2019届高考数学第九章平面解析几何第二节两直线的位置关系

第二节 两直线的位置关系

A组 基础题组

1.若直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,则实数m的值为( ) A.-1

B.0 C.1 D.2

2.若直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为( )

A. B.4 C. D.2

3.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) A.x-y+1=0 B.x-y=0 C.x+y+1=0 D.x+y=0

5.(2018四川成都调研)在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|+|MQ|的值为( )

2

2

D.(4,-2)

4.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为( )

A. B.

C.5 D.10

6.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为 . 7.以点A(4,1),B(1,5),C(-3,2),D(0,-2)为顶点的四边形ABCD的面积为 .

8.已知△ABC的一个顶点为A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.

9.正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.

B组 提升题组

1.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 .

2.如图,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围是 .

3.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.

4.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是(1)求a的值;

(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件: ①点P在第一象限;

.

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的; ③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

∶

.

答案精解精析 A组 基础题组

1.C ∵直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,

∴解得m=1.故选C.

2.C ∵l1∥l2,∴=≠,解得a=-1,

∴l1与l2的方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,

∴l1与l2的距离d==.

3.B 由于直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).

4.A 由题意知直线l与直线PQ垂直,直线PQ的斜率kPQ=-1,所以直线l的斜率k=-PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.

=1.又直线l经过

5.D 由题意知P(0,1),Q(-3,0),∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,∴M位于以PQ为直径的圆上.∵|PQ|=

=

,∴|MP|+|MQ|=10,故选D.

2

2

6.答案 -或-

解析 由题意及点到直线的距离公式得7.答案 25

=,解得a=-或-.

解析 因为kAB==-,kDC==-,kAD==,kBC==,

所以kAB=kDC,kAD=kBC,所以AB∥DC,AD∥BC,所以四边形ABCD为平行四边形. 又kAD·kAB=-1,即AD⊥AB,故四边形ABCD为矩形. 故四边形ABCD的面积S=|AB|·|AD|=8.解析 依题意知kAC=-2,又A(5,1),

×

=25.

∴lAC:2x+y-11=0,由可解得C(4,3).

设B(x0,y0),则AB的中点M的坐标为,代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,

由可解得故B(-1,-3),∴kBC=,

∴直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.

9.解析 点C到直线x+3y-5=0的距离d1==.

设与直线x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+m=0(m≠-5),

则点C到直线x+3y+m=0的距离d2=解得m=-5(舍去)或m=7,

=,

所以与直线x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0. 设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+n=0,

则点C到直线3x-y+n=0的距离d3=解得n=-3或n=9,

=,

所以与直线x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.

B组 提升题组

1.答案 (2,4)

解析 由题意可知,若P为平面直角坐标系内任意一点,则|PA|+|PC|≥|AC|,等号成立的条件是点P在线段AC上;|PB|+|PD|≥|BD|,等号成立的条件是点P在线段BD上,所以到A,B,C,D四点的距离之和最小

的点为AC与BD的交点.由题意知直线AC的方程为2x-y=0,直线BD的方程为x+y-6=0,由解

得即所求点的坐标为(2,4).

2.答案 (4,+∞)

解析 从特殊位置考虑.如图,

∵点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为A1(2,4),

∴=4,

又点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E2(1,4),

此时直线E2F的斜率不存在, ∴kFD>

,

即kFD∈(4,+∞).

3.解析 作出草图,如图,设A关于直线y=x的对称点为A',D关于y轴的对称点为D',则易得A'(-2,-4),D'(1,6).由反射角等于入射角易得A'D'所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为

=,即10x-3y+8=0.

4.解析 (1)直线l2:2x-y-=0,所以两条平行线l1与l2间的距离d==,所以=,

即=,

又a>0,解得a=3.

(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).

若点P满足条件②,则点P在与l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,

且=×,即c=或,

所以直线l'的方程为2x-y+=0或2x-y+=0; 若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,

有=×,

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;

由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不符合题意.

联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,

解得(舍去);

联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,

解得

所以存在点P同时满足三个条件.

有=×,

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;

由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不符合题意.

联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,

解得(舍去);

联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,

解得

所以存在点P同时满足三个条件.

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