基于压缩感知的SAR雷达成像后面附有程序

基于压缩感知的SAR成像算法研究

摘 要

压缩感知是近年来出现的一种新颖的理论，该理论指出如果信号在某个变换域是稀疏的或可压缩的，就可以利用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上，根据这些少量的观测值，通过求解凸优化问题实现信号的精确重构。

合成孔径雷达（SAR）是一种高分辨的成像雷达，它不受气候和昼夜影响，能够全天候、全天时、远距离的进行成像，具有大范围观测、可变视角以及良好的穿透能力等特点，在军用和民用领域有着广泛的应用。

随着对雷达图像分辨率的需求不断提高，以香农采样定理为基础的信号处理框架对采样速度和数据处理速度的要求也越来越高，因此给数据存储和传输系统带来了沉重负担。压缩感知理论能够降低数据量，因此对于稀疏场景的SAR成像，可将其与压缩感知相结合，有效的减缓了数据量大所导致的存储压力大的问题。

本文介绍了压缩感知的概念与原理以及脉冲压缩的基本原理，研究了合成孔径雷达成像的基本原理，并将其压缩感知相结合。最后进行了仿真实验，实现了基于脉冲压缩的SAR成像和基于压缩感知的SAR成像。

关键词：压缩感知；合成孔径雷达成像；脉冲压缩

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Abstract

Compressed Sensing (CS) is a novel theory in recent years. The theory suggests that if the signal is sparse or compressible in a transform domain, we can use an observation matrix which is not related with transformation basis to project the high-dimensional transformed signal to a low dimensional space. According to these few observations, the signal can be accurate reconstructed by solving a convex optimization problem.

Synthetic Aperture Radar (SAR) is a sort of high resolution imaging radar．Using SAR we call obtain radar images independent of all time，all weather, and long distance conditions，it provide multi-bands，huge-range observation and high resolution image．So it has a wide application in the fields of military and civilian．

With the increasing demand in radar image resolution, signal processing framework based on the Shannon sampling theorem has become increasingly demanding the sampling speed and data processing speed, thereby bringing great difficulties to storage, transmission. CS theory can reduce the amount of data, so for sparse scene, we can combine it with SAR imaging to solve the problem of storing pressure caused by the amount of data.

This article describes the concept of CS and pulse compression, studies the basic principles of SAR imaging and combines it with CS theory. Finally, the simulation experiment is conduct to realize the SAR imaging based on pulse compression and CS theory.

Keywords：Compressive Sensing； Synthetic Aperture Radar imaging； Pulse Compression

II

目录

第1章 引言 ............................................................................................ 1 1.1 应用背景 ......................................................................................... 1 1.1.1 压缩感知简介 ........................................................................... 1 1.1.2 雷达发展简介 ........................................................................... 3 1.2 本文安排 ......................................................................................... 6 第2章 压缩感知理论基本原理 .............................................................. 7 2.1 压缩感知的基本知识 ...................................................................... 7 2.2 压缩感知的主要原理内容 ............................................................... 8 2.2.1 信号的稀疏表示 ....................................................................... 9 2.2.2 测量矩阵的设计 ...................................................................... 10 2.2.3 信号的重构算法 ...................................................................... 10 2.3 压缩感知的主要应用 ..................................................................... 11 第3章 脉冲压缩基本原理 ..................................................................... 14 3.1 雷达工作原理 ................................................................................. 14 3.2 线性调频脉冲信号的特性 .............................................................. 17 3.3 线性调频脉冲信号的脉冲压缩....................................................... 19 第4章 合成孔径雷达成像 ..................................................................... 24 4.1 合成孔径雷达（SAR）简介 .............................错误！未定义书签。 4.2 SAR点目标回波模型 ..................................................................... 26 4.4 基于传统脉冲压缩的SAR成像 ..................................................... 28 4.5 基于压缩感知的SAR成像 ............................................................ 30 4.5.1 基本思想 .................................................................................. 30 4.5.2 雷达回波的稀疏表示 ............................................................... 31 4.5.3 测量矩阵的构造 ...................................................................... 32 4.5.4 雷达图像形成 .......................................................................... 33

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4.5.5 仿真结果 .................................................................................. 34 第5章 总结与展望 ................................................................................ 36 致 谢 ................................................................................................... 38 参考文献 ................................................................................................... 39

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第1章 引言

1.1 应用背景

信息技术的飞速发展使得人们对信息的需求量剧增，而现实世界的模拟化和信号处理工具的数字化则决定了信号采样是从模拟信源获取数字信息的必经之路。奈奎斯特采样定理则是指导如何采样的重要理论基础。它指出采样速率必须达到信号带宽的两倍以上才能够精确地重构信号。然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽也越来越宽，以此为基础的信号处理框架要求的采样速率和处理速度也越来越高，因而对宽带信号处理的困难日益加剧。例如高分辨率地理资源观测，其巨量数据传输和存储就是一个艰难的工作。

另一方面，在实际应用中为了降低存储、处理和传输的成本，人们常采用压缩方式以较少的比特数表示信号，大量的非重要的数据被抛弃。这种高速采样再压缩的过程浪费了大量的采样资源，于是很自然地引出一个问题：能否利用其它变换空间描述信号，建立新的信号描述和处理的理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于奈奎斯特采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号？即能否将对信号的采样转变成对信息的采样？如果这个问题被解决，就可以极大地降低信号的采样频率及数据存储和传输代价，显著地降低信号处理时间和计算成本，并将带领信号处理进入一个新的革命时代。近年国际上出现的压缩感知理论（Compressive Sensing,CS）为缓解这些压力提供了解决方法[1]。 1.1.1

压缩感知简介

在过去的半个世纪里，奈奎斯特采样定理几乎支配着所有的信号或图像等的获取、处理、存储以及传输。但是它要求采样频率必须大于或等于信号带宽的两倍，才能够不失真地重构原始信号，而在许多实际的应用中，例如高分辨率的数码装置以及超带宽信号处理，由于高速采样产生了庞大的数据，为了降低存储，处理或传输成本，于是只保留其中少量的重要数据，但是因为采样后所得到的大部分数据都被丢弃了，所以这种方式造成了采样资源的严重浪费。设想如果在采样的同时直接提取信号的少量重要信息，那么就可以大大降低采

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样频率，从而节约资源，提高效率而且仍然能够精确地重构原始信号或图像。这就是2004年Donoho、Candes以及Tao等人提出压缩感知（Compressed Sensing、Compressive Sampling或Compressive Sensing，CS）理论的主要思想内容。压缩感知理论指出：如果信号在某个变换域是稀疏的或可压缩的，就可以利用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上，根据这些少量的观测值，通过求解凸优化问题就可以实现信号的精确重构[2-5]。

压缩感知是建立在矩阵分析、统计概率论、拓扑几何、优化与运筹学、泛函分析等基础上的一种全新的信息获取与处理的理论框架。它基于信号的可压缩性, 通过低维空间、低分辨率、欠Nyquist采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知。压缩感知不仅让我们重新审视线性问题, 而且丰富了关于信号恢复的优化策略, 极大的促进了数学理论和工程应用的结合。目前, 压缩感知的研究正从早期的概念理解、数值仿真、原理验证、系统初步设计等阶段,转入到理论的进一步深化, 以及实际系统的开发与应用阶段[6]。

当前大多关于压缩感知（CS）技术的文献都专注于信号的重构、近似和估计，但压缩感知技术可以应用到更广泛的统计推断任务当中。检测、分类和识别不需要信号的重构，只需得到有关问题统计量的估计。关键是我们可以从少量的随机测量中直接获得这些统计量，而无需对信号进行重构。这样会得到两个结果，一是信号检测比信号重构所需的计算可以大量减少；二是与重构相比，可以极大减少计算的复杂性。这些都有利于雷达的应用，因为如果我们只关注目标探测，而不是图像重构，那么基于压缩感知技术的接收机就可以使用更低的采样率。而且，许多雷达的应用，如目标检测、分类和识别都是建立在某类匹配滤波或与一套模版做相关结果之上。信息的可拓展性使我们能够直接从非相关测量中计算匹配滤波的结果而不必进行昂贵的重构。

我们仍需要逾越许多挑战，才能开发出真正的基于压缩感知技术的雷达系统。首先，探测的目标反射系数必须能够在某些基、框架或字典中可压缩；第二，信号恢复算法应用在真实的雷达获取目标时，针对含噪数据必须具备足够的计算效率和稳健性；第三，需要在减少采样率和压缩感知系统的动态范围之间达到微妙的平衡。

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1.1.2 雷达发展简介

雷达（Radar）的名称来自于“无线电检测和测距”（radio detection and ranging），它是集中了现代电子科学技术各种成就的高科技系统，其基本功能是利用目标对电磁波的散射而发现目标，并测定目标的空间位置。众所周知，雷达已成功地应用于地（含车载）、舰载、机载方面，这些雷达已经和正在执行着各种军事和民用任务。近年来，由于雷达采用了一些新理论、新技术和新器件，雷达技术进入了一个新的发展阶段。信息论在雷达领域中的应用和宽带微波技术及现代信号处理的不断发展，以及全息成像理论的完善，导致了各种形式的高分辨成像雷达的诞生和发展。

雷达技术的发展现状可以概括为以下几个方面：

1.军用雷达面临电子战中反雷达技术的威胁，特别是有源干扰和反辐射导弹的威胁。现在发展了多种抗有源干扰与抗反辐射导弹的技术，包括自适应天线方向图置零技术、自适应宽带跳频技术、多波段共用天线技术、诱饵技术以及低截获频率技术等。

2.隐身飞机的出现，使得微波波段的雷达的截面积减低了20至30dB，要求雷达的灵敏度相应提高同样量级。反隐身雷达已经采用低频段（米波、短波等）雷达技术，双（多）基地雷达技术，无源定位技术等。

3.巡航导弹与低空飞机飞行高度低至10米以下，目标的截面积小到0.1至0.01平方米。因此，对付低空入侵是雷达技术发展的又一个挑战。采用升空平台技术，宽带雷达技术，脉冲多普勒雷达技术以及毫米波雷达技术能有效对付低空入侵。

4.成像雷达技术的发展，为目标识别创造了前所未有的机会。目前工作的合成孔径雷达分辨力达到1m?1m，0.3m?0.3m的系统已经研制成功，为大面积实时侦察与目标识别创造了条件。多频段、多极化合成孔径雷达已经投入使用。

5.航天技术的发展，为空间雷达技术的发展提供了广泛的机会。高功率的卫星监视雷达、空间基侦察与监视雷达、空间飞行体交会雷达等成为雷达家族的新成员。

6.探地雷达是雷达发展的另一个重要方向。目前已经有多种体制的探地

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雷达，用于地雷、地下管道探测和高速公路质量检测等目的。树林下以及沙漠下隐蔽目标的探测已经取得重要的实验成果，UHF/VHF频段的超宽带合成孔径雷达已经取得突破性发展。

7.毫米波雷达在各种民用系统中（如海面监视、海港以及边防监视、船舶导航、直升机防撞等）大显身手。欧美已经开发出了77GHz和94GHz的汽车防撞雷达，为大规模生产汽车雷达创造了条件。在研制的用于自动装置的雷达中，最高频率已经达到220GHz频段[7]。

合成孔径雷达是目前雷达领域的一个热点领域，可以把合成孔径雷达（SAR）看成一种主动式微波遥感设备，它可以全天候、全天时、远距离对目标进行检测和定位，SAR的出现扩展了原始的雷达概念，使它具有对运动目标（飞机、导弹等）、区域目标（地面等）进行成像和识别能力，并在微波遥感应用方面表现出越来越大的潜力，为人们提供越来越多的有用信息。SAR技术克服了传统光学成像和红外遥感受阳光、云雾等天气条件影响的缺点，并且通过适当地选取波长，利用微波的穿透性，可以对植被覆盖的地物成像。随着SAR技术的不断改进和完善，它在军事和民用领域得到了越来越广泛的应用，如战场侦察、火控、制导、导航、资源勘探、地形测绘、海洋监视、环境遥感等。未来的合成孔径雷达正朝着多模式、多波段、多极化、多视向和高分辨率等方向发展。它对国防技术现代化、国民经济建设具有十分重要的意义。因此，雷达成像技术越来越多地受到国际上技术先进国家的重视，是竞争激烈、发展迅速的技术领域。

合成孔径的概念可以追溯到上个世纪50年代初。1951年6月美国古德依尔公司（Goodyear Aerospace Co）的Carl Wiley首先提出可以利用频率分析的方法改善雷达的方位分辨率。与此同时，伊利诺伊大学控制系统实验室独立地用非相参雷达进行实验，证实频率分析的方法确能改善雷达的方位分辨率。以后又用相参雷达做实验，用X波段雷达产生相参基准信号，发射波束宽为4.13度，经过孔径综合后波束宽度变为0.4度。采用非聚焦孔径综合方法，于1953年7月得到第一张SAR图像。当时的信号存储采用磁带，信号处理器为商用的频率分析器。这是合成孔径原理和合成孔径雷达发展的最初阶段。

1953年夏，在美国密西根大学举办的暑期讨论会上，许多学者提出了载机运动可以将雷达的真实天线合成为大孔径的线性天线阵列的新概念。用这种

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观点认识合成孔径原理，除了能解释雷达方位分辨率的提高及正侧视工作方式能得到最佳方位分辨率外，还能使人们认识到合成孔径方位有经相位校正后求和与不经相位校正求和之分，即聚焦和非聚焦信号处理之分。美国密西根大学雷达和光学实验室的科学家发现了可将雷达数据纪录在胶片上，并利用透镜组完成合成孔径信号处理的方法。1957年8月，它们研制的SAR进行了飞行实验，得到了第一张全聚焦SAR图像。从此，合成孔径原理和合成孔径雷达被世界所认识，并被广泛应用。1978年美国发射了载有SAR的海洋卫星（Seasat-A）。海洋卫星SAR为L波段、固定入射角、HH极化，其任务是论证海洋动力学测量的可靠性。在Seasat-A取得重大成功后，美国利用航天飞机分别于1981年11月、1984年10月和1994年4月将Sir-A、Sir-B和Sir-C／X-SAR三部成像雷达（SAR）载入太空。欧洲空间局（ESA）分别于1991年7月和1995年4月发射了地球遥感卫星ERS-1和ERS-2，其中的SAR系统采用了C波段、W极化，并有全系统校准能力，提高了图像质量。加拿大的Radarsat也于1995年11月发射成功。它借鉴了很多ERS的经验，虽然也是C波段、单极化（HH），但采用了电扫天线（VPA），并具有多模式工作能力。美国桑迪亚国家实验室为美国General Atomics Aeronautical System公司制造的“I-Gnat”无人侦察机研制的Lynx合成孔径雷达，其分辨率达10厘米，工作在Ku波段。

国内在SAR的研究方面也取得了一定的成绩。中科院电子所从1976年开展了机载SAR的研究工作，在1983年得到了光学处理的地形图像，并在后来的工作中对机载SAR系统和信号处理作了进一步改进和完善。

在过去的半个世纪里，SAR技术得到了长足的进步和发展。目前，在SAR系统理论、成像方法以及雷达图像的理解与应用等方面已经有大量的书籍和文献，在实践上已经有不少机载和星载SAR系统研制成功。随着军事以及民用领域许多新需求的不断提出，各技术发达国家仍然一直不懈努力，进一步提高SAR的技术性能水平。现阶段，SAR技术的发展主要有两个方向：一是基于单一平台的SAR技术，目前各国公开研制的和使用的机（星）载SAR都是以单一平台为基础的，主要内容集中于扩展SAR工作频段、使用多极化方式、多工作模式、开发新体制的SAR等。另一个主要的SAR发展方向是，采用两个（或多个）分置的平台，以组网的形式进行合成孔径成像。SAR技术正以

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多种发展形式，深深融入到军民领域中。

纵观国内外空间SAR的发展过程，可以看出随着科学技术的不断进步，SAR的水平和功能也在不断提高，从开始的单波段、单极化、固定入射角、单模式逐渐向多波段、多极化、变入射角、多模式方向发展，天线也经历了固定的、机械扫描、电扫及相控阵的发展过程。这些也是和人们希望这种SAR具有快速全球普查、热点地区快速重复观测的能力分不开的。可以相信，科学家们将不断地挖掘合成孔径雷达的技术潜力，为人类服务。

由于高分辨率雷达图像的获得通常需要采用大信号带宽才能实现。随着对雷达图像分辨率的需求不断提高，以香农采样定理为基础的信号处理框架对采样速度和数据处理速度的要求越来越高，因而对宽带雷达信号获取和处理的难度在日益增大，而压缩感知理论能够有效地降低高分辨率雷达成像系统的数据率，故可将压缩感知与SAR成像相结合。

1.2 本文安排

在本文的安排上，将在第2章介绍压缩感知理论的基本原理和主要思想内容，然后在第3章介绍脉冲压缩的基本原理，并对线性调频信号的特性进行分析，并在此基础上完成线性调频信号的建模和采样、频谱分析和脉冲压缩，并通过MATLAB仿真完成验证，接下来在第4章对合成孔径雷达进行简要介绍并讨论合成孔径雷达成像的工作原理，然后根据SAR回波信号模型生成点目标回波数据，完成基于传统脉冲压缩思想的SAR成像仿真，并选择测量矩阵和稀疏矩阵，应用压缩感知方法，对SAR回波仿真数据进行成像处理，得到聚焦图像，完成基于压缩感知SAR成像算法的MATLAB仿真程序。

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到误差的影响。在压缩编码过程中，稀疏表示所需要的基对于编码器来说可能是未知的。 然而在压缩传感编码过程中，它只在译码和重构原信号时需要， 因此不需考虑它的结构， 所以可以用通用的编码策略进行编码。Haupt等通过实验表明如果图像是高度可压缩的或者SNR充分大，即使测量过程存在噪声， 压缩传感方法仍可以准确重构图像。

波达方向估计：目标出现的角度在整个扫描空间来看，是极少数。波达方向估计问题在空间谱估计观点来看是一个欠定的线性逆问题。通过对角度个数的稀疏限制，可以完成压缩感知的波达方向估计。

波束形成：传统的自适应波束形成因其高分辨率和抗干扰能力强等优点而被广泛地采用。但是同时它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高等问题将大大降低接收性能。为了改进Capon 波束形成的性能，这些通过稀疏波束图整形的方法可以限制波束图中阵列增益较大的元素的个数，同时鼓励较大的阵列增益集中在波束主瓣中，从而可以在达到降低旁瓣水平同时，提高主瓣中阵列增益水平，降低角度失匹配的影响。

成像：运用压缩传感原理，RICE大学成功研制了“单像素”压缩数码照相机。设计原理首先是通过光路系统将成像目标投影到一个数字微镜器件（DMD）上，其反射光可以通过透镜聚焦到单个光敏二极管上，而光敏二极管两端的电压值即为一个测量值y，将此投影操作重复M次，得到测量向量，然后用最小全变分算法构建的数字信号处理器来重构原始图像。数字微镜器件由数字电压信号控制微镜片的机械运动从而实现对入射光线的调整。而且由于这个压缩数码照相机直接获取的是M次随机线性测量值而不是获取原始信号的N（M，N）个像素值，为低像素相机拍摄高质量图像提供了可能。

雷达成像：压缩传感技术也可以应用于雷达成像领域，与传统雷达成像技术相比压缩传感雷达成像实现了两个重要改进：在接收端省去脉冲压缩匹配滤波器；同时由于避开了对原始信号的直接采样，降低了接收端对模数转换器件带宽的要求。设计重点由传统的设计昂贵的接收端硬件转化为设计新颖的信号恢复算法，从而简化了雷达成像系统。

模数转换：对于带宽非常高的信号，例如雷达和通信信号处理系统涉及的射频信号，根据香农采样定理，要获得完整的信号信息，所采用的模数转换器必须有很高的采样频率。然而由于传感器及转换硬件性能的限制，获得的信号

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的带宽远远低于实际信号的带宽，存在较大的信息丢失。对此Kriolos等设计了基于压缩传感理论的模拟/信息转换器，利用压缩传感理论中测量信息可以得到完整信号的原理，首先获得原始信号的线性测量，再利用后端DSP重构原始信号或直接计算原始信号的统计数据等信息。

生物传感：生物传感中的传统DNA芯片能平行测量多个有机体，但是只能识别有限种类的有机体，Sheikh等人运用压缩传感和群组检测原理设计的压缩传感DNA芯片克服了这个缺点。压缩传感DNA芯片中的每个探测点都能识别一组目标，从而明显减少了所需探测点数量。此外基于生物体基因序列稀疏特性，Sheikh等人验证了可以通过置信传播的方法实现压缩传感DNA芯片中的信号重构[9]。

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第3章 脉冲压缩基本原理

3.1 雷达工作原理

雷达是Radar（Radio Detection And Ranging）的音译词，意为“无线电检测和测距”，即为利用无线电波来检测目标并测定目标的位置，这也是雷达设备在最初阶段的功能。典型的雷达系统如图3-1，它主要由发射机，天线，接收机，数据处理，定时控制，显示等设备组成。利用雷达可以获知目标的有无，目标斜距，目标角位置，目标相对速度等。现代高分辨雷达扩展了原始雷达概念，使它具有对运动目标（飞机，导弹等）和区域目标（地面等）成像和识别的能力。雷达的应用越来越广[10]。

图3-1 简单脉冲雷达系统框图

雷达发射机的任务是产生符合要求的雷达波形（Radar Waveform），然后经馈线和收发开关由发射天线辐射出去，遇到目标后，电磁波一部分反射，经接收天线和收发开关由接收机接收，对雷达回波信号做适当的处理就可以获知目标的相关信息。

假设理想点目标与雷达的相对距离为R，为了探测这个目标，雷达发射信号s(t)，电磁波以光速C向四周传播，经过时间RC后电磁波到达目标，照射

R到目标上的电磁波可写成：s(t-)。电磁波与目标相互作用，一部分电磁波

CR被目标散射，被反射的电磁波为??s(t-)，其中?为目标的雷达散射截面

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（Radar Cross Section ，简称RCS），反映目标对电磁波的散射能力。再经过

R时间RC后，被雷达接收天线接收的信号为??s(t-2)。

C如果将雷达天线和目标看作一个系统，便得到如图3-2的等效系统，而且这是一个LTI（线性时不变）系统。

S(t)等效LTI系统h(t)Sr(t) 图3-2 雷达等效LTI系统

等效LTI系统的冲激响应可写成： h(t)? ???(t??) （3-1）

iii?1M其中M表示目标的个数，?i是目标散射特性，?i是光速在雷达与目标之间往返一次的时间，

?i?2Ri （3-2） c其中，Ri为第i个目标与雷达的相对距离。

雷达发射信号s(t)经过该LTI系统，就可得到输出信号（即雷达的回波信号）sr(t)：

sr(t)?s(t)?h(t)

?s(t)???i?(t??i)i?1M （3-3）

???is(t??i)i?1M

那么，怎样从雷达回波信号sr(t)提取出表征目标特性的?（表征相对距离）i和?i（表征目标反射特性）呢？常用的方法是让sr(t)通过雷达发射信号s(t)的匹配滤波器，如图3-3所示。

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S(t)h(t)雷达等效系统Sr(t)hr(t)匹配滤波器So(t) 图3-3 雷达回波信号处理

s(t)的匹配滤波器hr(t)为：

于是，

hr(t)=s*(-t) （3-4）

so(t)?sr(t)?hr(t)?s(t)?s(?t)?h(t)* （3-5）

对上式进行傅立叶变换：

So(jw)?S(jw)S*(jw)H(jw)?????????????|S(jw)|H(jw)2 （3-6）

如果选取合适的s(t)，使它的幅频特性|S(jw)|为常数，那么式（3-6）可写为：

So(jw)?kH(jw) （3-7）其傅立叶反变换为：

so(t)?kh(t)

（3-8）

?k??i?(t??i)

i?1Mso(t)中包含目标的特征信息?i和?i。

从so(t)中可以得到目标的个数M和每个目标相对雷达的距离。

Ri??ic （3-9） 2这也是线性调频（LFM）脉冲压缩雷达的工作原理[11]。

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3.2 线性调频脉冲信号的特性

脉冲压缩雷达能同时提高雷达的作用距离和距离分辨率。这种体制采用宽脉冲发射以提高发射的平均功率，保证足够大的作用距离；而接收时采用相应的脉冲压缩算法获得窄脉冲，以提高距离分辨率，较好的解决雷达作用距离与距离分辨率之间的矛盾。

脉冲压缩雷达最常见的调制信号是线性调频（Linear Frequency Modulation）信号，接收时采用匹配滤波器（Matched Filter）压缩脉冲。

线性调频脉冲信号（也称Chirp 信号）的数学表达式为：

t2)tj2?(fct?k2 s(t)?rect()e （3-10）

Ttrect()为矩形信号， 式中fc为载波频率，

T?t1????,???????1t?T rect()?? （3-11）

T??0???,??????elsewiseTTBf?Kt(??t?)，其中调频斜率是K?，于是，信号的瞬时频率为c如图3-4。

22T

图3-4 典型的chirp信号（a）up-chirp（K>0）（b）down-chirp（K<0）

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将式（3-10）中的up-chirp信号重写为： s(t)?S(t)e其中

j2?fct

（3-12）

tj?Kt2 S(t)?rect()e（3-13）

T

其中S(t)就是信号s(t)的复包络。由傅立叶变换性质，S(t)与s(t)具有相同的幅频特性，只是中心频率不同而已。因此，Matlab仿真时，只需考虑S(t)。通过Matlab程序产生式（3-12）的chirp信号，并做出其时域波形和幅频特性。

对脉冲宽度T=10?s，信号带宽B=20Mhz的chirp信号仿真所得图像如图3-5和图3-6所示。

图3-5 线性调频脉冲信号的时域波形

图3-6 线性调频脉冲信号的频域波形

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3.3 线性调频脉冲信号的脉冲压缩

窄脉冲具有宽频谱带宽，如果对宽脉冲进行频率、相位调制，它就可以具有和窄脉冲相同的带宽，假设LFM信号的脉冲宽度为T，由匹配滤波器的压缩后，带宽就变为?，且T/??D?1，这个过程就是脉冲压缩。

在输入为白噪声的情况下，所得输出信噪比最大的线性滤波器就是匹配滤波器。信号s(t)的匹配滤波器的时域脉冲响应为：

h(t)?s*(to?t) （3-13）

其中to是使滤波器物理可实现所附加的时延。理论分析时，可令to＝0，重写式（3-13），

h(t)?s*(?t) （3-14）

将式（3-10）代入式（3-13）得：

t?j?Kt2j2?fcte h(t)?rect()e（3-15）

T

S(t)匹配滤波h(t)So(t)

图3-7 LFM信号的匹配滤波

如图3-7，s(t)经过系统h(t)得输出信号so(t)

so(t)?s(t)?h(t)????????????????????

????s(u)h(t?u)du???h(u)s(t?u)du???（3-16）

???e?j?Ku2uj2?fcuj?K(t?u)2t?uj2?fc(t?u)rect()e?erect()edu?TT

当0?t?T时，

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T2s0(t)?t?T2?ej?Kte?j2?Ktudue?j2?KtuT2?ej2?fct?j2?Ktt?T22?????????ej?Kt2（3-17）

sin?K(T?t)tj2?fct?????????e?Kt

当?T?t?0时，

t?T2

s0(t)??T2?ej?Kt2?j2?Ktuedu?????????ej?Kt2e?j2?Ktut?T2j2?fct?eT?j2?Kt?2（3-18）

sin?K(T?t)tj2?fct?????????e?Kt

合并式（3-17）和式（3-18）可得：

tsin?KT(1?)tTrect(t)ej2?fcts0(t)?T（3-19）

?KTt2T

式（3-19）即为LFM脉冲信号经匹配滤波器得输出，它是一固定载频fc的信号，这是因为压缩网络的频谱特性与发射信号频谱实现了“相位共轭匹配”，消除了色散；当t?T时，包络近似为辛克（sinc）函数。

ttS0(t)?TSa(?KTt)rect()?TSa(?Bt)rect()

2T2T图3-8 匹配滤波的输出信号

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如图3-8，当?Bt???时，t??t??1?为其第一零点坐标；当?Bt??时，B21，习惯上，将此时的脉冲宽度定义为压缩脉冲宽度。 2B ??11?2? （3-20） 2BBLFM信号的压缩前脉冲宽度T和压缩后的脉冲宽度?之比通常称为压缩比D。

D?T?TB?1 （3-21） ?式（3-21）表明，压缩比也就是LFM信号的时宽-带宽积。

线性调频信号的频域脉冲压缩过程如图3-9所示。

I/Q信号A/DFFTIFFT匹配滤波器的FFT检测器

图3-9 线性调频信号脉冲压缩过程

对波形参数脉冲宽度T=10?s，信号带宽B=20Mhz，距离范围为15Km~20Km的某一个雷达系统进行仿真，单chirp信号仿真所得结果如图3-10和图3-11所示，多chirp信号仿真所得结果如图3-12和图3-13所示。

图3-10 Chirp信号的匹配滤波

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图3-11 放大后chirp信号的匹配滤波

图3-10和图3-11中，时间轴进行了归一化，（t/(1/B)?t?B）。图中反映出理论与仿真结果吻合良好。第一零点出现在?1（即?-13.4dB。压缩后的脉冲宽度近似为

1）处，此时相对幅度B11（?），此时相对幅度-4dB，这与理论B2B分析一致。如果输入脉冲幅度为1，且匹配滤波器在通带内传输系数为1，则

输出脉冲幅度为kT2?TB?D，即输出脉冲峰值功率Po比输入脉冲峰值功率P增大了D倍。

图3-12 压缩前的线性调频信号

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图3-13 压缩后的线性调频信号

仿真表明，线性调频信号经匹配滤波器后脉冲宽度被大大压缩，信噪比得到了显著提高。

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第4章 合成孔径雷达成像

4.1 合成孔径雷达（SAR）简介

雷达成像技术是现代探测科学领域的一项突破性成就。它的出现扩展了传统雷达的概念，使其具有对运动目标（飞机、导弹等）、区域目标（地面等）进行成像和识别的能力，并在微波遥感应用方面表现出越来越大的潜力，为人们提供越来越多的有用信息。雷达成像技术对国防技术现代化和国民经济建设具有重大意义，因此越来越受到国际上技术先进国家的重视，是竞争激烈、发展迅速的技术领域。现在不仅有各种实孔径成像雷达，而且有各种机载和星载用于不同用途的合成孔径雷达[11]。

合成孔径雷达（Synthetic Aperture Radar，简称SAR）是主动式微波成像雷达，是利用信号处理技术（合成孔径和脉冲压缩）以小的真实孔径天线达到高分辨率成像的雷达系统。

合成孔径雷达有以下几种分类方式：

（1）根据雷达载体的不同，合成孔径雷达可分为星载SAR、机载SAR和无人机载SAR等类型；

（2）根据SAR工作方式的不同，可以分为条带模式、聚束模式、扫描模式等。条带模式时，雷达波束的照射范围为一与雷达飞行方向平行的带状区域；聚束模式工作时，雷达波束指向可以不断变化，可以在很长的时间内始终照射同一区域；扫描模式工作时雷达波束能够迅速地在数个子观测带之间转换；

（3）根据雷达波束指向和雷达运动方向夹角的不同，可将SAR分为正侧视模式、斜视模式、前规模式等。正侧视时，雷达波束指向和雷达的运动方向垂直；其他方式时，二者均有一个小于90°的夹角；

（4）按照信号处理方式划分，SAR系统又可分为聚焦和非聚焦两种。聚焦合成孔径是以目标散射点为圆心，观测距离为半径的圆弧，圆弧上任一点接收到的回波信号都是同相的，经叠加后可获得高分辨率。但是因为实际雷达飞行路线是直线而不是圆弧，所以成像处理时应该将直线孔径上各点与圆弧孔径之间的相位差补偿掉，通常将含有这种补偿的成像处理叫做聚焦处理，否则就称为非聚焦处理，显然，聚焦处理要比非聚焦处理的分辨率高得多。

合成孔径雷达的信号处理采用数字处理方式，采集到的原始数据为一个二

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维数组。因为雷达一面匀速运动，一面以一定的脉冲重复频率（PRF）发射并接收线性调频的脉冲信号，处理器要对接收到的每一个脉冲信号进行采样，并一排排地存储起来，这样就形成了一个二维数组，数组每一行的数据为发射的线性调频脉冲的各个采样点的值，每一列的数据为雷达在不同的空间位置处接收到的线性调频脉冲的相应的采样点值。这样，二维数组的行方向就为距离向，列方向就为方位向。

SAR发射的电磁波有多种极化方式，如发射接收都采用水平极化（HH）方式，发射接收都采用垂直极化（VV）方式，及发射为水平极化接收为垂直极化（HV）方式、发射为垂直极化接收为水平极化（VH）的交叉极化方式等。很明显，采用多频段、多极化工作的SAR系统将有更好的成像质量和目标分辨能力。

合成孔径雷达具有如下几个特点： （1）二维高分辨率。

（2）分辨率与波长、载体的飞行高度与雷达的作用距离无关。

（3）强透射性，不受气候、昼夜等因素的影响，具有全天候成像的有点，如果选择合适的雷达波长，还能够透过一定的遮蔽物。

（4）包括多种散射信息，不同的目标，对微波的不同频率、入射角及极化方式将呈现不同的散射特性和不同的穿透力，这一性质为目标分类及识别提供了极为有效的新途径。

（5）多功能多用途：例如采用并行轨道或者一定基线长度的双天线，可以获得包括地面高度信息在内的三维高分辨率图像。

（6）多极性，多波段，多工作模式。

（7）实现合成孔径原理，需要复杂的信号处理过程和设备。

（8）与一般相干成像类似，SAR图像具有相干斑效应，影响图像质量，需要用多视平滑技术减轻其有害影响。

合成孔径雷达的全天候全天时工作能力以及它在不同频段、不同极化下的高分辨率成像能力，可以为人们提供各种非常有价值的信息，广泛应用于各个领域。在地质和矿产资源勘探方面，合成孔径雷达可以用来普查地质结构，研究地质分布、矿物分布等。在地形测绘和制图学方面，可以用来进行大面积地形测绘。在海洋应用方面，可以用来研究大面积海浪特性、冰山分布、海洋污

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染等。在农业和林业应用方面，可以用作农作物鉴定和研究植被分布等。在军事领域中，可用作全天候全球战略侦察、全天候重点战区军事监视、隐藏目标散射特性的静态动态测量等[12]。

合成孔径雷达的特性可以归结为由于方位向信号回波的多普勒频率随着运动平台移动而发生线性变化。对这一线性变化的频率进行脉冲压缩，可以获得方位向高分辨率，这就是合成孔径雷达高分辨率成像的基本原理。合成孔径雷达成像的过程是一个二维解卷积的过程，在进行距离徙动的校正后，可以使得方位维和距离维解耦合，二维处理就可以分解成两个一维处理，从而使成像变得简单。

由于合成孔径雷达目标场景通常比较复杂，如何进一步改善合成孔径雷达图像的分辨率是合成孔径雷达技术的一个发展热点。基于正则化的图像重构算法已成功用于合成孔径雷达超分辨成像领域，为压缩感知在SAR中的应用提供了参考基础。目前，压缩感知在合成孔径雷达中的应用主要有三个方面：一是常规合成孔径雷达，减少发射/接收脉冲数，不改变硬件；二是多站合成孔径雷达，进一步减少数据获取时间；三是大视角合成孔径雷达，克服目标的各向异性散射行为和散射中心迁移现象。

4.3 SAR系统点目标回波模型

机载SAR与地面目标的几何关系如图4-1所示，x为载机飞行方向，P为雷达照射点目标。

zt?0数据采集平面v?Rr(t)R0xP(x0,y0,z0)Ohy

图4-1 SAR与地面点目标的几何关系图

回波信号的数学模型是SAR成像算法研究的基础。我们假设SAR发射的

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是具有大的时间-带宽乘积的线性调频信号，则其点目标的回波信号经采样后可表达为：

So(?,?)?Ao?r(??2R(?)/c)?a(???c)exp{?j4?f0R(?)/c}exp{j?Kr(??2R(?)/c)2} （4-1）

式（4-1）中，?r为天线的方位向加权函数，Ao为发射信号幅度，Kr是发射信号的线性调频率，?和?分别是方位向和距离向的时间变量。R(?)为雷达到目标的时变距离。第一个指数项是距离延迟引起的向位移；第二个指数项是发射信号包络的相位，两者均受距离延迟的影响。可以看出，载机与目标间的相对运动不仅提供了用于合成孔径处理的相位信息，也使回波包络在距离向时间轴上产生不同的延迟，造成所谓的距离徙动，使SAR系统的点目标响应在方位向时间t和距离向时间r之间相互耦合，不能分解开来，而且该响应还与目标的距离r有关，从而成为具有空间移变的特点[13]。

式（4-1）中，

2R(?)?Ro?Vr2?2

Vr2?2?Ro?2Ro （4-2）

将式（4-2）代入式（4-1）可以推导出方位向调频斜率

2V?2f0 Ka? （4-3）

cR0距离向调频斜率

Kr?B （4-4） T对回波信号进行成像的流程图如图4-2所示，其中方位向的匹配滤波因子和距离向的匹配滤波因子分别为

Ha?exp(?j?Fa/Ka) （4-5）

2Hr?exp(j?Fr2/Kr) （4-6）

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回波信号距离向傅里叶变换距离向匹配滤波距离向傅里叶逆变换方位向傅里叶变换方位向匹配滤波方位向傅里叶逆变换

SAR成像 图4-2 SAR成像流程图

4.4 基于传统脉冲压缩的SAR成像

合成孔径雷达距离向的高分辨率特性是通过发射大时间带宽积的线性调频信号，在接收时采用脉冲压缩技术获得的；方位向的高分辨率是通过雷达与目标之间的相对运动获得的。于是我们就可以证明，雷达的方位向回波信号近似为一个线性调频的信号，这样，我们就可以通过脉冲压缩的方法来实现方位向的高分辨率成像。

实际接收到的回波信号包含两种时间概念，一种是包含在信号复振幅中的时间，反应信号本身变化，称为“快”变化时间；另一种是包含在信号延迟中的时间，反应雷达平台运动引起的位置变化，因为雷达位置的变化在信号的持续时间内是非常小的，所以称为“慢”变化时间。“快”变化时间是脉冲内的时间变化，是距离维信号，随“快”变化时间而变的信号决定了雷达的距离向分辨特性；“慢”变化时间是脉冲间的时间变化，是方位维信号，随“慢”变化时间而变的雷达平台的运动决定了雷达的方位向分辨特性，二者可以分开处

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理[14]。

同时可以说明的是，脉冲压缩的过程就是一个匹配滤波的过程，于是传统的基于脉冲压缩思想的合成孔径雷达成像仿真就可以根据SAR回波信号模型生成点目标回波数据，构建匹配滤波。而回波信号通过匹配滤波器，在时域上是信号卷积，频域上是频谱相乘。所以可以分别从这两方面来实现脉冲压缩处理。

由于合成孔径雷达中的匹配滤波器一般比较长，所以并不是通过时域中的线性卷积来实现，而是在频域中实现。

频域匹配滤波器的生成方法一般有如下3种：

1、将时间反褶后的复制脉冲（发射复制脉冲）取复共轭，计算补零DFT。 2、复制脉冲补零后进行DFT，对结果取复共轭（无时间反褶）。 3、根据设定的线性调频特性，直接在频域生成匹配滤波器。

前两种方式中的复制信号在进行FFT前要补零至选定的长度。由于弃置区等于复制信号长（减1），为了进行有效的处理，FFT的长度应数倍于信号长度。

不同滤波器中弃置区的位置是不同的。如果在复制信号序列的末端补零，则循环卷积中的弃置区或位于IDFT输出序列的起始（方式1），或位于IDFT输出序列的结束（方式2）。将匹配滤波弃置区置于IDFT输出序列的结束处是比较方便的，所以有时更倾向于选择方式2。方式3中的弃置区则被分置于IDFT输出序列的两侧。在这里，我们将选择方式2来构造匹配滤波器。

所得仿真结果如图4-3和图4-4所示。

图4-3 回波信号

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图4-4 成像结果

4.5 基于压缩感知的SAR成像

SAR成像是利用雷达观测系统接收到的目标回波信号获得目标电磁散射特性的空间分布，或者说是根据观测系统模型从回波信号中获取信号的驱动源，本质上就是一个信号表示问题。利用压缩感知来研究雷达成像问题，一方面可望减少提取目标脉冲响应和刻画目标散射机制所需的测量数，生成高分辨雷达图像；另一方面，也可用于雷达图像的后处理，减少斑点噪声，实现特征增强，从而有利于图像分析和目标识别[15]。 4.5.1 引言

传统成像雷达通常采用匹配滤波实现脉冲压缩，匹配滤波使得高斯白噪声条件下的输出信噪比最大化，但相对高的旁瓣通常妨碍了邻近目标的分辨，且在接收端需要一个高速A/D转换器。因此，匹配滤波器的取消将直接影响A/D转换，有望降低整个数据率并简化硬件设计。压缩感知思想为取消雷达接收端的匹配滤波器、降低接收机必需的A/D转换带宽提供了契机。R.Baraniuk等人正是基于此率先研究了基于压缩感知理论的新兴雷达系统设计问题，并据此申请了专利。所提雷达系统的发射机同传统雷达，接收端由一个低速率A/D转换器组成，目的是将雷达系统中昂贵的接收机硬件设计转移到灵活的信号恢复算法研究上。M.Herman等人通过数值模拟研究了基于压缩感知理论的高分辨雷达，从另一个角度验证了取消匹配滤波器的作用。把场景对发射信号的作用建模为一个广义线性算子，然后将该算子分解成时延和多普勒移位的组合，采

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用压缩感知方法重构目标距离-多普勒分布图。所提方法克服了传统雷达模糊函数和时频不确定原理对目标间距离-速度分辨的限制，为利用单个发射脉冲同时获得目标距离和多普勒超分辨提供了可能，可有效用于MTI。当然，这种体制的雷达依赖于时频移位基的不相干性。图4-5给出了压缩感知成像方法（上）和传统成像方法（下）的简要流程。

雷达回波压缩测量非线性重构压缩感知方法生成雷达图像测量模型稀疏模型传统成像方法生成雷达图像雷达回波Nyquist测量匹配滤波 图4-5 传统成像方法和压缩感知方法流程比较

对应于压缩感知的三要素，将压缩感知用于雷达成像的三个关键点是：分析雷达回波数据，建立信号的稀疏模型；构造非相干测量矩阵，确定合理的观测模型；利用压缩采样结果，设计有效稳健的重构算法。由此可挖掘压缩感知理论在雷达成像处理中面临的一些亟待解决的基础性问题。 4.5.2 雷达回波的稀疏表示

稀疏性是信号复杂度的本质度量，待处理信号在某个基上可稀疏表示是压缩感知理论应用的前提。合理地选择稀疏基，使得信号的稀疏系数个数尽可能少，不仅有利于提高信号获取速度，而且有利于减少存储、传输信号所占用的资源。因此，压缩感知应用于雷达成像的关键基础问题是对雷达回波数据的稀疏性进行分析，揭示目标区域稀疏性与相应雷达回波稀疏性的内在联系，分析稀疏性的形成机理，从而建立雷达回波信号稀疏化的数学模型。

作为被观测场景的不同观测数据集，雷达回波原始数据经一定成像处理的数据都具有在某个变换域稀疏化表征的可能性。比如，常见的地基雷达对飞机的探测，可看成是对多个点目标的探测，待测量是时间稀疏信号；机载或星载雷达对地面的探测，可看成是对连续光滑目标或分段光滑目标的探测，待测量在频域或小波变换域是稀疏的；对动态目标的探测，被测信号在时频域或模糊

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mFrFT=A1*WN*A2;

%% 对角阵乘在某矩阵右侧是对该矩阵列进行乘，对角阵乘在某矩阵左侧是对该矩阵行进行乘

4、New.m

T=10e-6; %脉冲宽度 B=20e6; T1=1.2; f0=9.4e9;

PRF=600; %方位采样率

V=200; %飞行速度

Rmin=18200;Rmax=21800; %最远距离与最近距离 R=20000;

RCS=1;

C=3e8; Kr=B/T;

Ka=2*V.^2*f0/(C*R);%(5.3) %调频斜率

Na=T1*PRF; Rwid=Rmax-Rmin; Twid=2*Rwid/C; Fs=2*B;Ts=1/Fs; Nwid=fix(Twid/Ts); t=[2*Rmin/C:Ts:2*Rmax/C-Ts]; U=[-T1/2:1/PRF:T1/2-1/PRF]; u=U';

Ru=sqrt((R.^2)+(V.^2).*(u.^2)); %相对于最近点位置的方位时间 td=t-2*R/C*ones(1,Nwid);

Sr=RCS*(exp(j*pi*Kr*td.^2).*(abs(td)

Secho=Sa*Sr; %回波信号

3

大学本科生毕业设计（译文）

%% 1. 时域测试信号生成 Ky=1; % 稀疏度 Ny=Nwid; % 信号长度

My=0.5*Ny; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)

%% 2. 时域信号压缩感知

Phi=randn(My,Ny); (高斯分布白噪声)

s=Phi*Secho.'; % 获得线性测量

%% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是题) (m>=K)

% afe=acot(-2*pi*Kr);

% Psi=FRFT1(afe,1/Fs,Nwid);%分数阶稀疏基 N=T*Fs;

tm=linspace(-T/2,T/2,N); xx=(exp(j*pi*Kr*(tm).^2));

Psi=fftshift(Cirpipei(xx,Nwid),2);%匹配 稀疏基 % plot(abs(Psi*Sr.'))

Ty=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)

%%距离向用CS进行脉冲压缩 for i1=1:Na

hat_y(i1,:)=omp(s(:,i1),Ty,Ky,0); end

% hat_x=real(Psi'*hat_y.'); figure;

4

% 测量矩阵L_1范数最优化问 % 算法迭代次数 大学本科生毕业设计（译文）

imagesc(abs(hat_y)); title('距离向压缩结果');

% v=Psi*Secho.';%距离向用匹配滤波脉冲压缩 % v=v.';

%%方位向用匹配滤波进行脉冲压缩 Fa=[-PRF/2:PRF/Na:PRF/2-PRF/Na]; Ha=exp(-j*pi*(Fa.^2)/Ka);

ss=fftshift(fft(v)); for i2=1:Nwid

res(:,i2)=ss(:,i2).*(Ha.'); end; S=ifft(res); figure

imagesc(abs(S));

5、omp.m: % OMP的函数

% s-测量；T-观测矩阵；N-向量大小function CS_OMP=omp(s,T,K,delta)

[M,N]=size(T); CS_OMP=zeros(1,N); 谱域(变换域)向量 Aug_t=[]; 始值为空矩阵)

r_n=s;

5

% 观测矩阵大小 % 待重构的 % 增量矩阵(初 % 残差值 大学本科生毕业设计（译文）

for times=1:K; % 迭代次数(稀疏度是测量的1/4)

for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量

product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值) end

[val,pos]=max(product); 应的位置

Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; T(:,pos)=zeros(M,1); （实质上应该去掉，为了简单我把它置零）

aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; 最小

%[Q,R]=qr(Aug_t); %aug_y=R\\(Q\\s);

r_n=s-Aug_t*aug_y; pos_array(times)=pos; 系数的位置

if (norm(r_n)

CS_OMP(pos_array)=aug_y;

6、Untitledbise.m: clear all clc close all

6

% 最大投影系数对 % 矩阵扩充 % 选中的列置零% 最小二乘,使残差 % 残差

% 纪录最大投影 % 残差足够小 % 重构的向量 大学本科生毕业设计（译文）

T=10e-6; %脉冲宽度 B=20e6; T1=1.2; f0=9.4e9;

PRF=600; %方位采样率

V=200; %飞行速度

Rmin=18200;Rmax=21800; %最远距离与最近距离 R=20000;

RCS=1;

C=3e8; Kr=B/T;

Ka=2*V.^2*f0/(C*R);%(5.3) %调频斜率

Na=T1*PRF; Rwid=Rmax-Rmin; Twid=2*Rwid/C; Fs=2*B;Ts=1/Fs; Nwid=fix(Twid/Ts); t=[2*Rmin/C:Ts:2*Rmax/C-Ts]; U=[-2:1/PRF:2-1/PRF]; u=U';

Ru=sqrt((R.^2)+(V.^2).*(u.^2)); %相对于最近点位置的方位时间 td=t-2*R/C*ones(1,Nwid);

Sr=RCS*(exp(j*pi*Kr*td.^2).*(abs(td)

Secho=Sa*Sr; %回波信号 %

%% 1. 时域测试信号生成 Ky=1; % 稀疏度 Ny=Nwid; % 信号长度

My=0.5*Ny; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)

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