一点应力状态概念及其表示方法

一点应力状态概念及其表示方法

凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；

图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。

２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内

点不同（方向）截面上

的应力情况（集合）

３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕取的两种微元体。

点截

特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。

§8-２平面应力状态的工程实例

１．薄壁圆筒压力容器

为平均直径，为壁厚

由平衡条件

得轴向应力： （8-1a）

图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为 的横截面，H-H为水平径向面）

由平衡条件或, 得环向应力：

（8-1b）

2．球形贮气罐（图8-6）

由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为 对半球写平衡条件：

得 （8-2）

3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴 4．受横向载荷作用的深梁

§8-3平面一般应力状态分析——解析法

空间一般应力状态

如图8-9a所示，共有9个应力分量： 面上的，

；面上的

，

，

。

，，； 面上的，

1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有：

，

，

。

2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中， 方向的应力分量全部为零（，

，

，其中

，

）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量 分别为

，

的简写，而

=

。

，

3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。

2．平面一般应力状态斜截面上应力

如图8-10所示，斜截面平行于 轴且与 面成倾角 ，由力的平衡条件：

和

可求得斜截面上应力，：

（8-3a）

(8-3b)

注意到：1）图8-10b中应力均为正值，并规定倾角 自 轴开始逆时针转动者为正，反之为负。2）式中

均为 面上剪应力，且已按剪应力互等定理将

换成

。

3．正应力极值——主应力

根据（8-3a）式，由求极值条件，得

即有 （8-4a）

为取极值时的角，应有，两个解。

将相应值，分别代入(8-3a)，(8-3b)即得：

（8-4b） ; (8-4c)

说明：1）当倾角转到

和面时，对应有，

，，其中有一个为

极大值，另一个为极小值；而此时面上剪应力为零（如图8-11a）。

均为零。可见在正应力取极值的截

2）定义：正应力取极值的面（或剪应力为零的面）为主平面，主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称

主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：面应力状态为二向应力状态。

，

，故也称平

4．剪应力极值——主剪应力

根据(8-3b)式及取极值条件，可得： （8-5a）

为取极值时的角，应有，两个解。将相应值，分

别代入(8-3b)，(8-3a)即得：

(8-5b) ；

说明： 1）当倾角转到

为

和面时，对应有，，且二者大小均

，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小

均取平均值（如图8-11b）。

2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。注意到：

； 或

因而主剪平面与主平面成夹角。

平面一般应力状态分析——应力圆法

1．应力圆方程

由式（8-3a）和(8-3b)消去，得

到 (8-6)

此为以，为变量的圆方程，以为横坐标轴，为纵坐标轴，则此圆圆心

坐标为尔（Mohr）圆。

，半径为，此圆称应力圆或莫

2．应力圆的作法

应力圆法也称应力分析的图解法。作图8-12a所示已知平面一般应力状态的应力圆及求倾角为的斜截面上应力

，

的步骤如下：

1）根据已知应力2）在（

，

，，值选取适当比例尺；

坐标平面上，由图8-12a中微元体的1-1，2-2面上已知应力作1），2（

，-）两点；

3）过1，2两点作直线交 轴于 点，以 为圆心，为半径作应力圆；

4）半径逆时针（与微元体上 转向一致）转过圆心角

即为

，纵坐标值

即为

。

得3点，则3

点的横坐标值

3．微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系

1）=， = 的证明：

=

已知：

；

则

（8-3a），可知

=

。

， 让，对照上式与式

对照上式与式（8-3b），可知

=

。

2）几个重要的对应关系

；

（即式（8-5b））

主平面位臵：应力圆上由1点顺时针转过到 点。

，（即式（8-4a）），对应微元体内从 面顺时

针转过

角（

面）。

应力圆上继续从点转过

面，此时

到 ，对应微元体上从 面继续转过 到

（即式（8-4c））

建议读者对，点（对应主剪应力）作同样讨论。

空间应力状态的主应力与最大剪应力

1．主应力

对于空间一般应力状态（如图8-9a），可以证明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。此三对微面即主平面，三个正应力即

主应力（正应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三向应力状态。

约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即。

例8-1 式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力状态，有两个主应力

，

内壁有内压

工程上略去不计，则有： ，，。

例8-2 图8-7所示受弯曲与扭转组合作用圆轴中的1点，可用图8-14所示应力圆求其主应力：

， 二向应力状

态。所以

，

，

2．主剪应力，最大剪应力

若已知（或已求得）三个 主应力，可求：

1）平行方向的任意斜截面 上应力（如图8-15a）。由于 不参加图8-15b

所示微元体的力平衡。可利用式（8-3a）、(8-3b)：

；

相应于图8-15c中 ，构成的应力圆，此时主剪应力：

，（图8-15c上的点）。

2）平行 方向斜截面上的主剪应力（见图8-16a，b，c）

主剪应力： 点）。

。（见图8-15c中 ， 构成的应力圆上

3）求平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-15c中点）。

。

结论：在按约定排列的三个非零主应力 力圆中，可以找到三个相应的主剪应力

，，

，，

作出的两两相切的三个应，其中最大剪应力值为：

处在与

，

作用面成

的面上。

例8-1中： , 而非

。

例8-2中：

※3．任意斜截面上应力

已知主应力斜截面

，，，设斜截面法线 的方向余弦为 ， ， 。求任意

上应力。

设斜面面积，则三个侧面面积：

，，

三个方向余弦满足关系： （a）

由平衡条件，和有：

，， （b）

由总应力的三个分量可得总应力：

（c）

也可分解为法线方向的正应力有

（d）

和面上剪应力（图8-17c），则

由式（d），（c）得： （e）

，则有：

，在斜面法线上投影之代数和为

（f）

，注意到式（b），

由式（a），（e），（f）可解得：

(8-7)

讨论：

1）在以为横坐标， 为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力

上的应力（

，

）。

圆，且交于一点，此点坐标即为斜截面

2）由于、、，在约定条件下，可由以上三式证明任意

斜截面上应力均落在图8-14c所示三个主应力圆包围的阴影线面积内。

3）当所有平行

，式（8-7）第一式即为图8-14c中 方向的斜截面中，与

，

成

，组成的应力圆方程，在

的斜面上具有主剪应力

，同理，当，和时，对应有 ，及 ，组成的

应力圆方程，分别可得主剪应力：

和，可见，。

建立强度理论的基本思想

１．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。

例1 常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限

，铸铁破坏

表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度

。图9-1a,b

２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。

例2 常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。图（9-2a,b）

例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。图（9-3a）

例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处

于三向压缩应力状态下。图９－３b

３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为

，根

据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为

。

建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是：

１）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设；

２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。

３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。

关于脆性断裂的强度理论

１．最大拉应力准则（第一强度理论）

基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。

表达式：复杂应力状态

， 当

，

简单拉伸破坏试验中材料的正断抗

力

，

最大拉应力脆断准则： (9-1a)

相应的强度条件： (9-1b)

适用范围：虽然只突出 而未考虑 的影响，它与铸铁，工具钢，工业陶

瓷等多数脆性材料的实验结果较符合。特别适用于拉伸型应力状态（如

），混合型应力状态中拉应力占优者（

）。

但

2．最大伸长线应变准则（第二强度理论）

基本观点：材料中最大伸长线应变到达材料的脆断伸长线应变 性断裂。

时，即产生脆

表达式： 。 复杂应力状态：，当；

简单拉伸破坏试验中材料的脆断伸长线应变

，，

最大伸长线应变准则： （9-2a）

相应的强度条件： （9-2b）

适用范围：虽然考虑了，的影响，它只与石料、混凝土等少数脆性材料的

实验结果较符合（如图9-4所示），铸铁在混合型压应力占优应力状态下（

）的实验结果也较符合，但上述材料的脆断实验不支持本理论

描写的

，

对材料强度的影响规律。

关于塑性屈服的强度理论

1．最大剪应力准则（第三强度理论）

基本观点：材料中的最大剪应力到达该材料的剪切抗力时，即产生塑性屈服。

表达式：

复杂应力状态，

简单拉伸屈服试验中的剪切抗力

，，

最大剪应力屈服准则： （9-3a）

相应的强度条件： （9-3b）

适用范围：虽然只考虑了最大主剪应力 ，而未考虑其它两个主剪应力 ，

的影响，但与低碳钢、铜、软铝等塑性较好材料的屈服试验结果符合较好；并可用于像硬铝那样塑性变形较小，无颈缩材料的剪切破坏，此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则。

2．形状改变比能准则（第四强度理论）

基本观点：材料中形状改变比能到达该材料的临界值 生塑性屈服。

时，即产

表达式：复杂应力状态

，

简单拉伸屈服试验中的相应临界值

，，

形状改变比能准则：

（9-4a）

相应的强度条件： （9-4b）

适用范围：它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响，它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好。此准则也称为米泽斯（Mises ）屈服准则，由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的载荷往往较为稳定，因而较多地采用第四强度理论。

*附：泰勒——奎尼（Taylor—Quinney）薄壁圆筒屈服试验（1931）。

米泽斯与特雷斯卡屈服准则的试验验证。薄壁圆筒承受拉伸与扭转组合作用时，应力状态如图9-5a。

主应力： ，

代入第三强度理论： 或 （a） ； 代入第四强度理论：

或

（b）（a），（b）式

在以—为坐标

轴的平面内为两条具有不同短轴的理论椭圆曲线（图9-5b）。

结果：试验点基本上落于两条理论曲线之间，大多数试验点更接近于第四强度理论曲线。

莫尔强度理论

1．不同于四个经典强度理论，莫尔理论不致力于寻找（假设）引起材料失效的共同力学原因，而致力于尽可能地多占有不同应力状态下材料失效的试验资料，用宏观唯象的处理方法力图建立对该材料普遍适用（不同应力状态）的失效条件。

2．自相似应力圆与材料的极限包络线

自相似应力圆：如果一点应力状态中所有应力分量随各个外载荷增加成同一比例同步增加，则表现为最大应力

圆自相似地扩大。

材料的极限包络线：随着外载荷成比例增加，应力圆自相似地扩大，到达该材料出现塑性屈服或脆性断裂时的极限应力圆。只要试验技术许可，务求得到尽可能多的对应不同应力状态的极限应力圆，这些应力圆的包络线即该材料的极限（状

态）包络线。图9-6a所示即包含拉伸、圆轴扭转、压缩三种应力状态的极限包络线。

3．对拉伸与压缩极限应力圆所作的公切线是相应材料实际包络线的良好近似（图9-6b）。实际载荷作用下的应力圆落在此公切线之内，则材料不会失效，到达此公切线即失效。由图示几何关系可推得莫尔强度失效准则。

对于抗压屈服极限（9-5a）

大于抗拉屈服极限的材料（即）

对于抗压强度极限大于抗拉强度极限的材料（即）

（9-5b）

强度条件具有同一形式： 或 （9-5c）

相应于式（9-5a），，；相应于式（9-5b），,

对铸铁 ，陶瓷材料 ，对大多数金属， ，此时

莫尔强度条件退化为最大剪应力强度条件。

4．适用范围：

1）适用于从拉伸型到压缩型应力状态的广阔范围，可以描述从脆性断裂向塑性屈服失效形式过渡（或反之）的多种失效形态，例如“脆性材料”在压缩型或压应力占优的混合型应力状态下呈剪切破坏的失效形式。

2）特别适用于抗拉与抗压强度不等的材料。

3）在新材料（如新型复合材料）不断涌现的今天，莫尔理论从宏观角度归纳大量失效数据与资料的唯象处理方法仍具有广阔应用前景。

含裂纹构件的脆断准则

1．概述

随着现代技术与工业的发展，新材料、新工艺，大型结构与构件的出现和工作环境的苛刻化，构件中隐含宏观裂纹或由微观裂纹成长为宏观裂纹的机会大大增加，宏观裂纹发展到了临界长度，裂纹尖端高度的应力集中会导致高强度、低韧性材料（构件）发生脆性断裂而失效。线弹性断裂力学（LEFM）研究构件中裂纹的扩展规律，并建立由此导致的脆性断裂准则，为含裂纹构件防脆断设计提供依据。

2．裂纹导致的脆断事故分析

1）全焊接大型结构,如大型贮油罐,贮气罐，高压容器，全焊接轮船，大型桥梁等。由于焊缝及其附近的热影响区中存在各种缺陷,夹渣、微裂纹等宏观裂纹源而导致脆断事故。

实例之一：二战期间，美国250艘全焊接战时标准船的断裂事故，其中10艘在平静港湾突然一断为二。

2）现代冶炼技术和复合材料的研制工艺为航空、航天等高新技术工业领域提供了超高强度，相对偏低韧性的结构材料，使允许的临界裂纹长度大大减小，材料脆性倾向大大增加。

实例之二：50年代末，60年代初，美国在发射北极星导弹试验中多次发生发动机壳体爆炸事故，发射火箭时曾发生助推器在半空爆炸。调查表明：壳体材料

Kgf/mm2 ,工作应力

碎片中发现残留的宏观裂纹。

Kgf/mm2 ，常规强度没有问题，但在爆炸

3 裂纹导致构件脆断事故的特点

1）构件中存在宏观裂纹 它们是初始宏观裂纹（可由无损探伤查检）或初始微观裂纹在疲劳、腐蚀、多次冲击下成长为宏观裂纹。

2）低应力断裂 由于宏观裂纹尖端的应力集中，高应力区中存在二向及三向拉伸应力状态大大加强了材料脆化倾向，导致宏观工作应力大大低于静载强度指标（如

）情况下的低应力断裂破坏，破坏之前没有任何宏观塑性变形预兆。

4 Ⅰ型裂纹尖端附近的应力场

1）裂纹扩展的三种基本形式（图9-8）：其中以Ⅰ型为最危险，其远场应力（载

荷）垂直于裂纹面（见图9-9）

2）Ⅰ型裂纹尖端附近应力场（图9-10）：

局部应力场的应力分量表达式为

（9-6a）

其中 （9-6b）

控制应力场强弱程度的称Ⅰ型应力强度因子（SIF）

此处——垂直于裂纹面的远场应力（载荷）

——裂纹长度

——几何形状因子，与裂纹体几何形状、尺寸、加载情况有关。如图（9-11）。

3）断裂准则与断裂韧性

对于宏观裂纹导致的脆性断裂，即裂纹一旦起裂就迅速失稳扩展直至构件沿裂纹面断裂，以应力强度因子为控制参量建立脆断准则

（9-7）

其中与所加载荷有关（见式（9-6b），可查有关应力强度因子手册）。

由标准试样（如图9-9），按规定试验程序测试得到。如见我国正式规定文件GB4161—84（金属材料平面应变断裂韧度

试验方法）；国际上，如美国宇

航局、美国材料试验学会颁发的ASTM—E399—78。

按上述规定测得的纹快速扩展的抗力。

是材料的常量，称平面应变断裂韧度，它反映了材料对裂

强度理论的应用

1．选用原则

1）对于常温、静载、常见应力状态下通常的塑性材料，如低碳钢，其弹性失效状态为塑性屈服；通常的脆性材料，如铸铁，其弹性失效状态为脆性断裂，因而可根据材料来选用强度理论：

第三强度理论 可进行偏保守（安全）设计。

塑性材料 第四强度理论 可用于更精确设计，要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。

第一强度理论 用于拉伸型和拉应力占优的混合型应力状态。

脆性材料 第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少数材料。

2）对于常温、静载但具有某些特殊应力状态的情况，不能只看材料，还必须考虑应力状态对材料弹性失效状态的影响，根据所处失效状态选取强度理论。

① 塑性材料（如低碳钢）在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏，应选用第一强度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料脆断的试验获得。

②脆性材料（如大理石）在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效状态，应选用第三、第四强度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料屈服的试验获得。

③脆性材料在压缩型或混合型压应力占优的应力状态下，像铸铁一类脆性材料均具有

的性能，可选择莫尔强度理论。

2．题例

例9-1 试建立钢轴在弯扭组合作用下的强度条件。

解：如图9-12

轴上危险点（如1点）的正应力与剪应力简单表示为：

， ， （a）

危险点的三个主应力为， （b）

若选用第三强度理论，并引用（b）式，则有 若选用第四强度理论，并

引用（b）式，则有

（9-7a）

（9-7b）

若将（a）式分别代入（9-7a）、（9-7b）式则相应有

（9-8a） ； （9-8b）

例9-2 试对图9-13所示薄壁圆筒压力气罐推导设计壁厚的公式。（1）材料为

铸铁，已知 ；（2）材料为压力容器用钢，已知 。

解：气罐承受内压较低，一般为薄壁容器，在内压作用下产生拉伸型应力状态：

， ， （a）

对（1），选用第一强度理

论 ，

（9-9a）

对（2），选用第三强度理论

， （9-9b）

选用第四强度理论

（9-9c） ， 得出的应满足

。

例9-3 图示液压钢瓶由铸铁制成，已知平均直径，抗拉强度Mpa, Mpa，试导

抗压强度

出轴向压力设计公式。

时的壁厚

解：应力状态中各应力分量为

，，

（a）

此为压应力占优的混合型应力状态， ，选用莫尔理论：

；

若计算所得 ，则满足薄壁圆筒条件，若 则应调整有关参数，

或按厚壁圆筒进行设计。

例9-4 某中强钢 Mpa ,

Mpa

Mpa , Mpa ;某高强钢

，试估算此两种材料制成的圆筒形压力气瓶所含纵向

裂纹尺寸的临界值 （图9-15 a）

，若要求二者具有同样的工作安全系数（取 ）。

解：按脆断准则

，

（a）

则有

（b）

围绕纵向裂纹取出足够大的板块（图9-13b），近似视为无限大板，

此时：， ，

c）式（c）代入（b）：

对中强钢 mmm, 此时 Mpa。

对高强钢 Mpa。

mmm, 此时

结论：

1）对于中、低强度钢，相应断裂韧度较高，允许临界裂纹长度较长，因而对中、小型零件不会出现裂纹导致的脆断问题，主要考虑常规强度问题（应用经典强度理论）。

2）对于高强、超高强钢，如果相应断裂韧度较低，允许临界裂纹长度很短，除应进行常规强度校核外，必须严格检查与控制内含裂纹长度，利用

断裂准则

进行安全校核，因而对结构材料，高强度不是追求的唯一目标，还应提高其断裂韧性。

组合变形。概述

1．构件的受力情况分为基本受力（或基本变形）形式（如中心受拉或受压，扭转，平面弯曲,剪切）和组合受力（或组合变形）形式。组合变形由两种以上基本变形形式组成。

2．处理组合变形构件的内力、应力和变形（位移）问题时，可以运用基于叠加原理的叠加法。

叠加原理：如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂受力情

况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。

说明：

①保证上述线性关系的条件是线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；

②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无关。如10-1a图所示纵横弯曲问题，横截面上内力（图10-1b）

为N=P，M(x)=。可见当挠度（变形）较大时，弯矩中与挠

度有关的附加弯矩不能略去。虽然梁是线弹性的，弯矩、挠度与P的关系却仍为非线性的，因而不能用叠加法。除非梁的刚度较大，挠度很小，轴力引起的附加弯矩可略去。

两个互相垂直平面内弯曲的组合

图10-2(a)所示构件具

有两个对称面（y，z为对称轴），横向载荷P通过截面形心与y轴成 ? 夹角，现按叠加法写出求解梁内最大弯曲正应力的解法与步骤：

⑴根据圣维南原理，将载荷按基本变形加载条件进行静力等效处理，现将P沿横截面对称轴分解为Py、Pz，则有

，

（图a）

⑵得到相应的几种基本变形形式，分别计算可能危险点上的应力。现分别按两个平面弯曲（图b，c）计算。Py ，Pz 在危险面（固定端）处分别有弯矩：

，

（图d）。My 作用下产生以y轴为中性轴的平

面弯曲，bd与ac边上分别产生最大拉应力与最大压应力

(a) ， Mz 作用下产生以z轴为中性轴的平面弯曲,ab与cd边上分别产生最大拉应力与最大压应力 (b)

⑶由叠加法得组合变形情况下，亦即原载荷作用下危险点的应力。现可求得Py，

Pz共同作用下危险点（b、c点）弯曲正应力（同一点同一微面上的正应力代数

相加） (10-1)

上述横向载荷P构成的弯曲区别于平面弯曲，称斜弯曲。它有以下两个特点：

⑴构件的轴线变形后不再是载荷作用平面内的平面曲线，而是一条空向曲线；

⑵横截面内中性轴不再与载荷作用线垂直；或中性轴不再与弯矩矢量重合（如为实心构件）。如图10-2(e)所示，横截面上任意点m（y，z）的正应力

为 (10-2)

根据中性轴定义，令? =0，即得中性轴位臵表达式

当 ， ；现为矩形（h>b）， ，则 。形成斜弯曲，中

性轴与M矢量不重合。

当 （如图10-2中为圆截面）， ，即载荷通过截面形心任意方向

均形成平面弯曲，若圆截面直径为D，则有

(10-3)

中心拉伸或压缩与弯曲的组合

以图10-3a所示偏心压缩问题为例

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