大学毕业设计 - 全等三角形在初中数学中的应用

曲靖师范学院

本科生毕业论文

论文题目: 全等三角形的证明在初中数学中的应用

作者、学号：李发蝌 2011111233

学院、年级：数学与信息科学学院 2011级 学科、专业：数学 数学与应用数学 指 导 教 师：罗红英 完 成 日 期：2015年5月20日

曲靖师范学院教务处

全等三角形的证明在初中数学中的应用

摘 要

“全等三角形的证明”是在初中数学平面几何中占重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大．论文整理和归纳了全等三角形证明的步骤及其注意事项，分别列举了几种常用的全等三角形的证明方法，让每一种方法兼有理论与实践性．旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．

关键词：全等三角形；初中数学；方法；应用

Prove congruent triangles used in in junior high school

mathematics

Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous. The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality. Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference.

Key word: Entire and so on triangles; Junior middle school mathematics; Method; Using

目 录

1引言 …………………………………………………………………………………………1 2文献综述 ……………………………………………………………………………………1 2.1国内研究现状 ……………………………………………………………………………1 2.2国内研究现状评价 ………………………………………………………………………2 2.3提出问题 …………………………………………………………………………………2 3证明全等三角形的知识梳理及注意事项 …………………………………………………2 3.1全等三角形的知识梳理 ………………………………………………………………2 3.2证明全等三角形的步骤及注意事项……………………………………………………4 4证明全等三角形的构造法…………………………………………………………………4 4.1构造全等三角形的常用方法………………………………………………………5 4.1.1截长补短法……………………………………………………………………………5 4.1.2平行线法………………………………………………………………………………6 4.1.3旋转法……………………………………………………………………………6 4.1.4倍长中线法……………………………………………………………………………7 4.1.5翻折法……………………………………………………………………………8 4.2由角平分线构造全等三角形……………………………………………………………8 4.3添加辅助线构造全等三角形……………………………………………………………9 4.3.1直接证明线段（角）相等………………………………………………………………9 4.3.2转移线段到一个三角形中证明线段相等……………………………………………10 4.3.3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系………………………………………13 5全等三角形的证明在初中数学中的应用…………………………………………………14 6总结…………………………………………………………………………………………18 6.1主要发现…………………………………………………………………………………19 6.2启示………………………………………………………………………………………19 6.3局限性……………………………………………………………………………………19 6.4努力方向…………………………………………………………………………………19 参考文献 ……………………………………………………………………………………20

1引言

“全等三角形”是初中数学阶段的“图形与几何”中的重要内容之一，它不仅是研究平面几何相关问题的重要工具,而且还是中学数学的基础知识.然而，全等三角形的性质是推理线段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考题中都会有“全等三角形”的内容,考试题目常以直角三角形、等腰三角形、等边三角形、特殊四边形为背景,主要考查线段相等、角相等的证明、线段长度的计算、面积的计算等.常考的题型有填空题、选择题和解答题.这部分试题的难度通常不大,多以中低档题为主，约占总分值的4%至11%.《数学课程标准》对全等三角形的要求是让学生掌握基本的推理技能，从图形变换中建立空间观念，尝试用不同角度的方法来解决问题，发展几何直觉，通过观察、实践、归纳、类比、推断、验证获得数学思想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的抽象性和严谨性.

对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形之间联系研究的第一步，它是两三角形间最简单、最常见的关系.“全等三角形的证明”条件是学生在认识三角形的基础上，在了解全等图形和全等三角形以后进行学习的.它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似三角形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据.因此，它具有承上启下的作用,同时，人教版教材里叙述了证明全等三角形的四种方法，分别是“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”，还有一种特殊的方法是在直角三角形中“斜边和一条直角边”，它们用特定的字母表示为“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要将“边角边”这一识别方法作为五个基本判定之一，对全等三角形证明的学习有基础作用.

2 文献综述

2．1国内研究现状

国内许多专家、学者研究过全等三角形的证明方法.全等三角形的证明一直在初中数学平面几何中占重要位置，然而，近几年它获得了广大人民群众的关注.刘建东在文[1]中编著了以构造全等三角形来探究不等式的证明，形象的写出了全等三角形的作用及其应用.同年，好未来研发中心在文[2]研发了添加了辅助线的添加方法，全等三角形的用处多，并配合人教社教材八年级数学叙述了不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数

1

学思想.同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣.杨晓军在文[3]中精选了有关全等三角形的中考题进行解析，让同学们找到中考复习方向，引领学生成功中考.林伟杰在文[4]全析了全等三角形的性质、判定及其应用.刘申强在文[5]中编著了全等三角形在生活中的应用，从生活中的不同角度研究了全等三角形，发现数学在现实生活中的美.黎强在文[6]提出了《全等三角形》的教学构想，指出了如何确定教学目标，教学重难点.喻俊鹏在文[7]中，编著了全等三角形的易错题，并结合实例列举了初中数学中全等三角形的若干案例，分析出了学生在有关全等三角形的证明解题过程中存在的各种问题.刘玉东、董云霞、查贵宾在文[8]、[9]、[10]中探讨了构造全等三角形的方法与技巧.张文国在文[11]中总结了全等三角形的创新题，让读者以创新思维思考全等三角形的证明.保明华在文[12]中讨论了全等三角形中考探索题，让学生感受证明全等三角形的探索性和创新性，并且辅导学生掌握全等三角形的证明的方法.李怀奎在文[13]中指出如何对基本图形的认识来找全等三角形，从基本的图形认识开始发现全等三角形.解广义在文[14]中进行了全等三角形的教学设计，生动形象的设计了全等三角形证明的教学过程.姜彰全,吴颖二人在文[15]中讲解了如何巧证全等三角形，淋漓尽致地写出了全等三角形的证明技巧.

2．2国内研究评价

从查到的国内文献来看，国内研究者对全等三角形的证明方法介绍了很多，文献[1-15]分别全等三角形的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种全等三角形的证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如构造法在形式上都是根据三角形的性质来进行分解求解的，但不同的图形有不同的构造方法，所以，有必要重新整理和归纳全等三角形证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性.

2．3提出问题

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，而且全等三角形的证明历来是中学特别是初中数学教学的一个重点和难点.因此，在前人研究全等三角形的证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法.

3 证明全等三角形的知识梳理及注意事项

2

3．1全等三角形知识梳理

定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形（注：相似三角形的特殊情况是全等三角形）.

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.

所以，可以得出：全等三角形的对应角相等，对应边相等.

(1) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (2) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，公共角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 三角形全等的判定公理及推论

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“SSS”)，这一条说明了三角形具有稳定性.

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边” 或“SAS”). 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角” 或“ASA”). 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边” 或“AAS”).

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边，直角边” 或“HL”).

所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理.

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状.【A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)】

全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等.

2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等 [1].

3

3．2证明全等三角形的步骤及注意事项

如何学好全等三角形的证明呢？这就要小步走，勤思考，进行由易到难的训练，实现由实（题目已有现成图形）到虚（要自己画图形或需要添加辅助线）、由模仿证明到独立推理的升华.具体可分为三步走： 第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿.这期间要注意课本例题证明的模仿，使自己的证明语言准确，格式标准，过程简练.证明两个三角形全等，一定要写出在哪两个三角形，这既为以后在复杂图形中有意识去寻找需要的全等三角形打下基础，更方便批阅者；同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错；证全等所需的三个条件，条件不明显的要先证明，最后用大括号括起来；每一步要填注理由，训练思维的严密性.通过训练一段时间，对证明方向明确、内容变化少的题目，要能熟练地独立思考证明，切实迈出坚实的第一步.第二步，能在一个题目中用两次全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析.在学习等腰三角形全等、直角三角形时逐步加深难度，学会一个题目中证两次全等，特别要学会用分析法有条不紊地寻找证题途径，分析法目的性强，条理清楚，结合综合法，能有效解决较复杂的题目.同时，这时的题目一般都不只一种解法，要求一题多解，比较优劣，总结规律.第三步，学会命题的证明，掌握添加辅助线的常用方法.命题的证明可全面培养数学语言（包括图形语言）的运用能力，则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁就要用到辅助线，这都有一定的难度，切勿前功尽弃，放松努力.同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平分线＋垂直＝全等三角形”.证明全等不外乎要边等、角等的条件，因此在平时学习中就要积累存在或可推出边等（或线段等）、角等的情况.应用起来自然会得心应手.

4 证明全等三角形的构造法

所谓构造法，就是指通过分析条件和结论充分细致，抓住问题的特征，恰当地构造辅助元素，联想熟知的数学模型，然后变换命题，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学思考方法.构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出精巧、简捷、明快、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性.

4．1构造全等三角形的常用方法

截长补短法、平行线法（或平移法）、旋转法、倍长中线法、翻折法. 4．1．1 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）

4

“截长法”即根据已知条件把结论中最大的线段分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.

例1 如图（1）已知：正方形ABCD中，?BAC的平分线交BC于E，求证：

AB?BE?AC.

简析：图中没有直接给出与问题有关的全等三角形，所以要延长一条直线，构造出全等三角形，根据角相等证明出三角形是等腰三角形，然后利用转换思想BE?BF，就可以证明出结果.

证明:延长AB至F使AF?AC ∵AE是?CAB的平分线 ∴?FAE??CAE 在?FAE和?CAE中 ∵AF?AC ∵?FAE??CAE ∵AE?AE

∴?FAE??CAE(SAS) ∴?EFA??ECA?45? ∴?BFE是等腰直角三角形 ∴BE?BF

∴AF?AB?BF?AB?BE ∴AB?BE?AC

小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两

5

条（或几条）线段转化到同一直线上．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：延长其中一条短线段，在上面上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法就是这两种．

4．1．2平行线法（或平移法）

若题目中含有中点可以试过中点作平行线或中位线（平行且等于第三边的一半），对直角三角形,有时可作出斜边的中线．

例2 如图，在?ABC中，?BAC?60?，?C?40?,AP平分?BAC交BC于点P，

BQ平分?ABC交AC于Q，求证:AB?BP?BQ?AQ

图（3）

说明:(1)本题可以在AB截取AD?AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法\．

(2)本题利用“平行线法”的解法较多，举例如下：

① 如图（2），过O作OD//BC交AC于D，则证明?ADO??ABO解决． ② 如图（3），过O作DE//BC交AB于D，交AC于E，则证明?ADO??AQO和

?ABO??AEO解决．

③ 如图（4），过P作PD//BQ交AB的延长线于D，则需证明?APD??APC解决． ④ 如图（5），过P作PD//BQ交AC于点D，则只需证明?ABP??ADP解决． 4．1．3旋转法

对题目中出现相等的线段有一个公共端点时，可尝试用旋转法来构造全等三角形 例3 如图，设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PB?PC的大小．

6

图（6）

简析：题目虽然短，但涉及到的知识点很多．由于?ABC是等边三角形，所以可以将?ABP绕点A旋转60?到?ACP?的位置（用到等量代换），连结PP?，则

?ACP???ABP(SAS)，所以AP??AP，CP??BP，则?APP?是等边三角形，即PP??PA，

在?CPP?中，因为PP??PC?P?C，所以PA?PB?PC．

说明：由于图形旋转的前后，只是变化了位置，而大小和形状都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形解题． 4．1．4倍长中线法

题目中若条件有中线，可将其延长一倍，以构造新的全等三角形，从而使分散条件集中在一个三角形内．

例4 如图，在?ABC中，AD是它的中线，作BE交AD于点F，使AE?EF． 说明线段AC与BF相等的理由．

图（7）

简析： 由于AD是?ABC中线，于是可延长中线AD到G，使DG?AD，连结BG，则 在?ACD和?GBD中，AD?GD，?ADC??GDB，所以?ACD??GBD(SAS)， 则

AC?GB，?BFG??G，而AE?EF，所以?CAD??AFE， 又因为?AFE??BFG，

所以?BFG??G， BF?BG，即AC?BF．

说明 ：要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而

7

遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 4．1．5翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例5 如图，已知：在?ABC中，?A?45?，AD?BC，如果BD?4，DC?3， 求

?ABC的面积．

图（8）

解：以AB为轴将?ABD翻转180o，得到与它全等的?ABE，以AC为轴将?ADC翻转180o，得到 与它全等的?AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方

t?BGC形，设它的边长为?，则BG???4，CG???3，在R中，(??4)2?(??3)2?52,

解得??8，则AD?6，所以S?ABC?5?8?20． 2说明：当从题目已知中不能直接明确的求出问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特殊的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步．

4．2由角平分线构造全等三角形

不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．

例6 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，?DBC?45?，翻折梯形ABCD，使点

B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD?4，BC?10．求BE的长．

图（9） 图（10）

8

解：由题意得

根据翻折重合，得?BFE??DFE，∴ DE?BE

在?BDE中，DE?EB，且?EBD?45?∴ ?EDB??EBD?45? ∴ ?BED?90?，即BC?DE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，

过A作BC?AG，交BC于G，如图（10），四边形AGED是矩形∴ GE?AD?4 在Rt?ABG和RtRt?DCE中，DC?AB，DE?AG ∴Rt?ABG?Rt?DCE(HL)，∴ BG?CG∴CE?∴BE?6．

说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的，可以根据角平分线上的点到两边的距离相等，就构造出直角三角形，进而对称轴就是公共边，就可以用HL证明全等三角形.

1?BC?AD??4 24．3添加辅助线构造全等三角形

在证明几何图形题目的过程中，通常需要先通过证明全等三角形来研究转移线段或角，或者两条线段或角的相等关系。但有些时候，这样要证明的全等三角形在题设中，并不是十分明显。针对这样的题型我们需要通过添加辅助线，构造出全等三角形，进而就可以证明所需的结论.

在这里，我尝试通过几个典型例题让大家了解添加辅助线构造全等三角形的方法.当然这些例题体现了添加辅助线的方法是从简单到复杂，从特殊到一般，研究线段的长短关系是体现了从不相等到相等的递进关系[2].

注意：添加的辅助线都是用虚线表示. 4．3．1直接证明线段（角）相等

例7 如图，已知AB?AD，CB?CD，(1)求证：?B??D；(2)若AE?AF，试猜想CE与CF的大小关系.

如图（11）

9

简析：第（1）小问考虑到在没有学习等腰三角形的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题要证明?B??D．在题目的已知条件中明显缺少全等的三角形，我们就要想到添加辅助线连结AC后，以AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看出?ABC??ADC，进而就证明?B??D.如果在学习等腰三角形的知识后还可以连结BD，通过说明等边对等角，再用角的等量代换关系得到

?B??D更加简单.

第（2）小问猜想CF?CE，在连结AC证明?ABC??ADC后，得到?CAE??CAF，再证明?CAE??CAF，进而证明EC?FC.

如何添加辅助线：方法1添加辅助线，连结AC，证明?ABC??ADC，进而?B??D.

BD??CDB方法2添加辅助线连接BD，因为AB?AD，所以，?ABD??ADB．即?C，

?ABD??CBD??ADB??CDB，即?B??D.又因为BE?DF，CB?CD,故?BCE??CDF，进而CE?CF.

小结：通过例7我们初步体会添加辅助线的必要性，例7的两个小问的简析，从添加辅助线证明一次全等三角形得角相等，然后到添加辅助线证明二次全等三角形得线段相等，我们可以感觉到问题层次的递进.特别是例7(1)中如果B、C、D共线的时候可以得到等边对等角的结论，为第（2）问做铺垫. 4．3．2转移线段到一个三角形中证明线段相等

例8 如图，已知AD是?ABC的中线，且BE交AC于点E，交AD于点F，且

EA?EF.求证：AC?BF.

图（12）

简析：要证AC?BF，我们可以把线段AC、BF转移到它们所在的三角形中，然后证明这两个三角形全等，显然图中没有直观的给出含有AC、BF的两个全等三角形图形，但我们可以根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不是太容易，这时我们就要重新思考一条出路，想到在同一个三角形中等角对等边，这时能够把两条线段转移到同一个三角形中，我们只要说明转移在同一个三角形后的这两条线段

10

所对的角相等就可以了.

BF，简析：思路1 以?ACD为基础三角形，来转移线段AC、使这两条线段在?BFH中.法一：延长AD到H，使HD?AD，连结BH，再证明?ACD和?HBD全等，可得

AC?BH.通过证明?DHB??HFB，就可得到BF?BH.

图（13）

证明：添加辅助线延长AD到H，使HD?AD，连结BH ∵ D是BC中点 ∴ BD?CD

在△?ACD和?BDH中

?DH?AD???B DH ??ADC?BD?CD? ∴ ?ACD??BDH(SAS) ∴ AC?BH，?DHB??HFB ∵ AE?EF ∴ ?EAH??EFA 又∵?BFH??AFE ∴ BH?BF ∴ AC?BF

法二：可以过点B作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明?ACD和?BDH全等.

小结：对于含有中线的全等三角形问题，可以通过“倍长中线”法得到两个全等三

11

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eok6.html