狄利克雷定理的证明

为证明定理本身，我先证明几个引理。

引理1(Bessel不等式)：若函数f(x)在[??,?]上可积，则有

a02?1??(an2?bn2)??f2(x)dx 2n?1???a02m??(ancosnx?bnsinnx) 证明：设Sm(x)?2n?1??2??2?显然：?[f(x)?Sm(x)]dx??????f(x)dx?2?f(x)Sm(x)dx??????Sn2m(x)dx (*)

a其中，?f(x)Sm(x)dx?02???????f(x)dx??(a??f(x)cosnxdx?b??f(x)sinnxdx)

nn?1??m???由傅立叶级数系数公式可以知道：

????2?f(x)Sm(x)dx??2a0???(an2?bn2)

2n?1mma02m?2222S(x)dx?[?(acosnx?bsinnx)]dx?a??(a?b??mnn0nn) ??2n?12n?1????以上各式代入(*)式，可以得到：

??20????[f(x)?Sm(x)]dx?另

???f(x)dx??22?2a0???(an2?bn2)

2n?1m?2a0???(an?bn)?22n?1m???f2(x)dx

这个结果对于?m?N均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据

m?2此可知“a0???(an2?bn2)”这个级数的部分和有界，则引理1成立。

2n?1引理2：若函数f(x)是T?2?的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级数部分和

1?sin(m?)u12du Sm(x)可改写为：Sm(x)??f(x?u)u???2sin2a02m??(ancosnx?bnsinnx) 证明：设Sm(x)?2n?1 ???11m?f(x)dx??[(?f(x)cosnxdx)cosnx?(?f(x)sinnxdx)sinnx] ?2????n?1?????1?????1m11m1f(u)[??cosn(u?x)]du?f(x?t)[?cosnt]dt??2n?1?????x2n?1??????x?1sin(m?)u2duf(x?u)u2sin2我在下边给出一个比楼主强的结论！

收敛定理：设f(x)是[a,b]的按段光滑函数,如果它满足:

(1) 在[a,b]只有有限个第一类间断点, 在补充定义后它可积（应当指出：补充定

义后，它已不是原来的函数）。

(2) 在[a,b]每一点都有f(x?0)，且定义补充定义后的函数为f1(x)有：

f(x?u)?f(x?0)f(x?u)?f(x?0)?f1(x?0)，lim?f1(x?0) ?u?0u?0uuf(x?0)?f(x?0)则f(x)的傅立叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值，若

2lim?在x连续，则收敛于f(x)。

为方便，我仅证明f(x)是T?2?的在[??,?]上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可)，则当x?[??,?]时有(其中an,bn是傅立叶级数系数)

f(x?0)?f(x?0)a0????(ancosnx?bnsinnx)

22n?11证明：由引理1容易可知：lim?f(x)sin(n?)xdx?0 (**)

n??20f(x?0)?f(x?0)若lim[?Sm(x)]?0成立，则命题得证，而n??21?sin(m?)uf(x?0)?f(x?0)f(x?0)f(x?0)12du]lim[?Sm(x)]?lim[???f(x?u)n??n??u222???2sin21?sin(m?)u12du?1，注意这个式子是偶函数，则另外，????2sinu211?sin(m?)u?sin(m?)uf(x?0)2du?f(x?0)2du

??u2???2sinu?02sin221?sin(m?)u12du=0，则命题得证。 若lim?[f(x?0)?f(x?u)]n???u02sin2uf(x?0)?f(x?u)2记g(u)?

uusin2uf(x?0)?f(x?u)2有微积分知识limg(u)???f1(x?0)，若g(0)??f1(x?0)

u?0?uusin2?则它在0连续，由于第一类间断点只有有限个，则它在[0,?]上可积。结合(**)

?1sin(m?)u12du?0 式可知lim?[f(x?0)?f(x?u)]n???u02sin210sin(m?)u12du?0 同理可以证明lim[f(x?0)??f(x?u)]n??u???2sin2因此，命题得证。 B.Q.

这个证法是我念书时找一个懂日文的同学给翻译的，由于他不太喜欢数学，我又不懂日文，所以我的理解可能也非原文的理解，也不能给出参考文献(不懂日文啊)。水平有限，请高手见谅。

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