解决旋转问题的思路方法
更新时间:2023-09-20 10:17:01 阅读量: 医药卫生 文档下载
解决旋转问题的思路方法
1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向(顺时针或逆时针)旋转一定角度?得到图形F?的变换称为旋转变换,点O叫做旋转中心,角度?叫做旋转角.特别地,旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.
2.旋转变换的性质:对应图形全等,对应线段相等,对应角相等,对应线段所在直线的夹角中有一个等于
旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.
中心对称的性质:连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分,对应线段平行且相等,对应角
相等.
3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况:
(1)旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时,常将图形绕直角顶点旋转90°. (2)旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时,常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.
(3)旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时,常将图形绕等腰三角形顶角的顶
点旋转顶角的度数.
例1.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长等于CA的扇形CEF绕点
C旋转,且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N. (1)当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1所示,求证:MN=AM+BN.
(2)当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时,关系式MN=AM+BN是否仍然成立?若成立,
请证明;若不成立,请说明理由.
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规律技巧:本题利用旋转变换,将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中,再证明该三角
形为直角三角形,运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征:运动的图形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化,但有些结论仍然保持不变,且证明方法也是一样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线,将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连结DN.再证△DCN≌△BCN.
例2.如图所示,在梯形ABCD中,BC>AD,AD//BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°.若AE=10,
则CE的长为 .
思路分析:本题已知条件多,但比较分散,而且题设和结论间的关系也不是很明显,不易沟通,此时我们
是否考虑用旋转变换来铺路架桥.
规律技巧:本题中条件与结论间不能直接找到关系时,我们想到了用旋转法,但旋转法解题一般用在正方
形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形,然后根据正方形中特殊三角形旋转的前后关系,使问题得到解决.本题如果通过在Rt△ADE、Rt△CEB和△BAE中直接求出EC几乎是不可能的.
例3.如图所示,正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动,AE平分∠BAF交边BC于点E. (1)求证:AF=DF+BE. (2)设DF=x?0?x?1?,△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值?若存在,求出此时x的值
及S的最大值;若不存在,请说明理由.
思路分析:求证AF=DF+BE,观察图形可知线段AF、DF、BE不在同一个三角形内,所以考虑添加辅助
线帮助解题,考虑到AF、DF在Rt△ADF中,又AD是正方形ABCD的边长,所以试着延长CB到点G,使BG=DF,又AB=AD,进一步推理,可使问题获解.
规律技巧:利用旋转构造等腰三角形是证明第(1)题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形(或等腰三
角形存在共顶点图形)时,往往利用旋转的思想;第(2)题是求S的最大值,往往结合几何图形,实际上就是要求AF的最大值,显然,当AF为对角线时取得最大值.由此可见,恰当的数形结合,能简洁明了地解决问题.
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