高数下总结

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序言：除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了，而且都是考试必备知识，所

以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！

第八章向量代数与空间解析几何

1.平面的点法式方程：设平面过P（x0 ,yo , z0）,法向量n??A,B,C?，则平面方程为： A?x?x0??B?y?y0??C?z?z0??0

2.平面法向量一般求法：一般法向量n与俩向量n1?x1,y1,z1?，n2?x2,y2,z2?，则

??nn1?0n?n?n?xyz ，如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由求 ?12111??nn2?0x2y2z2

ijk第九章多元函数微分学

1.二元函数：f(x,y)?0 2.二元函数的极限：x?x0,y?y0limf(x,y)求法与一元基本一致，下判断其存在性：

2一般找俩条特殊路线，若二者极限不相等则二重极限不存在，即常取y?kx，y?kx等简单路线，若结果与K有关则极限不存在（注意一定要将x给消掉）例.判断下列二重极限是否存在，存在并求其值

xx2yx2y1x?ylim4lim(1?) 2 3 （1）lim（）（）222x?0x?yx?0x?yx???xy?0y?0y?02kx2k=解：（1）取y?kx，则原式=lim，与K有关，故极限不存在

x?0(1?k2)x21?k2kx4k （2）取y?kx。则原式=lim=，与K有关，故极限不存在 2x?0(1?k2)x41?k2 （3）此题无法利用上述方法判断其是否存在，故直接求

1?x(?1)1?xx?ylim(1?) 原式= lim(1?)= x???=e?1 （用了第二个重要极限）

xx???xy?0y?03.二元函数连续性：f(x,y)在p0(x0,y0)连续等价于

x?x0y?y0?xlimf(x,y)?f(x0,y0)

4.偏导数求法：对x求则把y看成常数，反之亦然

例.

z?ecosy2x?z?z?2z?2z （,,求为二阶偏导）

?x?y?x?y?x?y?z?z2x??e2xsiny ?2ecosy 解.

?y?x?z)2?(2e2xcosy) ?z?x????2e2xsiny

?x?y?y?y?(

5.全微分几个概念间关系

① 可微函数一定连续（不连续一定不可微） ② 可微则偏导一定存在（逆命题不成立）且 dz?③ 函数有一阶连续偏导则函数一定可微 ④ 偏导不存在一定不可微

?z?zdx?dy(全微分公式) ?x?y?x2y2? 例.讨论函数f(x,y)??x6?y3?0?,x2?y2?0,x2?y2?0在(0,0)是否可微

解. 思路：求其在(0,0)点极限是否存在，判断其连续性从而判断其是否可微

x2y21kx6limxy,)在(0,0) 取y?kx， = = 取决于k，则x?06故f(lim33x?yx?0x6?k3x61?ky?02 点极限不存在（即使存在若不等于0，该函数在(0,0)点不连续，亦不可微），故f(x,y) 在(0,0)点不连续，故函数在(0,0)不可微 6.复合函数求导法则：分道相加，连线相乘

① 中间函数为一元：u?u(x),v?v(x),z?f?u(x),v(x)? zuvx

则

dz?fdu?fdv?f 其中 ??可用 f' 表示（f对一个变量的偏导）

1dx?udx?vdx?u?f可用f' 表示，这样就避免了u、v在最后结果中出现了

2?v 同理

例.z?xtanx ，求

dz dx 解.z?f(u,v)?uv，u?x，v?tanx

则

dz?fdu?fdv???f'?f'sec2x

12dx?udx?vdxu?x② 中间函数为二元：u?u(x，y),v?v(x,y),z?f?u(x,y),v(x,y)? z

v?y?z?f?u?f?v?z?f?u?f?v?? 则下面举一个特别重要的例子 ???x?u?x?v?x?y?u?y?v?y?2z 例.f具有二阶连续偏导，z?f(x?y,xy)，求

?x?y22 解.z?f(u,v)，u?x2?y2，v?xy

则

?z?f?u?f?v ?f'2x?f'y ??12?x?u?x?v?x2?z) ?z??x?2x??f1'?u??f1'?v??f2'?y??f2'?u??f2'?v?

??u?y?v?y???u?y?v?y??x?y?y?????( ?2x?f11''2y?f12''x??f2'?y?f21''2y?f22''x? 由于f具有二阶连续偏导，故 f12''?f21'' （f12''表示f1'对第2个变量v的偏导，其他同理）故原式?4xyf11''?2x?y7.隐函数微分法

① 一个方程情形：

?22?f12''?f2'?xyf22'' 这种题一定要弄懂！！！

?zfx'?zfy'dyfx'????,??f(x,y)?0则)则0 ， f(x,y,z? dxfy'?xfz'?yfz' 例. e?xy?2z?ez?0 求全微分dz

解.令f?x??e?xy?zfx'ye?xy?zfy'xe?xy?2z?e 则???z ， ???z?xfz'e?2?yfz'e?2z?z?zye?xyxe?xy 故dz?dx?dy?zdx?zdy

?x?ye?2e?2② 方程组情形（有3个未知量时求的是导数，有4个未知量时求的是偏导）

方法：对方程两边同时对x或y或其他变量求（偏）导即可

?x?y?z?0 例（1）?222x?y?z?1?

22?xy?u?v?0dxdy求，（2）u2?v2?0?22dzdz?x?y?uv?0求

?u?v， ?x?x 解.（1）方程组两边同时对z求导得：

?????2x??dxdy??1?0dzdzdxdy?2y?2z?0dzdz?dxz?y?dz?y?x? 解得?dyz?x????dzx?y （2）方程两边同时对x求偏导得：

?u?v?y?2u?2v?0???x?x ??2x?v?u?u?v?0??x?x?8.方向导数与梯度

4xv?yu??u???x2u2?v2??? 解得??v4xu?yv????x2?u2?v2??① 方向导数：设二元函数f(x,y)在点p0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点p0(x0,y0)处沿任意方向l??0?的方向导数都存在，且其值：

?f?fx'(x0,y0)cos??fy'(x0,y0)sin? 其中?为l对x轴正向的转角

?l?x0,y0?

2y 例.求f?x,y??xe?cos(xy)在点（1,0）处沿从点P(2,1)到点Q（3,0）方向l的方向导数

解.方向l即为向量PQ??1,?1?所指方向，?=

7?22 ，又，故cos??,sin???422fx'(x,y?)2ey?ysinx( y，)f'(x,y)?2xe2y?xsin(xy) 所以，

fx'(1,0?)，

1fy'(1,0)?2 代入公式即得

?f2??

?l?1,0?2??u?u???u?,, ② 梯度：u?f(x,y,z)在P(x0,y0,z0)梯度为gradu(p)???，xyz?x?y?z000???? 它是一个向量。

9.多元函数求极值

方法：先求其一阶偏导为0的点（即驻点），再求其二阶偏导

fxx'',fxy'',fyy''

将所得驻点代入

fxx''fyy''??fxy''?2，若其值大于0则此驻点是极值点，且当

fxx''小于0时为极大值，大于0时为极小值

22例.f(x,y)?4x?4y?x?y 求其极值

解.

fx'?4?x,fy'??4?2y 令二者等于0可得驻点为（2，-2）

二阶偏导：且

2fxx''??2，f''?0，fyy''??2 故fxx''fyy''??fxy''?=4>0

xyfxx''=-2小于0 所以（2，-2）为其极大值点，代入的得极大值为8

10.多元函数微分学几何应用

? 曲面在某点切平面求法，举例说明（填空题极易考到）例.曲面z?e?2xy?3在点（1,2,0）处的切平面方程是？

解.先令f(x,y,z)?z?e?2xy?3 对其分别求x,y,z偏导得

zz?fx'?2y代入（1,2,0）? ?fy'?2x

??fz'?1?ez??fx'?4??fy'?2 ?fz'?0?'x?1）?fy'(y?2)?fz'(z?0)?0 故其在（1,2,0）切平面方程为fx（代入数据即得方程为2x+y-4=0

x?x0y?y0z?z0?? ? 曲面在某一点的法线为：

fx'?x0,y0,z0?fy'?x0,y0,z0?fz'?x0,y0,z0?

第九章重积分

二重积分求法汇总： ? 直角坐标法

?a?x?b) ： X-型区域 (?g(x)?y?h(x)??a?y?b) ： Y-型区域 (??g(x)?x?h(x)例.计算二重积分：（1）（2）

??Df(x,y)d???dx?abh(x)g(x)f(x,y)dy

??Df(x,y)d???dy?abh(y)g(y)f(x,y)dx

????Dyexydxdy，其中D为x?1,x?2,y?2,xy?1所围成的平面区域。 xydxdy,其中D为抛物线y2?x和直线y?x?2所围成的平面区域。

D 解（1）区域D如右图所示。由区域的形状，选择先积y后积x。即使用X-型区域

y y2=x y=x-2 1?1??y??y??y?2?y?2,?联立方程?， x,?x,?x?1?x?2??x?1??x?2?解得交点为：(1,1),(,2),(1,2),(2,2) 区域D?{(x,y)1?x?2,于是

12o 2x 1?y?2} x2xy1??Dyedxdy??dx?1yedy??1x2xy2dx2xyexyd(xy) (先求后面积分，由于对y积 2?1xx =

?12x2(2x?1)e1xy2[(xy?1)e1dx??dx 分故可先把x看做常数，求 21x2xx =

e2x2x1e4??e2 得的结果直接当做前面的被 2 积函数。另外后面积分中的常数可直接拿到前面积分中去）

（2）化为先对x后对y的累次积分，即Y型区域。这时D为 D?{(x,y)y?x?y?2,?1?y?2} 因此

2??Dxydxdy??dy?2-1y2y?21245 xydx??y[(y?2)2-y4]dy?2-18 （先求后面的积分，由于求的是x积分，故先把y当做常数求，求得的结果直接当做前面积分的被积函数，再继续求即可得结果） ? 极坐标法

??1????2 在极坐标中区域D可表示为?（?为区域上点和原点连线与X轴正向夹

r(?)?r?r(?)?12角，r为区域上点与原点的距离) 则

??Df(x,y)d???d???1?2r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr

例.(1)

y2222其中D为圆周x?y?4和x?y?1及直线y?0,y?xarctandxdy，??Dx所围成的在第一象限的区域。

解.采用极坐标系：积分区域D如右图所示。 D={(r,?)1?r?2,0?????4}

y 2yrsin?rdr 于是??arctandxdy??4d??arctanD01xrcos?? =

???40d???rdr

12? =

40122?r1d? 21?(4?1)d? 2o x ? =

403?23?2? =?

41664 (2)

??Dx2?y2dxdy，其中D为圆周x2?y2?2x所围成的在区域。

解.采用极坐标系：积分区域D如右图所示，圆周x?y?2x的极坐标方程为r?2cos?，则积分区域为

D={(r,?)0?r?2cos?,? 于是

22????} 222cos?0??o x ??Dx2?y2dxdy??2?d???2r?rdr

13 =?2?(r?32??2cos?01)d?=?2?8cos3?d?

3?2??1621623232cos?d??(1?sin?)d(sin?) == ??00339第十一章曲线积分 1.第一类曲线积分

计算公式：若曲线L方程为? 则

?x??(t),(??t??)

?y??(t),22?Lf(x,y)ds??f(?(t),?(t))??'(t)????'(t)?dt ???x?x,y?gx(a?x?b) 代入上述公式可得 ?? 若给的曲线L方程为，则可看做??y?g(x),

b?Lf(x,y)ds??f(x,g(x))1??g'(x)?dx a2 例.（1）计算积分

?Lx2?y2ds，L为圆周：x2?y2?ax（a?0）

ya?x?a2?2cost 解.圆的参数方程为L：?，0?t?2?； ay?sint?2?tax22 ds?(x?)?(y?)dt??Lat22dt x2?y2?a4(1?cost)2?a4sin2t?a|cos| 22?2??ta22222x?yds??a|cos|?dt?a?|cosu|du?2a?cosudu?2a2

00022 此题直接用直角坐标计算的比较麻烦。（2）计算积分

?Lyds 其中L是曲线 y?x2上介于（0,0）、（1,1）之间的一弧

2 解. 由于 y?x 所以

?Lyds ??1010x21??y'?dx

22y?x2

??x1?4xdx

1121232??(1?4x)?(55?1)08312O1

2.第二类曲线积分

?x??(t),(??t??) 则若曲线方程为??y??(t), ????P??(t),?(t?)???t'Q?? t(t?),?t(?)t 'd??x?x,(a?x?b) 代入公式得同样假如给的L方程为y??(x)，则可看为?y??(x),?

?LP(x,y)d?xQ(x,y)?d?y???P?x,?(x?)?Qabx?,(?x)?'(x? dx)例.（1）计算曲线积分

?(xL2?2xy)dx?(y2?2xy)dy，其中L是抛物线y?x2上从

点(?1,1)到点(1,1)的一段。