统计学公式汇总

统计学公式汇总

（1） αβδμσνπρυt u F X s ?2 X?X2?????Xn（2） 均数（mean）：X?1?nXn为各观察值。

（3） 几何均数（geometric mean, G）：

?X 式中X表示样本均数，X，X，

n1

2

lgXlgX1?lgX2?????lgXn?1?G?X1?X2???Xn?lg()?lg()式中

nnn?1G表示几何均数，X1，X2，Xn为各观察值。

（4） 中位数（median, M）

n为奇数时，M?X(n?1)2n()2

n为偶数时，M?[X?Xn(?1)2]/2

式中n为观察值的总个数。

（5） 百分位数 Px?L?i(n?x%??fL) 式中Ｌ为Ｐx所在组段的下限，fx为其频fx数，i为其组距，?fL为小于Ｌ各组段的累计频数。

（6） 四分位数(quartile, Q) 第25百分位数P25，表示全部观察值中有25%（四分之一）

的观察值比它小，为下四分位数，记作QL；第75百分位数P75，表示全部观察值中有25%（四分之一）的观察值比它大，为上四分位数，记作QU。

（7） 四分位数间距 等于上、下四分位数之差。

?(X??)2（8） 总体方差 ??

N2?(X??)2（9） 总体标准差 ??

N?(X?X)2?X2?(?X)2/n（10） 样本标准差 s? ?n?1n?1（11） 变异系数(coefficient of variation, CV) CV?s?100% X（12） 样本均数的标准误 理论值?X??n 估计值sX?sn 式中σ为总体标准差，s

为样本标准差，n为样本含量。

（13） 样本率的标准误 理论值?p??(1??)n 估计值sp?p(1?p) 式中π为总n体率，p为样本率，n为样本含量。

（14） 总体率的估计：正态分布法，（p?u??p(1?p)/n,p?u??p(1?p)/n） 式

snsn中p为样本均数，s为样本标准差，n为样本含量。

（15） 总体均数的估计t分布法：（X?t?,??,X?t?,??） 式中X为样本均数，s

为样本标准差，n为样本含量，ν为自由度。 （16） 总体均数的估计u分布法：

总体标准差σ未知但较大时，（X?u??s为样本标准差，n为样本含量。

总体标准差σ已知时，（X?u??总体标准差，n为样本含量。

（17） 样本均数与总体均数比较的t检验：t?sn,X?u??sn） 式中X为样本均数，

?n,X?u???n） 式中X为样本均数，σ为

X??0s/n ??n?1 式中X为样本均数，

?0为欲比较的总体均数，s为样本标准差，n为样本含量，ν为自由度。

（18） 样本均数与总体均数比较的u检验： u?X??0s/n 式中X为样本均数，?0为欲

比较的总体均数，s为样本标准差，n为样本含量。

（19） 样本均数与总体均数比较的u检验：u?X??0?/n 式中X为样本均数，?0为欲比

较的总体均数，σ为总体标准差，n为样本含量。

（20） 配对设计差值的符号秩和检验正态近似法公式：

u?T?n(n?1)/4n(n?1)(2n?1)?(t?tj)?24483j 式中T为秩和，求秩和方法：差值d=（X-

μ0）；依差值的绝对值从小到大编秩；差值为0者，舍去不计；如果差值相等，取平均秩次；分别求出正、负秩次之和T（+）、T（-）；T为二者绝对值较小者；n为样本含量，但不包括差值等于0者；tj（=1，2，···）为第j个相同差值的个数。

t?（21） 配对设计两样本均数比较的t检验：

d?0sd/n ??n?1 式中d为差值d的均数，

sd为差值d的标准差，n为样本含量(即样本对子数)，差值d=各对子数据之差（含正负号！），ν为自由度。

（22） 成组设计两样本均数比较的t检验：

t?X1?X2?sX1?X2X1?X2?X21?(?X1)/n1??X?(?X2)/n211(?)n1?n2?2n1n22222

??n1?n2?2 式中X1和X2分别为两个样本均数， n1和n2为两个样本含量，

ν为自由度。

（23） 样本率与总体率的比较：未校正的正态近似法u?X?n?0n?0(1??0) 或

u?p??0?0(1??0)/n式中X为样本阳性数，π0为欲比较的总体率，p为样本率， n

为样本含量。

（24） 样本率与总体率的比较：校正的正态近似法u?|X?n?0|?0.5n?0(1??0) 或

u?|p??0|?1/2n?0(1??0)/n式中X为样本阳性数，π0为欲比较的总体率，p为样本率， n

为样本含量。

（25） 样本率与总体率的比较：直接计算概率法：首先按照二项分布的原理计算从0到n

各个X的概率值P（X）=

n!(1??0)n?X?0X。左单侧：PL表示从0到Xs

X!(n?X)!的累计概率；右单侧：PR 表示从Xs到n的累计概率；单侧概率P=MIN（PL, PR）；双侧概率P的计算方法有三种：A，单侧概率乘2；B，当X大于nπ0时，双侧概率=P（≥X）+P（≤(2 nπ0-X)）；当X小于nπ0时，双侧概率=P（≤X）+P（≥(2 nπ0-X)）；C，将P（X）≤P（Xs）的各个概率值相加，即得双侧累计概率，即P=∑P（X），X满足条件P（X）≤P（Xs）。式中X为样本阳性数，π0为欲比较的总体率，Xs为样本阳性数， n为样本含量。

（26） 两个样本率的比较：正态近似法u?p1?p2s?s2p12p2?p1?p2p1(1?p1)p2(1?p2)?n1n2 式

中p1和p2分别为两个样本率， n1和n2为两个样本含量。

（27） 两个样本率的比较：正态近似法u?p1?p2pc(1?pc)(11?)n1n2,pc?n1p1?n2p3

n1?n2式中p1和p2分别为两个样本率， n1和n2为两个样本含量。

(A?T)2（28） 四格表?检验：??? ν＝（行数－１）（列数－１）式中A为实际

T22频数（actual frequency），T为理论频数（theoretical frequency），TRC?nRnC 式中nTRC表示R行（row）C列（column）的理论频数，nR为相应行的合计值，nC为相应列的合计值，n为总例数，ν为自由度。

(ad?bc)2n（29） 四格表?检验专用公式：?? ν＝（行数－１）（列

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)22数－１）式中a，b，c，d为四格表的四个实际频数，n为总例数，ν为自由度。

(|ad?bc|?n/2)2n（30） 四格表?值的校正公式：?? ν＝（行数－１）（列

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)22数－１） 式中a，b，c，d为四格表的四个实际频数，n为总例数，ν为自由度。

A2（31） 行×列表?检验公式：??n(?（C－１）式中A为?1) ν＝（R－１）

nRnC22实际频数（actual frequency），nR为相应行的合计值，nC为相应列的合计值，n为总例数，，R为行数，C为列数，ν为自由度。

（32） 行×列表?检验公式：??n(22??nmi?1j?1iRCAij（C－１）式中Aij?1) ν＝（R－１）

j为实际频数（actual frequency），ni为相应行的合计值，mj为相应列的合计值，n为总例数，R为行数，C为列数，ν为自由度。

（33） 四格表的确切概率法：P?(a?b)!(c?d)!(a?c)!(b?d)! 式中a，b，c，d为

a!b!c!d!n!四格表的四个实际频数，n为总例数。取表原则可分为“差数极端法”和“概率极端法”。多数情况下，二者所得结果一致，但个别情况下，所得结果不同。一般认为，“概率极端法”最准确。

(b?c)2（34） 配对四格表的?检验：??，ν=1，式中b，c为结果不一致的对子数。

b?c22（35） 配对四格表的?检验校正公式：??致的对子数。

（36） 矩法正态性检验

22(b?c?1)2b?c，ν=1，式中b，c为结果不一

n?fX3?3?fX?fX2?2(?fX)3/n g1?(n?1)(n?2){?fX2?(?fX)2/n]/(n?1)}3/2(n?1)[n?fX4?4?fX?fX3?6(?fX)2?fX2/n?3(?fX)4/n2]3(n?1)2g2??222(n?2)(n?3)(n?1)(n?2)(n?3){[?fX?(?fX)/n]/(n?1)}

?g16n(n?1)?(n?2)(n?1)(n?3)

?g224n(n?1)2 ?(n?3)(n?2)(n?3)(n?5)f为相同X的个数，n为样本例数。 ug1?g1/?g1 ug2?g2/?g2 式中X为变量值，

（37） 二项分布的概率

A. 恰有X例阳性的概率，记为P(X)

P(X)?(n1??)n?X?X，X=0，1，2，?，n X)((nX)?n!

X!(n?X)!式中X为阳性数，π为总体阳性率，n为样本例数，！为阶乘符号。 B. 最多有k例阳性的概率，记为P(X≤k) P(X≤k)=

?P(X) X=0，1，2，?，n

0kC. 最少有k例阳性的概率，记为P(X≥k) P(X≥k)=

?P(X) X=0，1，2，?，n

kn（38） Poisson分布的概率

A. 恰有X例阳性的概率，记为P(X)

P(X)?e???(?X/X!)，X=0，1，2，?，n

式中μ=nπ，为Poisson分布的总体均数，X为单位时间（或面积、容积等）某事件发生数，e为自然对数的底。

式中X为阳性数，π为总体阳性率，n为样本例数，！为阶乘符号。 B. 最多有k例阳性的概率，记为P(X≤k) P(X≤k)=

?P(X) X=0，1，2，?，n

0kC. 最少有k例阳性的概率，记为P(X≥k) P(X≥k)=

（39） Poisson分布样本均数与总体均数比较 u??P(X) X=0，1，2，?，n

knX???。式中X为样本阳性数，λ为总

体均数。注意：样本的观察单位数应等于总体的观察单位数，否则，应根据二者观察单位数之比相应调整λ。

?X（40） Poisson分布两个样本均数比较 u?1n1??Xn22n22?Xn121X??。式中∑X1为第一个样本阳

2性数之和，n1为第一个样本的观察单位数之和，∑X2为第二个样本阳性数之和，n2

为第二个样本的观察单位数之和。

（41） Pearson相关系数计算公式：r??(X?X)(Y?Y)?(X?X)?(Y?Y)ii2ii2?lXYlXXlYY

（42） Pearson列联系数计算公式：P??2??n2 式中n为样本含量。

（43） 关联系数：r?（44）

?2n 式中n为样本含量。

?X（40） Poisson分布两个样本均数比较 u?1n1??Xn22n22?Xn121X??。式中∑X1为第一个样本阳

2性数之和，n1为第一个样本的观察单位数之和，∑X2为第二个样本阳性数之和，n2

为第二个样本的观察单位数之和。

（41） Pearson相关系数计算公式：r??(X?X)(Y?Y)?(X?X)?(Y?Y)ii2ii2?lXYlXXlYY

（42） Pearson列联系数计算公式：P??2??n2 式中n为样本含量。

（43） 关联系数：r?（44）

?2n 式中n为样本含量。

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