第7章 单一方程的 ECM模型

第7章 单一方程的 ECM模型

本章假定变量为一阶单整变量，若变量为高阶单整变量可以先变换成一阶单整变量，然

后再运用本章的结论。

7.1 EG两步法

依据Granger定理具有向量移动平均形式的一组I(1)协整变量必然存在误差修正模型表达式。下面介绍几种利用协整变量建立误差修正模型的方法。重点介绍Engle-Granger两步法（1987年提出）。 7.1.1 EG（Engle-Granger）两步法

第一步。首先用OLS法估计协整向量（若协整性存在，此回归称为协整回归；否则为虚假回归）。

第二步。以第一步求到的残差项作为非均衡误差直接用于误差修正模型中，并用OLS法估计。

以二变量关系为例具体介绍EG两步法：

第一步：假定两个I(1)协整变量yt, xt具有如下关系 yt = ? xt + ut (7.1) 其中ut ? I(0)，则yt, xt的长期关系是

yt = ? xt (7.2)

EG两步法的第一步是通过

?x + yt = ?t

?tu (7.3)

用OLS法估计协整向量 (1 -? )'。

注意：

① 当yt, xt长期关系未知时，如有必要可在协整回归式中加上常数项和趋势项。 ② 因长期关系未知，在进行协整回归之后，还应检验yt, xt是否真正存在协整关系。此

?表示协整参数 ? 的估计量，检验称为协整检验，检验方法下一节介绍。用?用

?tu?x) = ( yt -?t

表示估计的非均衡误差。

?t引入下式，建立误差修正模型 第二步：EG两步法的第二步是把非均衡误差项u?x) + v (7.4) ?yt = ? ?xt + ? (yt -1 -?t -1t?x) 是误差修正项。?x) = 其中 ? ( yt -?( yt -?tt

?tu? I(0)。因为 yt, xt ? I(1)，所以 ?yt, ?xt ? I(0),

误差修正模型中所有项都是I(0) 的。可以用OLS法估计上式。相应被估参数的t统计量渐进服从正态分布。且具有一致性。

注意：

如认为上式动态性不足，即vt中存在自相关，可以在模型右侧加入 ?yt, ?xt的滞后项。从理论推导讲，应同时相应增加误差修正项的滞后期；从实际运用讲，也可以不增加误差修正项的滞后期。

7.1.2 EG两步法的优点

⑴ 每一步只需作单方程估计； ⑵ 全部参数估计量都具有一致性。

⑶ 方法简便，只在第二步才开始引入动态项；

⑷ 在第一步完成的同时也得到了检验协整性的统计量。

7.1.3 既然yt, xt ? I(1)，为什么协整回归仍可采用OLS法？ Engle-Granger证明如果yt, xt存在协整关系，则用OLS法得到的协整参数估计量和误差修正模型中短期参数估计量都具有一致性。而且由第一步得到的协整参数估计量还具有超一

?是O(T -1/2)；?是O(T -1) ；致性。当yt, xt ? I(0)时，?当yt, xt ? I(1)时，?。（即随着T的增大，pp

协整参数估计量的抽样误差迅速减小）

10.80.6① 0.40.2③ 20②406080 ?的收敛速度 （模型：y = 0.5 + 0.8 x + u） 图1 ?ttt1

注：（1）图中曲线①、②、③对应的设定条件是曲线①表示yt与xt为 I(0)变量，曲线②为I(1)变量且存在

协整关系，曲线③为I(1)+trend变量且存在协整关系。

（2）图中横轴表示样本容量。曲线到横轴的垂直距离为置信区间半径（收敛于真值的半径）。图中可见

样本容量越大估计越准确；I(1)+trend变量且存在协整关系时估计越准确。

注意：

① 一般情况下，上面的结论对多元向量也是适用的。当向量中含有N个变量，则有可能存在N -1个协整向量，每一个协整向量内的协整参数都具有超一致性。

② 尽管协整参数估计量具有超一致性和强有效性，但这并不意味着在小样本条件下协整参数也具有优良特性。实际上协整参数的小样本特性是有偏的，这种偏倚有时会相当大。

7.2 协整检验

7.2.1 协整检验与单位根检验的关系

协整检验与单位根检验关系密切。若N个时间序列存在协整关系，则非均衡误差必然是I(0)的。若N个时间序列不存在协整关系，则非均衡误差必然是I(1)的。因此可以通过对非均衡误差序列的单位根检验（H0：时间序列非平稳，H1：时间序列平稳）检验

H0：序列间不存在协整关系， H1：序列间存在协整关系。 7.2.2. 先检验时间序列的单整性

在检验一组时间序列的协整性或长期均衡关系之前应首先检验时间序列的单整阶数。如果变量个数多于两个，即解释变量个数多于一个，被解释变量的单整阶数不能高于任何一个解释变量的单整阶数。另当解释变量的单整阶数高于被解释变量的单整阶数时，则必须至少有两个解释变量的单整阶数高于被解释变量的单整阶数。如果只含有两个解释变量，则两个变量的单整阶数应该相同。

7.2.3 当协整向量已知时

当协整向量已知时，非均衡误差序列是准确可知的。若要对非均衡误差序列作平稳性检

验，应该使用DF、ADF统计量。

例：已知yt, xt ? I(1)，协整向量为 (1 -? )'，则非均衡误差序列为

ut = yt - ? xt (7.5) 对ut可作DF、ADF检验。

7.2.4 当协整向量未知时

1. 协整检验统计量

当协整向量未知时，ut也是未知的。所以只能对ut进行估计。最常用的方法是按EG两

?t表示估计的非均衡误差，应该步法的第一步进行协整回归，估计非均衡误差序列。若用u用如下两式

?t = ? ?u?t = ? ?u?t?1 u?t?1 u+ ?t (7.6) +

?ki?1?t?i?i?u + ?t (7.7)

检验其平稳性。上两式分别称为EG和AEG检验，亦称为以残差为基础的协整性检验。相

对于参数 ? 的检验用统计量分别称为EG和AEG统计量。计算公式与DF, ADF统计量相

?/s(??)。 同，即? H0: ? = 0（ut非平稳），即该组变量不存在协整关系。

当一组变量存在协整关系时，协整参数才可以通过协整回归进行估计。然而，既使这组

变量存在协整关系，EG和AEG统计量的分布仍然是非标准的。如果这组变量不存在协整

?t序列必含有单位根。因第一步回归参数在关系，则EG两步法的第一步回归为虚假回归。u?t是ut的估计量，所以EG和AEG统计量的渐进分布零假设条件下是虚假回归的参数，且u不仅不同于正态分布，也不同于DF和ADF分布。因此DF检验临界值不能用于协整检验。

因EG两步法的第一步回归（协整回归）为OLS回归，自然导致残差的方差极小。这将导致残差序列平稳（统计量的值在临界值左侧），即拒绝零假设的比率将比实际情形大。因此EG和AEG检验临界值应该比DF和ADF检验临界值更负些。

注意：

① EG和AEG检验临界值还与协整回归中非平稳变量的个数有关。随着变量个数的增多，临界值向左移动。

EG和DF分布示意图

② EG和AEG检验的临界值可以从两个表中查到。（1）Engle-Yoo提供的临界值表（附表8），（2）Mackinnon提供的临界值表（附表9）。

2. Mackinnon协整检验临界值表（附表9）的用法。

Mackinnon协整检验临界值C(p) 计算公式是

C? = ?? + ?1 T -1 + ?2 T -2 (7.8) 其中C? 表示临界值，? 表示检验水平，?? , ?1和 ?2的值可以从Mackinnon临界值表中查

出。上述函数称为响应面函数。它以T为自变量，可以计算出任何样本容量所对应的临界值。临界值C? 还与检验水平?，所含时间序列个数N，协整回归中是否含有位移项、趋势项等因素有关。

例1：若N = 1，T = 50，? = 0.05，无位移项 ?, 无趋势项t, 则 C0.05 = -1.939 - (0.40 / 50) = 1.95 .

例2：若N = 2，T = 50，? = 0.05，有位移项 ?, 有趋势项t, 则 C0.05 = -3.78 - (9.42 / 50) - (15.06 / 50 2 ) = -3.97

Mackinnon临界值表把协整检验和单整检验结合在一起，即把ADF检验和AEG检验结合在一起。当N = 1时，只含有一个变量。检验的是单整性问题。N = 1对应的是ADF检验（直接对原变量进行检验）。当变量个数N > 1时，对应的是AEG检验（协整性检验）。

3. 协整检验步骤

⑴ 首先进行协整回归。

? x + xt1 =??2 x2t + … + ?N tN?tu (7.9)

? … -??是OLS估计量，若存在协整关系，则协整向量为 (1 -??)'。 其中??2, …, ?2NN⑵ 对ut进行非平稳性检验。

H0：ut非平稳（即xt1, …, xN t不存在协整关系），

H1：ut平稳（即xt1, …, xN t存在协整关系）。 AEG检验可利用以下三式（AEG回归）完成，

?t = ? ?u?t?1 u+??t?1 uki?1?t?i?i?uki?1 + ?t (7.10)

+ ?t (7.11)

+ ?t (7.12)

?t = ?0 + ? ?u+??t?i?i?uki?1?t = ?0 + ?1 t + ? ?u?t?1 u+??t?i?i?u 当需要加位移项和趋势项时，可以加在协整回归中也可以加在AEG回归中。但只需加在一个回归式中，不必重复加入。

4. 检验N个变量是否存在协整关系的另一种方法是协整回归DW检验（CRDW检验，cointegration regression DW）。CRDW检验由Sargan-Bhargava (1983) 提出。其计算公式与通常的DW统计量计算公式完全一样。

TTt CRDW =

?(u?t?2?t?1)?u2?u?t?12t (7.13)

?t表示由协整回归得到的残差序列。CRDW检验的零假设是存在一个单位根，即ut为其中u随机游走过程。这是因为DW统计量只能用来检验一阶自相关。

ut = ? ut-1 + vt , vt ? IID(0, ? 2 ) (7.14)

T = 50条件下，CRDW统计量的分布如下：

T = 50时的CRDW分布

H0：? = 1； CRDW=2(1- ?)=0；（不存在协整关系）

H1：? < 1 ；CRDW=2(1- ?)>0；（存在协整关系）

若检验结果接受 ? = 1，(CRDW统计量的值将接近零)，则ut非平稳；检验结果若拒绝 ? = 1，（CRDW统计量远离0），则ut是平稳的。这意味着N个变量的线性组合是平稳的，即N个变量存在协整关系。CRDW检验临界值见附表10。

附表10 CRDW检验临界值

N 2 3 4

50 0.72 0.89 1.05

T 100 0.38 0.48 0.58

200 0.20 0.25 0.30

5 1.19 0.68 0.35

注：1．T表示样本容量。

2．N表示协整回归式中所含变量个数。 3．摘字Sargan-Bhargava (1983) 。

检验规则是若

CRDW < 临界值，接受原假设（不存在协整关系）； CRDW > 临界值，拒绝原假设（存在协整关系）。

CRDW检验示意图

说明：

① 当ut具有一阶自回归形式时，CRDW统计量的检验效果很好。然而当ut具有高阶自回归形式时，CRDW检验临界值将发生很大变化。但在这种情形下AEG统计量的分布却变化很小。基于上述理由，CRDW检验只能作为检验协整的一种粗略方法。CRDW检验的功效直接与协整回归式的拟合优度有关。粗略的判断是若CRDW < R 2（拟合优度值），则相应变量极有可能不存在协整关系；当CRDW > R 2，则极有可能存在协整关系。

② CRDW统计量可用来判别虚假回归。考虑到渐近分布与有限样本特别是小样本分布的差异，以及目前我国经济变量小样本特征的广泛性，张晓峒（1999）专门研究了N = 2 (二个变量)，小样本（T = 10, 11,…54）条件下，CRDW统计量的分布特征，并给出小样本CRDW统计量分布的百分位数值（见书末附表11）。附表11可用来检验两个I(1) 变量的OLS回归是否为虚假回归。检验规则是若用样本计算的CRDW的值小于临界值，则回归式为虚假回归式。由于随着样本容量T的减小，CRDW分布的百分位数越来越向右移，分布的方差越来越大，T = 10时，CRDW分布的标准差是T = 50时的3倍，达0.62，所以虚假回归的检验功效变得越来越低。在实际应用中应保证T尽可能的大。

注意：

协整回归参数的估计只有在协整检验结果能够推翻原假设的前提下才有意义，否则该回归为虚假回归。

7.3 用动态回归式估计协整参数

为克服小样本条件下用EG两步法估计参数时存在的偏倚性，在EG两步法的第一步可采用动态回归。以二变量为例（多变量情形可以类推），可估计如下模型

kki yt =

??i?1yt?i +

??i?0ixt?i + vt (7.15)

长期参数由下式计算 ?? =???ii?0kk(1????i?1i), (7.16)

估计的长期关系是，

yt = ?? xt (7.17)

?)’ 作为协整向量计算误差修正序列u?t= yt - ??xt，?t建立误以 (1 ??)’ 代替 (1 ?然后利用u差修正模型（这种方法只改变了EG两步法的第一步，第二步则相同）。用 (1 ??)’ 作为协整向量特性会好些。

注意：用动态回归式估计协整参数也要进行协整检验。 当k = 1时， (7.15) 式变为

yt = ?1 yt-1 + ?0 xt + ?1 xt-1 + vt , vt ? IID (0, ? 2 ),

按 (7.16) 式求??。在上式两侧同减 ?1 yt ，在右侧同时加减?1 xt并整理

yt - ?1 yt = - ?1 yt + ?1 yt-1 + ?0 xt + ?1 xt - ?1 xt + ?1 xt-1 + vt , vt ? IID (0, ? 2 ) (1 - ?1) yt = - ?1Δyt + (?0 + ?1) xt - ?1Δxt + vt , vt ? IID (0, ? 2 ) 得

yt = - ?1Δyt + ? xt - ?1Δxt + ut

其中 ?1 = ?1 / (1-?1)，? = (?0 + ?1) / (1 -?1)，?1 = ?1 / (1-?1)，ut = vt / (1-?1)。仔细辨认上式就会发现EG两步法中的协整回归只不过是从上式中省略了差分项而已。所以EG两步法的协整回归只不过是动态回归式的一个特例而已。

注意：

① 也可以用第五章的“一般到特殊”建模方法建立误差修正模型，但应事先知道所涉及的变量存在协整关系。

② 实际中利用误差修正模型的不同建模方法常会得到不同结果。

7.4 季节协整（不讲） 7.5 案例分析

案例1 中国进出口贸易的误差修正模型（p.250-258, 略） 案例2 日本人均食品消费模型（p.258-269） 对数的人均食品支出，生活支出和价格指数见图。显著的特征是从1950至1973年石油危机之前三个变量的增长都很快，石油危机之后三个变量的增长都放缓。生活支出增长缓慢说明近年来日本人的可支配收入增长不快，生活水平提高缓慢。食品支出甚至出现下降。这一方面说明生活水平达到一定标准后食品支出的增长将放缓的规律，同时也说明日本近年的经济不景气给人民生活带来了直接影响。

11.50.511.00.010.5-0.510.0-1.09.5LNE5055606570758085LNF90-1.5LNP-2.09.0

505560657075808590

0.200.150.100.250.200.150.100.050.050.00-0.05DLNE-0.10505560657075808590DLNF0.00-0.05DLNP-0.10505560657075808590

下面建立日本人均食品消费的误差修正模型。 解法1，EG两步法

第1步，用动态分布滞后模型ADL(1, 1, 2) 进行协整回归。

LnFt = 0.8894 LnFt-1 + 0.7243 LnEt – 0.6280 LnEt-1 – 0.0083 LnPt – 0.0182 LnPt-1

(24.83) (8.74) (-6.82) (-0.17) (-0.40)

R2 = 0.997, DW = 2.28, T = 44, (1950-93) (7.18) 用上式对两侧求期望，计算长期关系，

LnFt = 0.8707 LnEt - 0.2396 LnPt (7.19) 非均衡误差为（掌握用EViwes提取残差序列），

et = LnFt - 0.8707 LnEt + 0.2396 LnPt (7.20) 对et进行EG检验如下， ? et = - 0.0799 et-1

2

(- 3.57) R = 0.15, DW = 1.72, T = 44.

上式中EG值 -3.57在大约7% 水平上拒绝了零假设。认为上述三个变量间存在协整关系。

第2步，建立误差修正模型。

? LnFt = 0.7270 ? LnEt - 0.0045 ? LnPt - 0.1073 et -1 (7.21)

(13.09) (-0.12) (-4.32)

R2 = 0.78, s.e. = 0.013, DW = 2.29, T = 44, (1950-93)

剔除不显著变量 ? LnPt，

? LnFt = 0.7266 ? LnEt - 0.1085 et -1 (7.22)

(12.37) (-4.80)

R2 = 0.78, s.e. = 0.013, DW = 2.29, T = 44, (1950-93) (7.22) 式为最终建立的ECM模型。 预测如下：

?1993 = LnF1993 - 0.8707 LnE1993 + 0.2396 LnP1993 u = 9.906 - 0.8707?11.3664 + 0.2396?0.1196 = 0.0379. ? LnF1994 = 0.7266 (-0.0165) - 0. 1085?0.0379 = - 0.0161. LnF1994 = LnF1993 + ? LnF1994 = 9.9060 - 0.0161 = 9.890. ? =

19740?196121961211.5= 0.7 %

121011.08610.54210.00-29.550556065LNE7075LNF8085LNP90-4

解法2，“一般到特殊”建模法（直接估计）

估计二阶误差修正模型（把差分变量变换成原变量即是一个标准的ADL(2,2,2)模型）， ? LnFt = 0.6546 ? LnEt + 0.0648 ? LnPt - 0.2818 ? LnFt-1 - 0.3306 ? Ln Et-1

(24.83) (8.74) (-6.82) (-0.17)

0.0768 ? LnPt-1- 0.1235 LnFt-2 - 0.1073 Ln Et-2 - 0.0281 Ln Pt-2 (1.42) (-3.09) (3.06) (-2.26)

R2 = 0.81, DW = 1.87, s.e. = 0.013, SSEu =0.005868, T = 43, (1950-93) (7.28) 估计一阶误差修正模型（把差分变量变换成原变量，这是一个标准的ADL(1,1,2) 模型）， ? LnFt = 0.7302 ?LnEt + 0.0009 ?LnPt - 0.1171 LnFt-1 + 0.1021 LnEt-1 - 0.0276 LnPt-1

(8.61) (0.02) (-3.00) (2.98) (-2.41)

R2 = 0.79, DW = 2.15, s.e. = 0.013, SSEu =0.006698, T = 43, (1950-93) (7.29) 模型 (7.29) 可以嵌套在模型 (7.28) 中（即 (7.29) 式是约束3个变量2阶滞后项系数为零的 (7.28) 式）。因为模型 (7.29) 的残差序列中不存在自相关，可以直接利用模型 (7.29) 建

立误差修正模型。从模型 (7.29) 中剔除不显著变量 ?LnPt得，

? LnFt = 0.7296 ? LnEt - 0.1171 LnFt-1 + 0.1021 LnEt-1 - 0.0277 LnPt-1 (7.30)

(9.49) (-3.04) (3.02) (-2.50)

R2 = 0.79, DW = 2.15, s.e. = 0.013, SSEu =0.006698, T = 43, (1950-93) 写成误差修正模型形式，

? LnFt = 0.7296 ? LnEt - 0.1171 (LnFt-1 - 0.8719 LnEt-1 + 0.2365 LnPt-1) (7.31) 预测：

? LnF1994 = 0.7296 ? LnE1994 - 0.1171 (LnF1993 - 0.8719 LnE1993 + 0.2365 LnP1993) ? LnF1994 = 0.7296? (-0.0165) - 0. 1171? (9.8839-0.8719 ? 11.3499 + 0.2365 ? 0.1354) = - 0.012 - 0.1171? 0.02 = -0.0143

LnF1994 = LnF1993 + ? LnF1994 = 9.9060 - 0.0143 = 9.8917. ? =

19766?1961219612= 0.8 %.

解法3，用LnFt和LnEt 建立误差修正模型（EG两步法） 实际上LnFt和LnEt两个变量之间也存在协整关系。第1步，从 (7.18) 式中剔除不显著变量，进行协整回归，

LnFt = 0.9721 LnFt-1 + 0.7792 LnEt – 0.7553 LnEt-1 (7.23)

(76.7) (10.0) (-10.5)

R2 = 0.997, DW = 2.14, T = 44, (1950-93) 由上式计算长期关系，

LnFt = 0.8556 LnEt (7.24) 非均衡误差为，

et = LnFt - 0.8556 LnEt (7.25) EG协整检验,

? et = - 0.0345 et -1 (7.26) (- 8.6)

第2步，用非均衡误差 (7.25) 建立误差修正模型。

? LnFt = 0.7803 ? LnEt - 0.0288 et -1 (7.27)

(10.2) (-3.8)

R2 = 0.75, DW = 2.14, T = 44, (1950-93)

预测：

? LnF1994 = 0.7803 (-0.0165) - 0.0288?0.1695 = -0.0080. LnF1994 = LnF1993 + ? LnF1994 = 9.9060 + 0.0080 = 9.9140. ? =

20210?1961219612= 3.0 %

3种方法的参数估计值大体相同。

注意：

1． 当样本比较小时，尽管变量间存在协整关系，也不见得能做出满意的误差修正模型。 2． 博士生已做出多种变量间的误差修正模型。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eohr.html