2017-2018学年江西省九江一中高二（上）第二次月考数学试卷（理

2017-2018学年江西省九江一中高二（上）第二次月考数学试卷

（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设命题p：?x∈R，ex＞x，则?p是（ ） A．?x∈R，ex≤x B．C．?x∈R，ex＜x D．

2．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=6，S5=20，则a10=（ ） A．16 B．18 C．22 D．25

3．（5分）在等比数列{an}中，a4?a8=2，a2+a10=3，则A．2

B． C．2或 D．﹣2或

=（ ）

4．（5分）椭圆是（ ） A．

B．

C．

的一个焦点与抛物线y2=4x焦点重合，则椭圆的离心率

D．

5．（5分）已知变量x，y满足A．6

B．7

C．8

D．9

，则z=4x+y的最大值为（ ）

6．（5分）已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|=4，线段AB的中点到直线x=的距离为，则p的值为（ ） A．1

B．1或3 C．2

D．或

]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取

7．（5分）命题p：“?x0∈[0，值范围是（ ） A．a＜1

B．a＜

C．a≥1

D．a≥

8．（5分）已知椭圆

（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上

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不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

9．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的大小依次成等差数列，角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且函数f（x）=ax2+2x+c的值域是[0，+∞），则△ABC的面积是（ ） A．

B．

C．

D．

10．（5分）当0＜x＜A．2

B．

C．4

时，函数D．

的最小值为（ ）

11．（5分）半圆的直径AB=8，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（A．﹣10

B．﹣8 C．﹣6 D．﹣2

为奇函数，g（x）=ln（x2﹣b），若对?x1、x2∈R，

）

的最小值是（ ）

12．（5分）已知f（x）=

f（x1）≤g（x2）恒成立，则b的取值范围为（ ） A．（﹣∞，﹣e]

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）不等式

的解集为 ．

B．（﹣∞，0] C．[﹣e，0]

D．[﹣e，+∞）

14．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知b2=ac，a2﹣c2=ac﹣bc，则

= ．

15．（5分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=2，AC=4，BD=6，则CD的长为 ．

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16．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=∈N*），a2=6，又

+an﹣c（c是常数，n

，数列{bn}的前n项和为Tn，若2Tn＞m﹣3对n∈N*

恒成立，则正整数m的最大值是 ．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PB，O为AB中点，且PO⊥BD

（1）证明：PO⊥面ABCD；

（2）若PO=OA=2，求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．

18．（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1）， （1）证明数列{（2）设bn=

}为等差数列，并求an； ，求数列{bn}的前n项和Sn．

19．（12分）已知数列{an}满足an=3n﹣m?2n（其中m＞0且m为常数），直线l的方程为

（其中m∈R且m为常数）与圆O：x2+y2=r2（r＞0）．命题

p：数列{an}为递增数列，命题q：直线l与圆O相交． （1）若p为真，求m的取值范围；

（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求r的取值范围．

20．（12分）△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足a2﹣ab+b2=c2， （1）求角C；

（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值．

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21．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）过点p（2，1）

（1）求a2+b2的最小值，并求此时椭圆E的方程；

（2）在条件（1）下，直线l：y=kx+m（km≠0）与E交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点，原点到l的距离为d，证明：d为定值．

选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（10分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（离为2． （1）求p；

（2）若动直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=1，证明直线l过定点．

23．已知f（x）=ax2+bx+c，且f（x）＞0的解集为（﹣1，2）． （1）求不等式cx2+bx+a＜0的解集；

（2）已知函数h（x）=|f（x）|+﹣1有4个零点，求a的取值范围．

）到其焦点的距

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2017-2018学年江西省九江一中高二（上）第二次月考数

学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设命题p：?x∈R，ex＞x，则?p是（ ） A．?x∈R，ex≤x B．C．?x∈R，ex＜x D．

【分析】由全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．

【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得 命题p：?x∈R，ex＞x，则?p是 ?x0∈R，e故选：D．

【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．

2．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=6，S5=20，则a10=（ ） A．16 B．18 C．22 D．25

【分析】设等差数列{an}的公差为d，∵a4=6，S5=20，a1+3d=6，5a1+联立解得：a1，d，即可得出．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a4=6，S5=20， ∴a1+3d=6，5a1+

d=20，

d=20，

≤x0．

联立解得：a1=0，d=2， 则a10=0+9×2=18． 故选：B．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，

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属于中档题．

3．（5分）在等比数列{an}中，a4?a8=2，a2+a10=3，则A．2

B． C．2或 D．﹣2或

=（ ）

【分析】等比数列{an}的公比为q，a4?a8=2，a2+a10=3，可得a2?a10=2，解方程可得a2，a10，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值． 【解答】解：等比数列{an}的公比为q，a4?a8=2，a2+a10=3， 可得a2?a10=2，

解得a2=1，a10=2，或a2=2，a10=1， 则q8=

=2或，

可得

=q8=2或，

故选：C．

【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

4．（5分）椭圆是（ ） A．

B．

C．

D．

的一个焦点与抛物线y2=4x焦点重合，则椭圆的离心率

【分析】根据题意，求出抛物线的焦点坐标，分析可得椭圆的焦点在x轴上，且c=1，由椭圆的几何性质可得a2﹣2=1，解可得a的值，进而由椭圆的离心率公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x焦点为（1，0）， 若椭圆c=1，

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的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的焦点在x轴上，且

则有a2﹣2=1， 解可得a=

，

=

；

则椭圆的离心率e==故选：B．

【点评】本题考查椭圆与抛物线的标准方程与几何性质，关键是求出椭圆的焦点坐标．

5．（5分）已知变量x，y满足A．6

B．7

C．8

D．9

，则z=4x+y的最大值为（ ）

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由变量x，y满足联立

，解得A（2，1）．

作出可行域如图，

化目标函数z=4x+y为y=﹣4x+z，由图可知， 当直线y=﹣4x+z过点A时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：9． 故选：D．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

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6．（5分）已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|=4，线段AB的中点到直线x=的距离为，则p的值为（ ） A．1

B．1或3 C．2

D．或

【分析】分别过A、B作交线l：x=﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=4，梯形ACDB中，中位线MN=（|AC|+|BD|）=2，由线段AB的中点到直线x=的距离为，设M（x 0，y 0 ），可得|x 0﹣|=，由此能求出P．

【解答】解：分别过A、B作交线l：x=﹣的垂线，垂足分别为C、D， 设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN， 设A（x1，y1 ），B（x2，y2 ），M（x0，y0 ） 根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=4， ∴梯形ACDB中，中位线MN=（|AC|+|BD|）=2， 可得x0+=2，x0=2﹣，

∵线段AB的中点到直线x=的距离为，可得|x0﹣|=， ∴|2﹣p|=，解之得p=或p=． 故选：D．

【点评】本题考查抛物线中参数的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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7．（5分）命题p：“?x0∈[0，值范围是（ ） A．a＜1

B．a＜

C．a≥1

D．a≥

]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取

【分析】特称命题转化为全称命题，求出sin（2x+的范围即可．

【解答】解：“?x0∈[0，即?x∈[0，由sin2x+cos2x=得：sin（2x+由x∈[0，故sin（2x+故只需

）的最大值，从而求出a

]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，

]，sin2x+cos2x≤a是真命题， sin（2x+）≤]得：2x+

， ∈[

，

]，

）≤a，

）的最大值是1，

，

≥1，解得：a≥

故选：D．

【点评】本题考查了特称命题转化为全称命题，考查三角函数问题，是一道中档题．

8．（5分）已知椭圆

（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上

不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，可得b≥c，利用离心率计算公式即可得出． 【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角． 已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c， 可得a2﹣c2≥c2，可得：a

．

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∴故选：A．

．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的大小依次成等差数列，角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且函数f（x）=ax2+2x+c的值域是[0，+∞），则△ABC的面积是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得B=60°，又由二次函数的性质分析可得ac=1，进而由三角形面积公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，△ABC的三个内角A，B，C的大小依次成等差数列， 则2B=A+C， 又由A+B+C=180°， 则有B=60°，

函数f（x）=ax2+2x+c的值域是[0，+∞），则有△=4﹣4ac=0，即ac=1， 则△ABC的面积S=acsinB=×1×故选：A．

【点评】本题考查三角形的计算，涉及等差数列的性质以及二次函数的性质，关键是求出ac的值，

10．（5分）当0＜x＜A．2

B．

C．4

时，函数D．

=；

的最小值为（ ）

【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值． 【解答】解：

=

．

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∵0＜x＜，

∴tanx＞0． ∴当

时，f（x）min=4．

．

故选：C．

【点评】本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值．考查了学生知识的迁移能力，综合运用基础知识的能力．

11．（5分）半圆的直径AB=8，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（A．﹣10

B．﹣8 C．﹣6 D．﹣2

+

=2

，计算（

+

）?

的最小值．

）

的最小值是（ ）

【分析】根据题意，利用

【解答】解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点， 则∴（=2|=﹣2|=2即|

++|×|=2

，

=2

?

）?

|×cosπ

|）

|（4﹣|

﹣8≥﹣8，

|=2时，（

）

取得最小值是﹣8．

故选：B．

【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．

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∵0＜x＜，

∴tanx＞0． ∴当

时，f（x）min=4．

．

故选：C．

【点评】本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值．考查了学生知识的迁移能力，综合运用基础知识的能力．

11．（5分）半圆的直径AB=8，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（A．﹣10

B．﹣8 C．﹣6 D．﹣2

+

=2

，计算（

+

）?

的最小值．

）

的最小值是（ ）

【分析】根据题意，利用

【解答】解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点， 则∴（=2|=﹣2|=2即|

++|×|=2

，

=2

?

）?

|×cosπ

|）

|（4﹣|

﹣8≥﹣8，

|=2时，（

）

取得最小值是﹣8．

故选：B．

【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．

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