠===?∠ ∴111702n n n n A A B ---?∠=

． 故答案为：

1

702n -? 【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．

6．如图，在ABC ?中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；

②点O 到ABC ?各边的距离相等；③1902

BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ?=；⑤1()2

AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角

和定理，即可求得③∠BOC=90°+1

2

∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出

△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到

△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得

④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=1

2

mn，故④错误，根据HL证明△AMO≌△ADO得到

AM=AD，同理可证BM=BN，CD=CN，变形即可得到⑤正确．【详解】

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=1

2

∠ABC，

∠OCB=1

2

∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣

1

2

∠A，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+1

2

∠A；故③正确；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，

∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=1

2

AE?OM+

1

2

AF?OD=

1

2

OD?（AE+AF）=

1

2

mn；故④错误；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；

∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；

同理可证：BM=BN，CD=CN．

∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=1

2

（AB+AC﹣BC）故⑤正确．

故答案为：①②③⑤．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

7．如图，在四边形ABCD中，AB AD

=，BC DC

=，60

A

∠=?，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE AB

∥，若8

AB=，6

CE=，则BC的长为_______________.

【答案】27

【解析】

【分析】

由AB AD

=，BC DC

=知点A,C都在BD的垂直平分线上，因此，可连接AC交BD于点O，易证ABD

△是等边三角形，EDF是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC的长度，应用勾股定理可求解.

【详解】

解：如图，连接AC交BD于点O

∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=?，

∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形

∴30BAO DAO ∠=∠=?，8AB AD BD ===，4BO OD ==

∵CE AB ∥

∴30BAO ACE ∠=∠=?，60CED BAD ∠=∠=?

∴30DAO ACE ∠=∠=?

∴6AE CE ==

∴2DE AD AE =-=

∵60CED ADB ∠=∠=?

∴EDF 是等边三角形

∴2DE EF DF ===

∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=

∴OC ==

∴BC =【点睛】

本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.

8．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．

【答案】22

【解析】

【分析】

等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；

【详解】

解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，

∴腰的不应为4，而应为9，

∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.

故答案为22.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.

9．如图，ABC ?中，AB AC =，点D 是ABC ?内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°

【答案】80

【解析】

【分析】

根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB－2∠ACD，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC即可.

【详解】

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD，

∴∠ECB=∠ACB－∠ACE=∠ACB－2∠ACD，

∵∠AEC=100°，

∴∠ABC+∠ECB=100°，

∴∠ABC+∠ACB－2∠ACD=100°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB,

∴2∠ACB－2∠ACD=100°，

∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，

∵DB=DC，

∴∠DBC=∠DCB，

∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.

【点睛】

本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________

【答案】

8

5

【解析】

【分析】

首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE，得出BF 的长，即B′F的长．

【详解】

解：根据折叠的性质可知：DE=AE，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，B′F=BF，

∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECF=45°，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴EF=CE，∠EFC=45°，

∴∠BFC=∠B′FC=135°，

∴∠B′FE=90°，

∵S△ABC=

1

2

AC?BC=

1

2

AB?CE，

∴AC?BC=AB?CE，

∵根据勾股定理得：2222

6810

AB AC BC

∴ 4.8

AC BC

CE

AB

?

==

∴EF=4.8，22 3.6

AE AC EC

-=

∴B′F=BF=AB-AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=

8

5

，

故答案是：

8

5

.

【点睛】

此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE、AE是解决问题的关键．

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）

A．32°

B ．64°C．65°D．70°

【答案】B

【解析】

【分析】

此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案

【详解】

如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置

∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH

∠1=180?-∠BEH-∠DEH=180?-2∠DEH

∠2=180?-∠D-∠DEH-∠EHF

=180?-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)

=180?-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）

=180?-32°-∠DEH-32°-∠DEH

=180?-64°-2∠DEH

∴∠1-∠2=180?-2∠DEH-(180?-64°-2∠DEH)

=180?-2∠DEH-180?+64°+2∠DEH

=64°

故选B

【点睛】

此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键

12．如图，在射线OA，OB上分别截取11

OA OB

=，连接

11

A B，在

11

B A，

1

B B上分别截取1212

B A B B

=，连接

22

A B，按此规律作下去，若

11

A B Oα

∠=，则

1010

A B O

∠=

（）

A．

10

2

a

B．

9

2

a

C．

20

a

D．

18

a

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等腰三角形两底角相等用α表示出22

A B O

∠，依此类推即可得到结论．

【详解】

解：

1212

B A B B

=，

11

A B Oα

∠=，

22

1

2

A B Oα

∴∠=，

同理

332

111

222

A B Oαα

∠=?=，

443

1

2

A B Oα

∠=，

1

1

2

n n n

A B Oα

-

∴∠=，

10109

2

A B O

α

∴∠=，

故选：B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．

13．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A ．①②

B ．①④

C ．②③

D ．③④

【答案】C

【解析】

【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．

【详解】

选取①②:

在ADF ? 和BEF ? 中

1=2

{12

AFD BFE

AD BE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠∠∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=

选取①④:

在ADF ? 和BEF ? 中 1=2

{12

AFD BFE

FD FE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠∠∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=

选取③④:

在ADF ? 和BEF ? 中

={12

AF BF

AFD BFE

FD FE

ADF BEF

AF BF

FAB FBA

CAB CBA

AC BC

∠=∠=∴???∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．

14．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰三角形 【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=?，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60?，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。

【详解】

如图所示，根据题意，作出相应的图形，可知：

∵P 和1p 点关于OB 对称，p 和2p 关于OA 对称

∴可得1

1POB POB ∠=∠=∠,22P OA POA ∠=∠=∠ 12OP OP OP ==（垂线段的性质）

∴12POP △为等腰三角形

∵1230AOB ∠=∠+∠=?

1221222(12)60POP ∠=∠+∠=∠+∠=?

∴等腰12POP △为等边三角形.故本题选C.

【点睛】

本题主要考查垂线段的性质和定理，以及等边三角形的证明方法（有一个角为60 的等腰三角形为等边三角形）.

15．点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P 共有（）个

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质，要使△AOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P共8个．

【详解】

如图，分两种情况进行讨论：

当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；

当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；

∴满足条件的点P共有8个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．

16．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）

A．4 B．

24

5

C．5 D．6

【答案】C

【解析】

试题解析：如图，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴点B关于AD的对称点B′在AC上，

过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，

由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，

过点B作BE⊥AC于E，

∵AC=10，S△ABC=25，

∴

1

2

×10?BE=25，

解得BE=5，

∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，

∴AB=AB′，

∴△ABB′是等腰三角形，

∴B′N=BE=5，

即BM+MN的最小值是5．

故选C．

17．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.

A．9 B．7 C．8 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．

【详解】

①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．

∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，

C2．

②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，

C4，C5；

③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．

综上所述：符合条件的点C的个数有8个．

故选C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．

18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）

A．12 B．16 C．24 D．32

【答案】A

【解析】

【分析】

连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．

【详解】

连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∵△CDM周长的最小值为8，

∴AD=8-1

2

BC=8-2=6

∴S△ABC=1

2

BC?AD=

1

2

×4×6=12，

故选A．

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

19．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

由点A、B的坐标可得到2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．

【详解】

∵点A、B的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．

∴AB=22，

如图，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点(含B点)，即(0，0)、(4，0)，

∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；

②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形

的C点有2个；

③若CA=CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；

综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．

故选D．

【点睛】

本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．

20．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接

ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：

①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）

A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④

【答案】C

【解析】

【分析】

①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；

②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；

③证明△AEF≌△BED即可；

④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．

【详解】

①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．

∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，

∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵

AE BE

DAE CBE

AD BC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正确；

②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正确；

③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．

∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．

在△AEF和△BED中，∵

BDE AFE

BED AEF

AE BE

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正

确；

④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．

∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．

∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．

∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．

故选C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．

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