2012年高考文科数学分类汇编（解析版）：圆锥曲线 - 图文

2012高考试题分类汇编：8：圆锥曲线 一、选择题

x2y21.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线

abx?

3a上一点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ） 212??(A) (B) (C) (D)

23??的等腰三角形，则有

【答案】C

【解析】因为?F2PF1是底角为30F2F1?F2P,，因为

?PF1F2?300，所以

113a1PF2?F1F2，即?c??2c?c，22223ac33?2c，即?，所以椭圆的离心率为e?，选C. 所以2a44?PF2D?600,?DPF2?300，所以F2D?C与抛物线y2?16x2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，

的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）

(A)2 (B) 22 (C)? (D)?

【答案】C

【解析】设等轴双曲线方程为x2?y2?m(m?0)，抛物线的准线为x??4，由

AB?43,则yA?23,把坐标(?4,23)代入双曲线方程得m?x2?y2?16?12?4，

x2y2??1，所以a2?4,a?2，所以实轴长2a?4，所以双曲线方程为x?y?4，即4422选C.

x2y23.【2012高考山东文11】已知双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2.若抛物线

abC2:x2?2py(p?0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为

- 1 -

(A) x2?【答案】D

83163y (B) x2?y (C)x2?8y (D)x2?16y 33【解析】抛物线的焦点 (0,pbb)，双曲线的渐近线为y??x，不妨取y?x，即

aa2a?bx?ay?0，焦点到渐近线的距离为

p2a2?b2?2，即ap?4a2?b2?4c，所以

cpccp?双曲线的离心率为?2，所以??2，所以p?8，所以抛物线方程为a4aa4x2?16y，选D.

4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x??4，则该椭圆的方程为

x2y2x2y2??1 （B）??1 （A）

1612128x2y2x2y2??1 （D）??1 （C）84124 【答案】C

【解析】椭圆的焦距为4，所以2c?4,c?2因为准线为x??4，所以椭圆的焦点在x轴上，

a2??4，所以a2?4c?8，b2?a2?c2?8?4?4，所以椭圆的方程为且?cx2y2??1，选C. 84P在C上，5.【2012高考全国文10】已知F1、F2为双曲线C:x?y?2的左、右焦点，点

22|PF1|?2|PF2|，则cos?F1PF2?

（A）

1334 （B） （C） （D） 4545 【答案】C

x2y2??1，所以a?b?2,c?2，因为|PF1|=|2PF2|，所以点【解析】双曲线的方程为22P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以解得|PF2|=22，|PF1|=42，所以根

- 2 -

据余弦定理得cosF1PF2?(22)2?(42)2?142?22?42?3,选C. 46.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3 B.2 C.

3 D. 2 【答案】B

【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a?，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则2a?2?2a?，即a?2a?，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为e??cce?a?2. ，e?，?a?aea?7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点

M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 【答案】B

【解析】根据题意可设设抛物线方程为y?2px，则点M(2,?2p)Q焦点?到该抛物线焦点的距离为3，

2?p?点M,0?，

?2?p??? ?2???4P?9， 解得p?2，所以OM?4?4?2?23.

2??8.【2012高考四川文11】方程ay?bx?c中的a,b,c?{?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 【答案】B

【解析】本题可用排除法，a,b,c?{?2,0,1,2,3}，5选3全排列为60，这些方程所表示的曲

2线要是抛物线，则a?0且b?0,，要减去2A4?24，又b??2或2时，方程出现重复，重

222复次数为4，所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B.

9.【2012高考上海文16】对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx?ny?1的曲线是椭圆”

- 3 -

22

的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B.

?m?0,?m?0,【解析】∵mn＞0，∴?或?。

n?0,n?0,??方程mx2?ny2=1表示的曲线是椭圆，则一定有?表示的是椭圆”的必要不充分条件。

?m?0,故“mn＞0”是“方程mx2?ny2=1

?n?0,x2y210.【2012高考江西文8】椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点

ab分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A.

115 B. C. D. 4255-2

【答案】B

【解析】椭圆的顶点A(?a,0),B(A,0),焦点坐标为F1(?c,0),F2(c,0)，所以

AF1?a?c,F1B?a?c，F1F2?2c,又因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有4c2?(a?c)(a?c)?a2?c2，即5c2?a2，所以a?5c，离心率为e?c5，选B. ?a5x2y211.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：2-2=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐

ab近线上，则C的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1

20520805208020【答案】A

[w~#ww.zz&st^ep.com@] x2y2【解析】设双曲线C ：2-2=1的半焦距为c，则2c?10,c?5.

ab又

C 的渐近线为y??222bbx，点P （2,1）在C 的渐近线上，?1?2，即a?2b. aax2y2又c?a?b，?a?25,b?5，?C的方程为-=1.

205【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想

- 4 -

和基本运算能力，是近年来常考题型.

x2y212.【2102高考福建文5】已知双曲线2-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于

a5A

3431432 B C D

23144【答案】C.

2【解析】根据焦点坐标(3,0)知c?3，由双曲线的简单几何性质知a?5?9，所以a?2，

因此e?3.故选C. 2二 、填空题

x2y2?1(a为定值，13.【2012高考四川文15】椭圆2?且a?5)的的左焦点为F，直线x?ma5与椭圆相交于点A、B，?FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

2 【答案】，

3【解析】当直线x?m过右焦点时?FAB的周长最大，最大周长为4a?12,?a?3； ?c2?a2?b2?4，即c?2，?e?2 314.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2?y2?1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】23 【解析】由双曲线的方程可知a?1,c?2,?PF1?PF2?2a?2,

?PF1?2PF1PF2?PF2?4

22PF1?PF2,?PF1?PF2?(2c)2?8,?2PF1PF2?4,?(PF1?PF2)?8?4?12,?PF1?PF2?23222

【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。

x2y2??1的离心率15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线

mm2?4为5，则m的值为 ▲ ． 【答案】2。

- 5 -

【考点】双曲线的性质。

x2y2?2?1得a=m，b=m2?4，c=m?m2?4。 【解析】由

mm?4cm?m2?4 ∴e===5，即m2?4m?4=0，解得m=2。

am16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

【答案】26.

【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物

2线方程为x??2py，带入点A得p?1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0,?3)，

则x0??2??3,x0??6，所以水面宽度为26.

2bx2y2x与双曲线2?2?1(a?0,b?0) 左支的交17.【2012高考重庆文14】设P为直线y?3aab点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e? 【答案】

32 4?b?32y?xx??a??323a??4【解析】由?2得，又垂直于轴，所以a?c，即离心率PFx?124xy???y??2b?1???a2b24?为e?c32?。 a4218.【2012高考安徽文14】过抛物线y?4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若

|AF|?3，则|BF|=______。

【答案】

3 2- 6 -

【解析】设?AFx??(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3， 得：3?2?3cos??cos??231?。 又m?2?mcos(???)?m?1?cos?23x2y219.【2012高考天津文科11】已知双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)与双曲线

abx2y2C2:??1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5,0),则a? b?

416【答案】1，2

x2y2x2y2b??1渐近线为y??2x，而2?2?1的渐近线为y??x，【解析】双曲线的

a416abx2y2b所以有?2，b?2a，又双曲线2?2?1的右焦点为(5,0)，所以c?5，又

aabc2?a2?b2，即5?a2?4a2?5a2，所以a2?1,a?1,b?2。

三、解答题

20.（本小题满分14分） 已知椭圆

（a>b>0）,点P（

,

）在椭圆上。

（I）求椭圆的离心率。

（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ的斜率的值。

【答案】

- 7 -

21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆

xy??1(a?b?0)的22ab22

e)和?e，0)．已知(1，左、右焦点分别为F1(?c，0)，F2(c，离心率．

（1）求椭圆的方程；

???3??都在椭圆上，其中e为椭圆的2??（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．

6，求直线AF1的斜率； 2（ii）求证：PF1?PF2是定值．

（i）若AF1?BF2?

【答案】解：（1）由题设知，a2=b2?c2，e=ce)在椭圆上，得 ，由点(1，a，

12a2∴c2=a2?1。

?e2b2?1?1a2?c2a2b2=1?b2?c2=a2b2?a2=a2b2?b2=1

- 8 -

由点?e，???3?在椭圆上，得 ??2?22?3??3?????2222eca2?13????422??1???1???1?a?4a?4=0?a=2224414abaax2∴椭圆的方程为?y2?1。

20)，又∵AF1∥BF2， （2）由（1）得F1(?1，0)，F2(1， ∴设

AF1、BF2的方程分别为m=y?，x1?m=y，xA?x1，y1?，B?x2，y2?，y1>0，y2>0。

?x12m?2m2?2?y12?1?22?m?2y1?2my1?1=0?y1= ∴?2。 2m?2?my=x?1?11??

∴AF1=?x1?1???y1?0?22=?my1?22222m?1?mm?1??m?2m?222。① ?y1=m?1??m2?2m2?2 同理，BF2=2?m2?1??mm2?1m?22。②

2mm2?12mm2?162m= （i）由①②得，AF1?BF2?。解得=2。 22m?2m?22 ∵注意到m>0，∴m=2。 ∴直线AF1的斜率为

12=。 m2 （ii）证明：∵

AF1∥BF2，∴

PBBF2?PF1AF1，即

BFPB?PF1BF?AFPB2?1?2?1??。 PF1AF1PFAF11 ∴PF1=1AF1BF1。

AF1?BF2

- 9 -

由点B在椭圆上知，BF1=1?BF2?22，∴PFAF122?BF2。

AF1?BF2?? 同理。PF2=

∴PF1+PF2=BF222?AF1。

AF1?BF2??AF1BF22AFBF222?BF2?22?AF1?22?

AF1?BF2AF1?BF2AF1?BF2???? 由①②得，AF1?BF= ∴PF1+PF2=22?22m2?1m?22??，AFBF=m2?1m?22，

23=2。 22 ∴PF1?PF2是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

e)和?e，【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1，???3?都在椭圆上列式求解。 ??2?6，用待定系数法求解。 222.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）

（2）根据已知条件AF1?BF2?x2y2如图，F1,F2分别是椭圆C：2+2=1（a?b?0）的左、右焦点，A是椭圆C的

ab顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，?F1AF2=60°.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）已知△AF1B的面积为403，求a,b 的值.

a?2c，所以e?3.解：（1）由题意知?AF1F2为等边三角形，

22221 2（2）解法一：a?4c,b?3c，直线AB的方程可为

y??3(x?c)，

将其代入椭圆方程

833c，)所以3x2?4y2?12c2，得B(c?,55816|AB|?1?3?|c?0|?c

55

- 10 -

由S?AF1B?11163232|AF1|?|AB|sin?F1AB?a?c??a?403， 22525解得a?10,b?53 解法二：设|AB|?t，因为|AF2|?a,所以|BF2|?t?a， 由椭圆定义|BF1|?|BF2|?2a，可知|BF1|?3a?t， 再由余弦定理(3a?t)2?a2?t2?2a?tcos60可得t?8a 5由S?AF1B?183232a?a??a?403 知a?10,b?53 252523.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）

x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1（a?b?0）的左焦点为F1(?1,0)，

ab且点P(0,1)在C1上. （1）求椭圆C1的方程；

（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y?4x相切，求直线l的方程. 【答案】

【解析】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1(?1,0)，所以c?1，

21x2y2点P(0,1)代入椭圆2?2?1，得2?1，即b?1，

bab所以a?b?c?2，

222x2?y2?1. 所以椭圆C1的方程为2（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y?kx?m，

?x2??y2?1222，消去y并整理得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0， ?2?y?kx?m?因为直线l与椭圆C1相切，所以??16km?4(1?2k)(2m?2)?0， 整理得2k?m?1?0 ①

- 11 -

222222

?y2?4x，消去y并整理得k2x2?(2km?4)x?m2?0。 ??y?kx?m因为直线l与抛物线C2相切，所以??(2km?4)2?4k2m2?0， 整理得km?1 ②

?22?k?k????综合①②，解得?2。 2或??m?2?m??2??所以直线l的方程为y?22x?2或y??x?2。 2224.【2102高考北京文19】(本小题共14分)

x2y22已知椭圆C：2+2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)

ab2与椭圆C交与不同的两点M,N

（Ⅰ）求椭圆C的方程

?a?2?x2y22?c??1. 解：（1）由题意得?解得b?2.所以椭圆C的方程为?42a2?2?a?b2?c2??y?k(x?1)?2222（2）由?x2y2得(1?2k)x?4kx?2k?4?0.

?1???42设点M,N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则y1?k(x1?1)，y2?k(x2?1)，4k22k2?4x1?x2?，x1x2?. 221?2k1?2k2(1?k2)(4?6k2)所以|MN|=(x2?x1)?(y2?y1)=(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]=.

1?2k2|k|）由因为点A(2,0)到直线y?k(x?1的距离d?，

21?2k22221|k|4?6k2|k|4?6k210所以△AMN的面积为S?|MN|?d?. 由，解得?21?2k21?2k23k??1.

25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)

3x2y2如图，椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线x??a和y??b所围成的矩形

2abABCD的面积为8.

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(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；

(Ⅱ) 设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求

|PQ|的最大值及取得最大值时m的值. |ST|c3a2?b23????① 【答案】(21)(I)e??a2a24矩形ABCD面积为8，即2a?2b?8??② 由①②解得：a?2,b?1，

x2∴椭圆M的标准方程是?y2?1.

4?x2?4y2?4,(II)??5x2?8mx?4m2?4?0， ?y?x?m,84m2?4设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??m,x1x2?，

55由??64m2?20(4m2?4)?0得?5?m?5.

4m2?442?8?|PQ|?2??m??4?5?m2.

55?5?当l过A点时，m?1，当l过C点时，m??1.

①当?5?m??1时，有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?2(3?m)，

2|PQ|45?m2446?????1， |ST|5(3?m)25t2t|PQ|13452其中t?m?3，由此知当?，即t?,m???(?5,?1)时，取得最大值5. |ST|t4335②由对称性，可知若1?m?5，则当m?③当?1?m?1时，|ST|?22，由此知，当m?0时，

|PQ|52时，取得最大值5.

|ST|35|PQ|2?5?m2， |ST|5|PQ|2取得最大值5. |ST|5|PQ|52综上可知，当m??和0时，取得最大值5.

|ST|35

- 13 -

26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛 物线E:x2?2py(p?0)上。 （I）求抛物线E的方程；

（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y??1相交于

点Q。证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。 难度：难。

分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。解答：

（I）设A(x221,y1),B(x2,y2)；则x1?2py1,x2?2py2

OA?OB?x2222py?21?y21?x2?y2?1y?12py?y22?(y1?y2)(2p?y1?y)2?0?y?1y(22p,y,y

21?0)2 得：点A,B关于y轴对称（lfxlby）

OA?OB?AB?83?A(?43,12),B(43,12)

代入抛物线E的方程得：p?x2?2?抛物线E的方程为x22y?4y

（II）设P(xx201210,4)；则y?4x?y??2x

过点P的切线方程为y?14x212(x?xy?1120?x00)即2x0x?4x0 2 令y??1?Q(x0?42x,?1)

02 设M(0,t)满足：MPMQ?0及MP?(xx0?40,y0?t),MQ?(2x,?1?t)

0 得：4(t2?t?2)?(1?t)x20?0对x0?0均成立 ?t2?t?2?0,1?t?0?t?1 以PQ为直径的圆恒过y轴上定点M(0,1)

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27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2?y2?1

（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若MF?22，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（k?2）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证：

OP⊥OQ

[解]（1）双曲线C:x212?y2?1，左焦点F(?62262,0).

22， ……22 设M(x,y)，则|MF|2?(x? 由M是右支上一点，知x? 所以M(6222)?y2?(3x?)分

62，所以|MF|?3x?22?22，得x?.

,?2). ……5分

22 （2）左顶点A(?,0)，渐近线方程：y??2x.

2x平行的直线方程为：y?2(x?24 过A与渐近线y?22)，即y?2x?1.

??y??2x?x?? 解方程组?，得?1??y?2x?1?y?2. ……8分

24 所求平行四边形的面积为S?|OA||y|?. ……10分

|b|k2?1 （3）设直线PQ的方程是y?kx?b.因直线与已知圆相切，故

即b?k?1 (*).

22?1，

?y?kx?b由?2，得(2?k2)x2?2kbx?b2?1?0. 2?2x?y?12kb??x1?x2?2?k2 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则?. ?1?b2xx???122?k2 y1y2?(kx1?b)(kx2?b)，所以

OP?OQ?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?kb(x1?x2)?b2

(1?k2)(?1?b2)2?k2?22k?kb2?22?1?b2?k22?k2.

由(*)知OP?OQ?0，所以OP⊥OQ. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别

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要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y??x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．

28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）

设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.

（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值. 【答案】

29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，

1）到抛2

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物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为动点，且线段AB被直线OM平分。

5。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两4

（1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。 【答案】 【解析】

1?2pt?1???p?（1）由题意得?2. p5，得?1?????24?t?1（2）设A(x1,y1),B?x2,y2?，线段AB的中点坐标为Q(m,m) 由题意得，设直线AB的斜率为k（k?0）.

2??y1?2px1由?2，得(y2?y1)(y1?y2)?k(x2?x1)，得k?2m?1 ??y2?2px2所以直线的方程为y?m?1(x?m)，即x?2my?2m2?m?0. 2m2??x?2my?2m?m?022由?2，整理得y?2my?2m?m?0， ??y?x2所以?4m?4m，y1?y2?2m，y1y2?2m2?m.从而得

AB?1?122y?y?1?4m4m?4m， 122k设点P到直线AB的距离为d，则

d?1?2m?2m21?4m2，设?ABP的面积为S，则S?1AB?d?1?2(m?m2)?m?m2. 22由??4m?4m?0，得0?m?1.

令t?m?m2，0?t?12，则S?t(1?2t). 2

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设S?t(1?2t2)，0?t?由S??1?6t2?0，得t?1，则S??1?6t2. 26?1?66，故?ABP的面积的最大值为. ??0,?，所以Smax?996?2?1的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0230.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的圆心.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

中国教育出%版网^@*&]（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为切时，求P的坐标. 【答案】

1的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相2【解析】（Ⅰ）由x2?y2?4x?2?0，得(x?2)2?y2?2.故圆Ｃ的圆心为点

x2y2(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为2?2?1(a?b?0),其焦距为2c，由题设知

abc?2,e?c1?,?a?2c?4,b2?a2?c2?12.故椭圆Ｅ的方程为： a2x2y2??1. 1612（Ⅱ）设点p的坐标为(x0,y0)，l1,l2的斜分率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为

1l1:y?y0?k1(x?x0),l2:y?y0?k2(x?x0),且k1k2?.由l1与圆c:(x?2)2?y2?2相

2切，得

2k1?y0?k12?1k1x0?2，

222即 ??(2?x0)?2??k1?2(2?x0)y0k2?y0?2?0.

?x0同理可得 ??(222)??2k2??2?2(x2y0?k)2?y?. 2000022?(2?x)?2k?2(2?x)yk?y?2?0的两个实根，于是 从而k1,k2是方程?0000???(2?x0)2?2?0,? ? ① 22????8(2?x)?y?2?0,00????2y0?2且k1k2??2. 2(2?x2)?2

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22?x0y0??1,?101612?2x?. 由?得解得或x?2,5x?8x?36?0.000025?y0?2?12?(2?x)?220?由x0??2得y0??3;由x0?1857得y0??,它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 5518571857(?2,3)，或(?2,?3)，或(,)，或(,?).

5555

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出c,a,b即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为

1，得出关于点P坐标的一个2方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）

l是过点A与x轴垂直的直线，设A是单位圆x2?y2?1上的任意一点，D是直线l与x 轴

的交点，点M在直线l上，且满足|DM|?m|DA|(m?0,且m?1). 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上

的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的k?0，都有PQ?PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.

21．解：（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|?m|DA|(m?0,且m?1)，

可得x?x0，|y|?m|y0|，所以x0?x，|y0|?1 |y|. ①

m因为A点在单位圆上运动，所以x02?y02?1. ②

y2将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x?2?1 (m?0,且m?1).

m2因为m?(0,1)(1,??)，所以

当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m2?1).

（Ⅱ）解法1：如图2、3，?k?0，设P(x1,kx1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?kx1)，N(0,kx1)，

直线QN的方程为y?2kx?kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得 (m2?4k2)x2?4k2x1x?k2x12?m2?0.

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依题意可知此方程的两根为?x1，x2，于是由韦达定理可得 4k2x1m2x1?x1?x2??2，即x2?2.

m?4k2m?4k22km2x1因为点H在直线QN上，所以y2?kx1?2kx2?2.

m?4k24k2x12km2x1,). 于是PQ?(?2x1,?2kx1)，PH?(x2?x1,y2?kx1)?(?2m?4k2m2?4k24(2?m2)k2x12?0， 而PQ?PH等价于PQ?PH?m2?4k2即2?m2?0，又m?0，得m?2，

y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，

2都有PQ?PH.

y y y H A H N P N PM 2O D x Q O x

Q O x

图1 图2 (0?m?1) 第21题解答图

图3 (m?1)

解法2：如图2、3，?x1?(0,1)，设P(x1,y1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?y1)， N(0,y1)，

2222??mx1?y1?m,因为P，H两点在椭圆C上，所以?22 两式相减可得 22??mx2?y2?m, m2(x12?x22)?(y12?y22)?0. ③

依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得

(y1?y2)(y1?y2)??m2. ④

(x1?x2)(x1?x2)又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即于是由④式可得kPQ?kPH2y1y1?y2?. x1x1?x2y1y1?y21(y1?y2)(y1?y2)m2??????. x1x1?x22(x1?x2)(x1?x2)2而PQ?PH等价于kPQ?kPHm2??1，即???1，又m?0，得m?2，

2

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y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，都有

2PQ?PH.

2【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线C:y?(x?1)2与圆M:(x?1)?(y?)?r(r?0)有一个公共点A，且在点A处两曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

【答案】

21222

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33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分) 如图，动圆C1:x2?y2?t2,1＜t＜3,

x2?y2?1相交于A，B，C，D四点，点A1,A2与椭圆C2：9分别为C2的左，右顶点。

(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。

【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 【解析】(Ⅰ)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S=4|x0|y0|，

22x0x022?y0?1得，y0?1?， 由99

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∴xy22200=

212929x0?)?， x(1?)=?(x0924920当x0?912，y0?时，Smax?6 22∴t=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. ??6分 (Ⅱ) 设A?x1,y1?,B?x1,-y1?，又知A1?-3,0?,A2?3,0?，则 直线A1A的方程为 y=直线A2B的方程为

2y1?x+3? ① x1+3-yy=1?x-3? ②

x1-3-y12由①②得 y=22?x2-32? ③

x1-3x12x122?由点A?x1,y1?在椭圆C0上，故可得2+y1=1，从而有y1=?1-23?3??，代入③得 ?x22-y=1?x<-3,y<0? 9x22-y=1?x<-3,y<0? ??12分 ∴直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为9【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 34.【2012高考江西文20】（本小题满分13分） 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足

（1）求曲线C的方程；

（2）点Q（x0,y0）(-2

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35.【2012高考四川文21】(本小题满分12分)

如图，动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)构成?MAB，且直线MA、MB的斜率之积为

yMA4，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；

OBx

Q|?|PR|，（Ⅱ）设直线y?x?m(m?0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|P求

|PR|的取值范围。 |PQ|【答案】 【解析】

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36.【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为

F1,F2 ，线段OF1,OF2 的中点分别为

且△AB1B2是面积为4的直角三B1,B2 ，

角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1 作直线交椭圆于P,Q，

PB2?QB2，求△PB2Q的面积

x2y21610 【答案】（Ⅰ）+=1（Ⅱ） 2049

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37.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）

x2?y2?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率。 已知椭圆C1:4（1）求椭圆C2的方程；

（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB?2OA，求直线AB的方程。 【答案】

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