2011昌平高三二模数学（文科）

昌平区2010-2011学年第二学期高三年级第二次统一练习

数学（文科）试卷 2011.4

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 1．已知集合A?xx?3,B??1,2,3,4?，则A?B = A．{4}

B．{3，4} C．{2，3，4}

??

D．{1，2，3，4}

2．设条件p:a2?a?0, 条件q:a?0; 那么p是q的

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 数列{an}对任意n?N ，满足an+1=an+3，且a3?8，则S10等于

A．155

B． 160

C．172

D．240

*

a?b,则下列不等式成立的是 4. 若a、b是任意实数，且A．a?b B．

22b11?1 C．lg(a?b)?0 D．()a?()b

33a1 1 2 正视图 1 1 2 侧视图

5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的体积是

4?3

A．πcm B．cm

33

C．

5?33

cm D．2π cm3123 开始 俯视图 输入a、b 6. 已知a?2,b?log则输出的值为 A.

3,运算原理如右图所示， 2 B.2 22?12?1 D. 22输出 是 a?b否 C.

b?1a输出a?1 b结束 7、已知?ABC中，AB?3,AC?4,BC?10,则AB?AC等于 A．?96151596 B. ? C. D. 5222B

8、如图AB是长度为定值的平面?的斜线段，点A为斜足，若点P在平面?内运动，使得?ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是

AP?

A.圆 B.椭圆 C一条直线 D两条平行线

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

29. =

1?i10.一个正方形的内切圆半径为2，向该正方形内随机投一点P,点P恰好落在圆内的概率是__________ 11.《中华人民共和国道路交通安全法》 规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100mL（不频率 含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL组距 （含80）以上时，属醉酒驾车。

据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉0.02 酒驾车共500人.如图是对这500人血液中酒精含量进行0.015 检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人

0.01 数约为__________

?x?2y?5?0?12.若不等式组?x?1表示的平面区域是一个

?y?1?0.005 酒精含量 20 30 40 50 60 70 80 90 100 （mg/100mL） 三角形，则此三角形的面积是_______；若x,y满足上述约束条件，则z?x?y的最大值是 13. 已知抛物线的方程是y2?8x，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为2，则双曲 线的标准方程是 ______，其渐近线方程是______________ 14. 给出定义：若m?

11?x?m?（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}?m，在此22基础上给出下列关于函数f(x)?x?{x}的四个命题： ①函数y=f(x)的定义域为R，最大值是

12；

函数y=f(x)在[0,1]上是增函数；

③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f(x)的图象的对称中心是（0，0）. 其中正确命题的序号是__________

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?3sin2x?2cos2x .

（I） 求f();（II）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间

?316.（本小题满分13分）

某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，? ，（5.1，5.4].经过数据处理，得到如下频率分布表：

分组 （3.9，4.2] （4.2，4.5] （4.5，4.8] 频数 3 6 25 频率 0.06 0.12 x

（4.8，5.1] （5.1，5.4] 合计 y 2 n z 0.04 1.00

（I）求频率分布表中未知量n,x,y,z的值；

（II）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

17.(本小题满分13分)

D

在空间五面体ABCDE中,四边形ABCD是正方形，

AB?平面BCE,?CBE?900.

点F是BE的中点. 求证： （I）ED//平面ACF

ACB（II）AC?平面BDF 18. (本小题满分14分)

FEx3?(a?1)x2?4ax?b,其中a、b?R 设函数f(x)?3（Ⅰ）若函数f(x)在x?3处取得极小值是（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间;

（Ⅲ）若函数f(x)在(?1,1)上有且只有一个极值点, 求实数a的取值范围. 19.(本小题满分14分)

1，求a、b的值; 2x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F（-1，0），离心率为，过点F的直线l与椭圆C交

ab2于A、B两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（II）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、 B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

220. (本小题满分14分)已知函数f(x)?x?ax?a(x?R)，在定义域内有且只有一个零点，存在0?x1?x2，

使得不等式f(x1)?f(x2)成立. 若n?N，f(n)是数列{an}的前n项和.

（I）求数列?an?的通项公式；

（II）设各项均不为零的数列?cn?中，所有满足ck?ck?1?0的正整数k的个数称为这个数列?cn?的变号数，

*

令cn?1?4（n为正整数），求数列?cn?的变号数； an17m1*（n?2且n?N），使不等式 恒成立，求?(1?T2)?(1?T3)...(1?Tn)?an?6302n?3

昌平区2010-2011学年第二学期高三年级第二次统一练习 数学（文科）试卷参考答案及评分标准 2011.4

（Ⅲ）设Tn?正整数m的最大值．

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．) 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9． 1+i 10. 11. 75

12. 1, 2 第一空3分，第二空2分

6 D 7 C 8 B ? 4y2?1 , y??3x 第一空3分，第二空2分 13．x?3214. ① ③

三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15.（本小题满分13分） 解：（I）依题意f(x)?3sin2x?2?cos2x?1???2 分 2 ＝3sin2x?cos2x?1 ??.3分

＝2sin(2x??6)?1 ???5分

?2??f()=2sin(?)?1?2 ??7分 336（II）设函数f(x)的最小正周期为T＝? ???9分

当 2k???2?2x??6?2k???2(k?Z)时，函数单调递增

故解得 k???3?x?k???6(k?Z)

?? 函数的单调递增区间为[k???,k??](k?Z) ???13分

36

16.（本小题满分13分）

解：（I）由表可知，样本容量为n，由

由x?2?0.04，得n?50 n25?0.5；??3分 ny14??0.28 6分 n50y?50?3?6?25?2?14， z?（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a,b,c，

样本视力在（5.1，5.4]的2人为d,e． ?.?.7分 由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：

(d, ??{a)a,(e,b),d(,b)e,(c,d),c(e,)a,(b,a})，?,c.9b分c de∴n?10，且各个基本事件是等可能发生的．

设事件Ａ表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有：

(a,b),(a,c),(b,c),(d,e)，∴m?4

∴P(A)?m2?， n52． 13分 5故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为

17.(本小题满分13分)

证明：（I）?点F是AB的中点，AC?BD?o，?FO为?BED的中位线

?OF//DE 又?ED?平面ACF,OF?平面ACF

?DE//平面ACF ??6分

（II） ?AB?平面BCE，BF?平面BCE

D?AB?BF

0 ??CBE?90?BF?BC

AOC?AC?BD?AB?BC?B,

?BF?平面ABCD,AC?平面ABCD BF?AC

BFE

又四边形ABCD是正方形?AC?BD,

BD?BF?B

?AC?平面BDF ??13分

18. (本小题满分14分)

解：（I） ?f'(x)?x2?2(a?1)x?4a .......3分

?f'(3)?9?6(a?1)?4a?0 得 a? ?f(3)?3 ......4分 21 解得： b??4 ???5分 2（II）?f'(x)?x2?2(a?1)x?4a?(x?2a)(x?2)

令f'(x)?0,即x?2a或x?2 ?..7分 当a?1时，x?2a,x?2，即f(x)的单调递增区间为(??,2)和（2a,??)?.8分 当a?1时，f'(x)?(x?2)2?0，即f(x)的单调递增区间为(??,??)?.9分 当a?1时，x?2a,x?2，即f(x)的单调递增区间为(??,2a)和（2,??)?..10分

?a?1（Ⅲ）由题意可得：?'??12分 'f(?1)?f(1)?0??(2a?1)(2a?1)?0 ? ?a的取值范围(?11?a? 22 ??14分

11,) 22

19（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可知：c?1，a?b?c，e?解得：a?222c2? ??2分 a22,b?1 ??3分

x2?y2?1 ??4分 故椭圆的方程为：2（II）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0)， ??5分

?y?k(x?1)?2?x联立，得??y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0 。。。。。。7分

?2?直线AB过椭圆的左焦点F ?方程有两个不等实根. ?.?8分

记A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0)

x1?x2y1?y2?4k2x?,y?则x1?x2? ?..9分 ?..10分 00221?2k2垂直平分线NG的方程为y?y0??1(x?x0)， ?..11分 k2k2k2k211?2??2???2令y?0,得xG?x0?ky0??2?..12分

24k?22k?12k?12k?11?xG?0 ?? 13分 21?点G横坐标的取值范围为（?，0） ?.14分

2?k?0,??

20.(本小题满份13分)

解：（I）∵函数f(x)在定义域内有且只有一个零点

???a2?4a?0得a?0或a?4 ??1分

当a=0时，函数f(x)?x2在(0,??)上递增 故不存在0?x1?x2， 使得不等式f(x1)?f(x2)成立 ?? 2分 综上，得a?4,f(x)?x2?4x?4 ??.3分

?Sn?n2?4n?4

n?1?1, ?an?Sn?Sn?1???2n?5,n?2????4分

n?1??3,?（II）解法一：由题设cn?? 41?,n?2??2n?5

?n?3时，cn?1?cn?448???0 2n?52n?3(2n?5)(2n?3)?n?3时，数列?cn?递增 ?c4???0

13由1?4?0得n?5 可知a4?a5?0

2n?5即n?3时，有且只有1个变号数； 又?c1??3,c2?5,c3??3 即c1?c2?0,c2?c3?0 ∴此处变号数有2个

综上得数列?cn?共有3个变号数，即变号数为3 ??9分

n?1??3?解法二：由题设cn?? 41?n?2??2n?5当n?2时，令cn?cn?1?0得2n?92n?7??0 2n?52n?33579即?n?或?n?2222 解得n?2或n?4又?c1??3,c2?5?n?1时也有c1?c2?0 综上得数列?cn?共有3个变号数，即变号数为3

*（Ⅲ）n?2且n?N 时，Tn? ????9分

1 2n?17m1111 ?(1?)(1?)...(1?)?30572n?12n?3可转化为

7m68102n2n?21． ???...??305792n?12n?12n?3设g(n)?68102n2n?21??...??， 5792n?12n?12n?368102n?22n?41??...??g(n?1)5792n?12n?32n?5*?则当n?2且n?N，

68102n?21g(n)??...?5792n?12n?3

?2n?42n?32n?4 ??2n?32n?5(2n?3)(2n?5)?2n?44n2?16n?15?2n?44n2?16n?16?2n?4(2n?4)2?2n?4?1.

2n?4所以g(n?1)?g(n)，即当n增大时，g(n)也增大．

要使不等式

7m1*对于任意的n?N恒成立，只需 ?(1?T2)(1?T3)...(1?Tn)?302n?37m16767， ?g(n)min即可．因为g(n)min?g(2)????3057357所以

18017m67?5 . 即 m??3573035所以，正整数m的最大值为5． ?????13分

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