阻尼牛顿法

阻尼牛顿法求解二维函数极小值的程序说明

一 题目

22利用阻尼牛顿法求函数f(x1,x2)?的极小值点（迭代两次，一（x1?2）?（x1?2x2）维搜索任选一种方法）。

二 阻尼牛顿法基本思想:

1) 给定初始点x0，收敛精度?，置k?0。

2) 计算?f(xk)、 ?2f(xk)、(?2f(xk))?1和dk??(?2f(xk))?1?f(xk) 3) 求xk?1?xk??kdk，其中?k为沿d进行一维搜索的最佳步长。

k?1k4) 检查收敛精度。若xn?x??，则x*?xk?1，停机；否则置k?k?1，返回步骤2，

k继续进行进行搜索。

改进后的阻尼牛顿法程序框图如下：

开始给定x0,?k?02kkd???f(x)?1?f(xk)xk?1?xk??kdkk?k?1?k:minf(xk??dk)?是k?1xn?xk???否x*?xk?1结束

三 用阻尼牛顿法求函数

程序如下：

// 阻尼牛顿法 .cpp : Defines the entry point for the console application. //

#include #include #include #include

double fun1(double q1,double q2) {

return(pow((q1-2),4)+pow((q1-2*q2),2)); //修改函数f(x1,x2)=(x1-2)*(x1-2)*(x1-2)*(x1-2)+(x1-2*x2)*(x1-2*x2) }

double fun2(double g,double x,double y,double r1,double r2) {

return (pow((x+g*y-2),4)+pow((x+g*y-2*(r1+g*r2)),2));//关于阻尼因子的函数 }

void main() {

double A[2][1],B[2][2],C[2][1],D[2][1],X[2][1];

double E[2][1]={4,3};//迭代的初始点x0 int t=0,i=0,j=0;

double E0,x1,x2,x3,h(0.1); double y1,y2,y3,m;

double a,b,k=0.618,a1,a2,f1,f2;

printf(\输入收敛精度：\输入标准收敛精度 std::cin>>E0; do {

D[0][0]=E[0][0]; D[1][0]=E[1][0];

A[0][0]=4*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2)+2*D[0][0]-4*D[1][0];

A[1][0]=-4*(D[0][0]-2*D[1][0]);//A[0][0],A[1][0]为原函数梯度的各项 B[0][0]=1.0/(12.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2)); B[0][1]=1.0/(24.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2)); B[1][0]=1.0/(24.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2));

B[1][1]=(6.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2)+1)/(48.0*(D[0][0]-2)*(D[0][0]-2));//B[0][0],B[0][1],B[1][0],B[1][1]分别代表原函数的海赛矩阵的逆阵的各项 C[0][0]=-(B[0][0]*A[0][0]+B[0][1]*A[1][0]);

C[1][0]=-(B[1][0]*A[0][0]+B[1][1]*A[1][0]);//C[0][0],C[1][0]为搜索方向dk的各项 //下面利用外推法寻找函数2的区间，找单谷区间 x1=0; x2=x1+h;

y1=fun2(x1,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]); y2=fun2(x2,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]); if(y2>y1) {

h=-h;

x3=x1,y3=y1; x1=x2,y1=y2; x2=x3,y2=y3; }

x3=x2+h;

y3=fun2(x3,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]); while(y3

h=2*h;

x1=x2,y1=y2; x2=x3,y2=y3; x3=x2+h;

y3=fun2(x3,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]); i++;

}

//下面利用黄金分割法寻找函数2极值 a=x1; b=x3;

a1=b-k*(b-a); a2=a+k*(b-a);

f1=fun2(a1,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]); f2=fun2(a2,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]); do {

if(f1>=f2) {

a=a1; a1=a2; f1=f2;

a2=a+k*(b-a);

f2=fun2(a2,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]); } else {

b=a2; a2=a1; f2=f1;

a1=b-k*(b-a);

f1=fun2(a1,D[0][0],C[0][0],D[1][0],C[1][0]); } j++;

}while(fabs((b-a)/b)>=E0&&fabs((f2-f1)/f2)>=E0); m=0.5*(a+b);//m为阻尼因子 E[0][0]=D[0][0]+m*C[0][0]; E[1][0]=D[1][0]+m*C[1][0];

printf(\ t++;

}while(fabs(E[0][0]-D[0][0])>=E0&&fabs(E[1][0]-D[1][0])>=E0); X[0][0]=E[0][0]; X[1][0]=E[1][0];

printf(\迭代了%d次\\n\

printf(\极小点(x1,x2)=(?0,?0)\\n\ printf(\极小值f(x1,x2)=?0\\n\}

程序运行结果：

四 结论

由该程序的运行结果可知，要求迭代两次后函数的极小值点在（2.52939210,1.46320410）处，经验证，运算结果完全正确。验证了该程序的可行性。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eoyt.html