概率答案

第一章

习题1.1（P6）

1、写出下列随机试验的样本空间

（1）同时抛掷三枚骰子，记录三颗骰子点数之和

{3,4,5,6,7,….16,17,18}

（2）单位圆内任取一点，记录其坐标

{(x,y)| x2+y2＜1}

（3）生产新产品直至有10件合格品为止，记录生产的总件数

{x|x≥10且x∈N}

3、一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示第i次射击时击中目标（i=1,2,3）。试用文字叙述下列事件：

（1）A1∪A2=“前两次至少有一次击中目标”; （2）A2=“第二次未击中目标”; （3）A1A2A3=“前三次均击中目标”;

（4）A1?A2?A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”; （5）A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”; （6）A3A2=“第三次击中但第二次未击中”; （7）A1?A2=“前两次均未击中”; （8）A1A2=“前两次均未击中”;

（9）(A1A2)?(A2A3)?(A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”. 4、 设A,B,C表示三个事件，利用A,B,C表示下列事件。

（1）A发生，B,C都不发生

ABC

（2）A,B发生，C不发生

ABC

（3）三个事件，A,B,C均发生

ABC

（4）三个事件，A,B,C至少有一个发生

A∪B∪C

（5）三个事件，A,B,C都不发生

ABC

（6）三个事件中不多于一个事件发生

AB?BC?AC

（7）三个事件中不多于两个事件发生

A?B?C

（8）三个事件中至少有两个发生

AB+AC+BC

习题1.2（P11）

6、一口袋中有5个白球，3个黑球。求从中任取两只球为颜色不同的球的概率。

设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:

P(A)=C5C3/C8?15/28112

7、一批产品由37件正品，3件次品组成，从中任取3件，求

(1)3件中恰有意见次品的概率

组成实验的样本点总数为C40,组成事件(1)所包含的样本点数为

C3C37123,所以

C3?C37C34012P1=

?0.2022

(2)3件全为次品的概率

组成事件(2)所包含的样本点数为C3,所以

3P2=

C3C3340?0.0001

(3)3件全为正品的概率

组成事件(3)所包含的样本点数为C37，所以

2P3=

C37C3402?0.7864

（4）3件中至少有一件次品的概率

事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为C37，所以

3P4=1-P(A)=1-

C37C3403?0.2136

（5）3件中至少有两件次品的概率

213组成事件(5)所包含的样本点数为C3?C37?C3，所以

P5=

C3?C37?C3C403213 ?0.01134

8、从0至9这10个数字钟，不重复地任取4个，求

（1）能组成一个4位奇数的概率； （2）能组成一个4位偶数的概率。

设A=“4位奇数” B=“4位偶数”

由于“0”不能作为首位数，首先考虑首位和末位数

P(A)=(A41A 51A82+ A51A41A82) ／A104=（8×7×20×2）／5040=4/9

P(B)=(A41A 41A82+ A51A51A82) ／A104=(8×7×(16+25))／5040=41/90

9、从1,2，…，10个数字钟任取一个，每个数字以1/10的概率被选中，然后还原。先后选择7个数字。求下列事件的概率。 （1）A=“7个数字全不相同”

P（A）=

P101077

(2)B=“不含10与1”

因为不含1和10，所以只有2-9八个数字，所以

877P(B)=

10

（3）C=“10刚好出现2次”

即选择的7个数字中10出现2次，即所以

C72，其他9个数字出现5次，即9，

5P(C)=

C7?910725

（4）D=“至少出现两次10”

解法1：10可以出现2，3，?,7次，所以

7?P(D)=i?2C79107i7?i

5解法2：其对立事件为10出现1次或0次，则

P(D)=

C2C7?410712

(5)E=“7个数字中最大为7，最小为2且2与7只出现一次”

因为最大为7，最小为2，且2和7只出现一次，所以3，4，5，6这四个数要出现5次，即样本点数为C2C7?4，所以

125P(E)=

C2C7?4107125

10、从[0,1]中任取两数，求 （1）两数之和大于1/2的概率； （2）两数之积小于1/e的概率。

设两数分别为x,y，则x∈[0,1],y∈[0,1]。

（1）作出x=1；y=1；x+y=1/2的图像。P(两数之和大于1/2)=1－(1/2

×1/2×1/2) ／1=7/8

（2）作出x=1，y=1，xy,=1/e的图像；图像的交点为（1/e,1），（1,1/e）

则P(两数之积小于1/e)=（1×1/e+∫1/e11/exdx）／1=2/e

习题1.3（P14）

11、设A,B同时发生必然导致C的发生，则P(C) ≥P(A)+P(B)-1。

证明：∵A,B同时发生必导致C发生

∴AB?C，即P(C)≥P(AB) ∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) ∴P(AB)= P(A)+P(B)- P(A∪B) ∵P(A∪B)≤1 ∴P(AB)≥P(A)+P(B)-1 ∴P(C) ≥P(A)+P(B)-1 上述得证。

12、设P(A)=P(B)=1/2，试证明：P(AB)= P(AB)。

——

证明：

因为P(AB) = P(AUB) = 1 – P(A?B) = 1 – P(A) – P(B) +P(AB)

——

——————

因为P(A) = P(B) =1/2

所以P(AB) = 1 – 1/2 – 1/2 + P(AB) 所以P(AB) = P(AB)

13、已知P(A)=0.4，P(B)=0.2，若 （1）A,B互不相容；（2）B包含于A

解：（1）P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6

——

——

P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0=0.4

（2）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+02-0.2=0.4

P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0.2=0.2

14、某城市有40%的住户订日报，65%的住户订晚报，70%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订两种报纸的住户的百分比。

解：记“订日报的住户”为P(A)，“订晚报的住户”为P(B)，

根据题意，易知：P(A?B)=70%

则P(AB)=P(A)+P(B)- P(A?B)=40%+65%-70%=35% 答：同时订两种报纸的住户有35%。

15、一袋中有4只白球，3只黑球，从中任取3只球，求至少有2只白球的概率。

本题在该答案上为第12题。

12.解：设“至少有两只白球”的事件为A事件，则

P(A)=C4C3?C4C37213?2235

16、设A,B,C是三个事件，且P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=1/12，且P(CA)=0求A,B,C至少有一个发生的概率。

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)

=1/2+1/3+1/4-1/12-0-1/12-0=11/12

习题1.4（P20）

17、P(A)=1/4，P(B|A)=1/3，P(A|B)，求P(A∪B)。

本题在该答案上为第14题。

14.解：?P?AB??P(A)?P(B/A)?111??4312P(B)?P?AB?P(A/B)1?12?1162141611213

????P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?19、如果P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(AB)=0.5，求

解：P(B|A?B) =P(AB)/P(A?B) 因为P(A)=1-P(A)=1-0.3=0.7，

—

—

—

—

P(B| A?B)

—

所以P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.7- P(AB)=0.5 即P(AB)=0.2

又因为P(A?B) = P(A) + P(B) - P(AB) =0.7+1-0.4-0.5= 0.8 所以P(B| A?B) = P(AB)/P(A?B) =0.25

—

—

—

—

—

—

20、一批产品共100件，其中10件为次品，每次从中任取一件不放回，求第三次才取到正品的概率。

解：设“第三次才取到正品”为事件A，则

因为要第三次才取到正品，所以前两次要取到次品。

10100 第一次取到次品的概率为

，

9 第二次取到次品的概率为 第三次取到正品的概率为

P(A)=10100?999?909899，

9098。

?0.0083 即第三次才取到正品的概率为0.0083。

21、三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4，求三人中至少有一人能将此密码译出的概率。

解法1：

设 A，B，C 分别为“第一，第二，第三个人译出”的事件，则：

P(A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4

因为三个事件独立，

所以P(AB)=P(A)P(B)=1/15, P(AC)=P(A)P(C)=1/20 ,

P(BC)=P(B)P(C)=1/12, P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,

所以

P(A?B?C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5 解法2：

设A=“至少有一人能译出”，则A=“三个人均不能译出”，所以

4233 P(A)=1-P(A)=1-??=

534522、加工一产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率为0.9、0.95、0.8，假定各工序之间是否出废品是独立的，求经过三道工序不出废品的概率。

解：设P(A),P(B),P(C)分别为第一，二，三道工序不出废品的概率,

则，第一二三道工序均不出废品的概率为P(ABC), 因为各工序是否出废品是独立的, 所以P(ABC)= P(A)P(B)P(C)

=0.9?0.95?0.8 =0.684

23、某一型号的高炮，每一门炮（发射一发炮弹）击中飞机的概率为0.6，问至少要配置多少门炮，才能以不小于0.99的概率击中来犯的敌机？

24、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每一个顾问贡献的正确意见的概率为0.7，现该机构对某事的可行性与否，个别征求各位顾问的意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。

解：根据题意: 该题为伯努利事件。

n=9,p=0.7,k=5,6,7,8,9 所求事件概率为

P=b(5,9,0.7)+b(6,9,0.7)+b(7,9,0.7)+b(8,9,0.7)+b(9,9,0.7)=0.901

习题1.5（P24）

26、设男人患色盲的概率为0.5%，而女人患色盲的概率为0.25%。若有3000个男人，2000个女人参加色盲体检，从中任选一人，求此人是色盲患者的概率。 P(此人是色盲)=

27、甲乙两个口袋中各有4只白球，3只黑球，从甲袋中任取2球放入乙袋中，再从乙袋中取出2球为白球的概率。

解：该题为全概率事件。

设Ai=“从甲袋中取出两球中有i只黑球”,i=0,1,2，

B=“从乙袋中取出2球为白球”，则：

P?A0??e4e722?27

47P?A1?=痧412713ee3e722=

?17

P?A2???321

?P?BA0??e6e9e5e92222?15361036

P?BA1???

1963P?BA2??2e42e92?636?P?B???i?0P?BAi?P?Ai??

19答：再从乙袋中取出两球为白球的概率为63。

28、对敌舰进行三次独立射击，三次击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.如果敌舰被击中的概率分别为0.2、0.6、1，求敌舰被击沉的概率。

解：该题为全概率事件。

设Ai=“敌舰被击中i弹”,（i=0,1,2,3），

B=“敌舰被击沉”，则：

根据题意P(A0)=0.6×0.5×0.3=0.09

P (A1)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36 P(A2)=0.4×0.5×0.3+0.5×0.7×0.6+0.4×0.7×0.5=0.41

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