2015年浙江温州市高三第二次适应性测试数学(文)

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2015年浙江温州市高三第二次适应性测试数学(文)

一、选择题(共8小题;共40分)

1. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是______

A. ??=??? A. 向右平移 个单位

2π2

B. ??=2??

C. ??=log2??

π2

D. ??=2??

2. 要得到函数 ??=sin?? 的图象,只需将函数 ??=cos?? 的图象______

B. 向左平移 个单位 D. 向左平移 π 个单位

B. 任意的 ??∈??,都有 ??2<0 成立 D. 存在 ??0∈??,使得 ??2<0 成立

C. 向右平移 π 个单位

A. 任意的 ??∈??,都有 ??2≤0 成立 C. 存在 ??0∈??,使得 ??2≤0 成立

3. 命题“任意的 ??∈??,都有 ??2≥0 成立”的否定是 ??

2??+??+2≥0

4. 若实数 ??,?? 满足不等式组 ??+???1≤0,则 ??=???2?? 的最小值等于 ??

??≥0

A. 1

B. 2

C. ?1

D. ?2

5. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是______

A. 18π?20 cm3 C. 18π?28 cm3

??2

??2

B. 24π?20 cm3 D. 24π?28 cm3

6. 已知双曲线 ??2???2=1 的渐近线与圆 ??2+ ???2 2=1 相交,则该双曲线的离心率的取值范围是______

A. 3,+∞

B. 1, 3

C. 2,+∞

D. 1,2

??≤0 2??

7. 已知 ????= ,则方程 ?? ?? ?? =2 的根的个数是 ??

∣log2??∣ ??>0

A. 3 个

B. 4 个

C. 5 个

D. 6 个

=5,则 △?????? 的形状是 8. 在 △?????? 中,????=5,??,?? 分别为 △?????? 的重心和外心,且 ????????? ??

A. 锐角三角形 C. 直角三角形

B. 钝角三角形

D. 上述三种情况都有可能

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二、填空题(共7小题;共35分)

9. 集合 ??= 0,∣??∣ ,??= 1,0,?1 , 若 ????? , 则 ??∩??= ______;??∪??= ______;?????=

______.

10. 设两直线 ??1: 3+?? ??+4??=5?3?? 与 ??2:2??+ 5+?? ??=8,若 ??1∥??2,则 ??= ______;若

??1⊥??2,则 ??= ______.

11. 设等差数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????,若 ??3=2,??9=12,则数列 ???? 的公差 ??= ______,??12=

______.

= 3,?1 ,则 ∣???? ????? + ∣= ______;???? = 12. 已知 ???????????? 为正六边形,若向量 ????????

______(用坐标表示).

13. 若椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 经过点 ?? 0, 3 ,且椭圆的长轴长是焦距的两倍,则 ??=

______.

14. 若实数 ??,?? 满足 ??2+??+??2+??=0,则 ??+?? 的范围是______.

15. 如图所示的一块长方体木料中,已知 ????=????=2,????1=1 设 ?? 为线段 ???? 上一点,则该长方

体中经过点 ??1,??,?? 的截面面积的最小值为______.

??2

??2

三、解答题(共5小题;共65分) 16. 已知函数 ?? ?? =sin2???2sin2??.

(1)求函数 ?? ?? 的最小正周期;

(2)求函数 ?? ?? 在 ?4,

π3π

8

上的值域.

17. 已知数列 ???? 满足 ??1=1,且 ????+1=2????+3 ??∈??? .

(1)设 ????=????+3 ??∈??? ,求证 ???? 是等比数列; (2)求数列 ???? 的前 ?? 项和 ????.

18. 如图所示,在三棱锥 ????????? 中,????=????=????=1,????= 3,平面??????⊥平面??????,

∠??????=90°.

(1)求证:????⊥平面??????;

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(2)求直线 ???? 与平面 ?????? 所成角的正弦值.

19. 如图所示,抛物线 ??:??2=2???? ??>0 与直线 ????:??=??+?? 相切于点 ??.

21

(1)求 ??,?? 满足的关系式,并用 ?? 表示点 ?? 的坐标;

(2)设 ?? 是抛物线的焦点,若以 ?? 为直角顶角的 Rt△?????? 的面积等于 25,求抛物线 ?? 的标准

方程.

20. 已知函数 ?? ?? =??2+ ???4 ??+3???.

(1)若 ?? ?? 在区间 0,1 上不单调,求 ?? 的取值范围;

(2)若对于任意的 ??∈ 0,4 ,存在 ??0∈ 0,2 ,使得 ∣?? ??0 ∣≥??,求 ?? 的取值范围.

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答案

第一部分 1. B 6. C

2. A 7. C

3. D 8. B

4. D

5. D

第二部分

9. 0,1 ; 1,0,?1 ; ?1 10. ?7;?3 11. 9,20

12. 2 3; 2 3,?2 13. 2

14. ?2,0 15. 第三部分

16. (1) ?? ?? =sin2??? 1?cos2?? = 2sin 2??+4 ?1 故函数 ?? ?? 的最小正周期为 π; (2) 设 ??=2??+4,当 ??∈ ?4,

πππ

π3π

π

6 552

13

时 ?4≤??≤π. 8

π

π

又函数 ??=sin?? 在 ?4,2 上为增函数,在 2,π 上为减函数, 则当 ??=?4 时 sin?? 有最小值 ?故 ??=?? ?? 在 ?,

4π3π

8

π

2;当 ??2

=2 时 sin?? 有最大值 1,

π

上的值域为 ?2, 2?1

17. (1) 由已知得 ????+1+3=2 ????+3 , 则 ????+1=3????,

又 ??1=4,则 ???? 是以 4 为首项、 2 为公比的等比数列 (2) 由(1)得 ????=4?2???1=2??+1,则 ????=2??+1?3 ????=2?3+2?3+?+2

2

3

??+1

?3=

4 1?2?? 1?2

?3??=2??+2?3???4.

18. (1) 过 ?? 作 ????⊥???? 于 ??.

??????⊥平面??????,平面??????∩平面??????=????, 所以 ????⊥平面?????? 所以 ????⊥????.

又因为 ????⊥????,????∩????=??, 所以 ????⊥平面??????.

(2) 方法一:因为 ????⊥平面??????,连接 ????, 则 ∠?????? 为求直线 ???? 与平面 ?????? 所成角. 因为 ????=????=1,????= 3,

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所以 ∠??????=120°.又因为 ????⊥????, 所以 ????=2,又因为 ????= 2, 所以 sin∠??????=????=

????

2. 4

24

1

所以直线 ???? 与平面 ?????? 所成角的正弦值等于 .

方法二:设直线 ???? 与平面 ?????? 所成角为 ??,?? 到平面 ?????? 的距离为 ??, 因为 ????=????=1,????= 3, 所以 ∠??????=120°.

所以 ??△??????=2??????????sin∠??????=

??

1

3,??△??????4

1

3 2

12

=2?????????=

13

13

因为 ???????????=???????????,????⊥平面??????,所以 ??△?????????=??△???????????,所以 ??=. 又因为 ????= 2,所以 sin??=????=19. (1) 联立方程组

??2=2????,

1

2. 4

消元得:??2?4????+4????=0,①

??=2??+??,

12

因为抛物线 ??:??2=2???? ??>0 与直线 ????:??=??+?? 相切于点 ?? 相切,所以 ??=16??2?16????=0 得:??=??,②

将 ② 代入 ① 式得:??2?4????+4??2=0 解得 ????=2??,????=2?? 所以 ?? 2??,2?? .

(2) ?? 2,0 ,所以 ??????=

3

??

??2???

2

2??

=3.因为 ????⊥????,所以 ??????=?4,

??

3

3??8

43

所以直线 ???? 的方程为 ??=? ??? =???+

424

.由
\\(\\[\\begin{cases}y=\\dfrac 3 4

x+\\dfrac{3p}{8 },\\\\y=\\dfrac 1 2 x+p,\\end{cases}\\Rightarrow\\begin{cases}x=-\\dfrac p 2,

??5??

\\\\y=\\dfrac{3p}{4 },\\end{cases} \\]\\)
即 ?? ?2,4 , 所以 ∣????∣= 2???2 +4??2=2,

??3??

2∣????∣= ?? +??2=??,

22164所以 ??△??????=∣????∣∣????∣=

21

2516

2

??

??295

??2=25 解得 ??=4,

???42

???42

所以抛物线 ?? 的标准方程为 ??=8??. 20. (1) 因为 ?? ?? 的对称轴为 ??=? (2) 方法一: (1)当 0<

4???2

,所以 0

4???2

<1,所以 2

≤1 时,即 2≤??<4 时,?? ≤?? ?? ≤?? 2 ,

2

???2 ∣∣= ∣4422

∣4???∣???+8???8? ???4 +8

∣==>0 ∣?? 2 ∣?∣??

∣2∣44所以 ∣?? ?? ∣max=???1

4???∣???∣??=∣ ∣?? 2 ∣=∣???1∣=???1,∣∣∣2∣

2+4???4

(2)当 1<

4???2

<2 时,即 0

???2 24???∣???2+4???4∣∣??=∣∣= ∣?? 0 ∣=∣3???∣=3???,∣∣∣∣2∣44

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4???∣8???

∣?? 0 ∣?∣∣?? 2 ∣=4>0,∣?? ?? ∣max=3???,

2

???1,2≤??<4综上,∣?? ?? ∣max= ,

3???,0

故 ∣?? ?? ∣max≥1,所以 ??≤1

方法二:
\\(\\[\\begin{split}|f\\left(x \\right)| &= \\left| {{{\\left({x - 1} \\right)}^2} + \\left({a - 2} \\right)\\left({x - 1} \\right)} \\right|\\\\& \\leqslant {\\left({x - 1} \\right)^2} + \\left| {\\left({a - 2} \\right)\\left({x - 1} \\right)} \\right|\\\\&

\\leqslant 1 + \\left| {a - 2} \\right|,\\end{split}\\]\\)
等号当且仅当 ??=0 或 2 时成立, 又 1+∣???2∣ min=1,所以 ??≤1

方法三:∣?? ?? ∣=∣ ???1 + ???2 ???1 ∣=∣???1∣∣??+???3∣ 因为 ∣??0?1∣≤1,∣??0+???3∣≤max ∣???1∣,∣3???∣

且上述两个不等式的等号均为 ??=0 或 2 时取到,故

???1,2≤??<4∣?? ?? ∣max=

3???,0

故 ∣?? ?? ∣max≥1,所以 ??≤1.

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4???∣8???

∣?? 0 ∣?∣∣?? 2 ∣=4>0,∣?? ?? ∣max=3???,

2

???1,2≤??<4综上,∣?? ?? ∣max= ,

3???,0

故 ∣?? ?? ∣max≥1,所以 ??≤1

方法二:
\\(\\[\\begin{split}|f\\left(x \\right)| &= \\left| {{{\\left({x - 1} \\right)}^2} + \\left({a - 2} \\right)\\left({x - 1} \\right)} \\right|\\\\& \\leqslant {\\left({x - 1} \\right)^2} + \\left| {\\left({a - 2} \\right)\\left({x - 1} \\right)} \\right|\\\\&

\\leqslant 1 + \\left| {a - 2} \\right|,\\end{split}\\]\\)
等号当且仅当 ??=0 或 2 时成立, 又 1+∣???2∣ min=1,所以 ??≤1

方法三:∣?? ?? ∣=∣ ???1 + ???2 ???1 ∣=∣???1∣∣??+???3∣ 因为 ∣??0?1∣≤1,∣??0+???3∣≤max ∣???1∣,∣3???∣

且上述两个不等式的等号均为 ??=0 或 2 时取到,故

???1,2≤??<4∣?? ?? ∣max=

3???,0

故 ∣?? ?? ∣max≥1,所以 ??≤1.

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