定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
更新时间:2023-11-24 04:11:01 阅读量: 教育文库 文档下载
定理:证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。 【证法1】
延长AD到E,使DE=AD,连接CE。 ∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD , 又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等), AD=DE,
∴△ADB≌△EDC(SAS),∴AB=CE,∠B=∠DCE,∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠BAC=90°, ∴∠ACE=90°,∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
∴△ABC≌△CEA(SAS)∴BC=AE,∵AD=DE=1/2AE,∴AD=1/2BC。 【证法2】
取AC的中点E,连接DE。∵AD是斜边BC的中线,∴BD=CD=1/2BC, ∵E是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线, ∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边) ∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等) ∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
【证法3】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE。 ∵AD是斜边BC的中线, ∴BD=CD, 又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形), ∵∠BAC=90°,
∴四边形ABEC是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形), ∴AE=BC(矩形对角线相等), ∵AD=DE=1/2AE, ∴AD=1/2BC。
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