2004-2012 考研 数学三 真题word打印版

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

x2 x（1）曲线y 2渐近线的条数为（

x 1

（A）0 （2）设函数（

）

n 1

） （D）3

（B）1 （C）2

f(x) (ex 1)(e2x 2)…（enx-n），其中n为正整数，则f (0)=(n 1)! n!

（B）( 1)

2

n

（A）( 1)（C）( 1)

(n 1)!

n

n 1

（D）( 1)

2

n!

）

（3）设函数

2

f(t)连续，则二次积分 d

2cos

f(r2)rdr=（

（A

）

02

dxdxdx

1

(x2 y2)dy f(x2 y2)dy

(x2 y2)dy

（B

）

（C

）

2

（D

）

2

dx

1

(x2 y2)dy 1

n

( 1)n

绝对收敛， 2 条件收敛，则 范围

i 1n

（4

）已知级数为（ ） （A）0<

( 1)

i 1

n

1 2

（B）

1

< 1 2

3

（C）1<

2

3

（D）< <2

2

1 0 0 1 （5）设 1 0, 2 1, 3 1, 4 1其中c1，c2，c3，c4为

c c c c 1 2 4 3

任意常数，则下列向量组线性相关的是（ （A） 1， 2， 3 （C） 1， 3， 4

）

（B） 1， 2， 4 （D） 2， 3， 4

1

1 ，（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP= 2

-1

1

）则QAQ=（ P=（ 1， 2， 3），Q=（ 1+ 2， 2， 3）

1

2（A） 1 2

1（C） 2

（ ｛ 2+ 2 1｝（A）

1

1 （B）

2 2

2（D） 1

（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则

）

1

4

（B）

1 2

（C）

2

8

（D）

4

（8）设X1，X2，X3，X4为来自总体N（1， ）（

的简单随机样 0）

X1 X2本，则统计量的分布（

|X3+X4-2|

（A）N （0，1）

（B）t(1)

） （C）

2

(1) （D）F(1,1)

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）lim(tanx)

x

1cosx sinx

4

dy lnx 1

（10

）设函数f(x) ,y f(f(x)),求

dx 2x 1,x 1

（11）函数

___________.

x 0

z (f,x满

)y

足

x 0

y 1

0,

则

dz(0,1) _______.

（12）由曲线

y

4

和直线y x及y 4x在第一象限中所围图形的面积为x

_______.

（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)

11,P(C) ,则23

P（ C）=_________.

三、 解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

e e2 2cosx计算lim

x 0x4

计算二重积分

x2

（16）（本题满分10分）

x

e xydxdy，其中D

为由曲线y y D

所围区域. （17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，

x

且固定两种产品的边际成本分别为20+（万元/件）与6+y（万元/件）.

2

1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)（万元）

2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.

3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.

（18）（本题满分10分）

1 xx2

cosx 1 , 1 x 1. 证明：xln1 x2

（19）（本题满分10分）已知函数及

f(x)满足方程f (x) f (x) 2f(x) 0

f (x) f(x) 2ex

1）求表达式

f(x)

f(x) f( t2)dt

02

x

2）求曲线的拐点y

（20）（本题满分10分）

1 0设A

0 a

（I）求|A|

a1000a10

0 1

1 0 ，b 0 a 1 0

（II）已知线性方程组Ax b有无穷多解，求a，并求Ax b的通解. (21)（本题满分10分）

1

0

已知A

1 001 11 ，二次型f(x1,x2,x3) x( )x的秩为2， 0a

a 1

（1） 求实数a的值；

（2） 求正交变换x=Qy将f化为标准型.

（22）（本题满分10分）

已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：

求（1）P(X=2Y); （2）cov(X

Y,Y)与 XY.

（23）（本题满分10分）

设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，

V min(X,Y),U=max(X,Y).

求（1）随机变量V的概率密度； （2）E(U

V).

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1) 已知当x 0时，函数f(x) 3sinx sin3x与是cxk等价无穷小，则

(A) k 1,c 4 (B) k 1,c 4 (C) k 3,c 4 (D) k 3,c 4

x2f(x) 2f(x3)

(2) 已知f(x)在x 0处可导，且f(0) 0,则lim

x 0x3

(A) 2f'(0) (B) f'(0) (C) f'(0) (D) 0 (3) 设 un 是数列，则下列命题正确的是

(A) 若

u

n 1

n

收敛，则

(u

n 1

2n 1

u2n)收敛

(B) 若

(u

n 1

2n 1

u2n)收敛，则 un收敛

n 1

(C) 若

u

n 1

n

收敛，则

(u

n 1

2n 1

u2n)收敛

(D) 若

(u

n 1

2n 1

u2n)收敛，则 un收敛

n 1

4

0

(4) 设I 小关系是

40

ln(sinx)dx,J ln(cotx)dx,K 4ln(cosx)dx 则I,J,K的大

(A) I J K (B) I K J (C) J I K (D) K J I (5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3

100 100

10 ，P2 001 ，则A 行得单位矩阵记为P1 1

001 010

1 1

(A)PP (C) (D) PPPP12 (B)P21122P1

(6) 设A为4 3矩阵, 1, 2 , 3 是非齐次线性方程组Ax 的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax 的通解为

k1( 2 1) 2 3

k2( 2 1) (B) 2

2 3

k1( 3 1) k2( 2 1) (C) 2

2 3

k2( 2 1) k3( 3 1) (D) 2

2

(A)

(7) 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x), f1(x)是连续函数，则必为概率密度的是

(A) f1(x)f2(x) (B)2f2(x)F1(x)

(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x) f2(x)F1(x) (8) 设总体X服从参数 ( 0)的泊松分布，X1,X1,

2 3

Xn(n 2)为来自总体的简

1n1n 11

单随即样本，则对应的统计量T1 Xi，T2 X Xn i

ni 1n 1i 1n

(A)ET1 ET2,DT1 DT2 (B)ET1 ET2,DT1 DT2 (C)ET1 ET2,DT1 DT2 (D) ET1 ET2,DT1 DT2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设f(x) limx(1 3t)，则f'(x) ______.

t 0

xt

x

(10) 设函数z (1 )y，则dz|(1,1) ______.

y

(11) 曲线tan(x y (12)

曲线y 的体积______.

(13) 设二次型f(X1,X2,X3) xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下x Qy的标准型为______.

x

4

ey在点(0,0)处的切线方程为______.

x 2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体

(14) 设二维随机变量(X,Y)服从N( , ; 2, 2;0)，则E(XY2) ______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限x 0

.

(16) (本题满分10分)

已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1) 2是f(u,v)的极值，

2z

|(1,1). z f (x y),f(x,y) 。求

x y

(17) (本题满分10分)

求

(18) (本题满分10分)

证明4arctanx x

4

0恰有2实根。 3

(19) (本题满分10分)

，且f(x)在 0,1 有连续的导数，f(0) 1

Dt

，f'(x y)dxdy ft(dxdy)

Dt

Dt {(x,y)|0 x t,0 y t,0 x y t}(0 t 1)，求f(x)的表达式。

(20) (本题满分11分)

TTTT

设3维向量组 1 ， 2 ， 3 不能由 1 ，（1,0,1）（0,1,1）（1,3,5）（1,a,1）TT

， 3 线性标出。 2 （1,2,3）（1,3,5）

求：(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)将 1， 2， 3由 1， 2， 3线性表出. (21) (本题满分11分)

11 11

已知A为三阶实矩阵，R(A) 2，且A 00 00 ，

11 11

求：(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X，Y的概率分布如下：

且P(X2 Y2) 1，

求：(Ⅰ)(X，Y)的分布；

(Ⅱ)Z XY的分布； (Ⅲ) XY. (23) (本题满分11分)

设(X,Y)在G上服从均匀分布，G由x 求：(Ⅰ)边缘密度

(Ⅱ)

y 0，x y 2与y 0围成。

fX(x)；

fX|Y(x|y)。

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 若lim ( a)ex 1，则a等于

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

(2) 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y p(x)y q(x)x的两个特解，若常数 ，

'

1

x 0x

1

x

u使 y1 uy2是该方程的解， y1 uy2是该方程对应的齐次方程的解，则（）

1111

， （B） ，

2222

2122

（C） ， （D） ，

3333

（A）

(3) 设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x) 0。若g(x0)=a是g(x)的极值，则

"

f g(x) 在x0取极大值的一个充分条件是（）

（A）f(a) 0 （B）f(a) 0 （C）f(a) 0 （D）f(a) 0

(4) 设f(x) lnx，g(x) x,h(x) e,则当x充分大时有（） （A）g(x) h(x) f(x) （B）h(x) g(x) f(x) （C）f(x) g(x) h(x) （D）g(x) f(x) h(x) (5) 设向量组Ⅰ： 1， 2，的是

（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r s （B）若向量组Ⅰ线性相关，则r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则r s （D）若向量组Ⅱ线性相关，则r s

2

(6) 设A为4阶实对称矩阵，且A A 0,若A的秩为3，则A相似于

''

""

10

x10

r可由向量组Ⅱ： 1， 2， s线性表示，下列命题正确

1 1 1 1

（B） （A）

1 1

00 1 1

1 1 （D） （C） 1 1

00 0

1

(7) 设随机变量的分布函数F(x)

2 x 1 e

（A）0 （B）

x 0

0 x 1，则P X 1 x 1

11 1 1

（C） e （D）1 e 22

(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为 1,3 上的均匀分布的概率密度，

af1(x)x 0

若f(x) (a 0,b 0)为概率密度，则a,b应满足

bf(x)x 0 2

（A）2a 3b 4 （B）3a 2b 4 （C）a b 1 （D）a b 2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数y y(x)由方程

x y

e tdt xsint2dt确定，则

2

x

dy

dx

______.

x 0

(10)

设位于曲线y

e x )下方，x轴上方的无界区域为G,则

G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______.

3

(11) 设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1 p，其中p为价格，且R(1) 1，

则R(p) ______.

32

(12) 若曲线y x ax bx 1有拐点( 1,0),则b ______.

1 1

(13) 设A，B为3阶矩阵，且A 3，B 2，A B 2，则A B ______.

(14) 设x1，x2，xn为来自整体N( , 2)(的简单随机样本，记统计量 0)

1n2

T Xi，则ET ______.

ni 1

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分) 求极限lim(x 1)

x

1x

1lnx

(16) (本题满分10分) 计算二重积分

(x y)dxdy，其中D

由曲线x

D

3

与直线x

0及

x 0围成。

(17) (本题满分10分)

求函数u xy 2yz在约束条件x2 y2 z2 10下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较

1

lnt ln(1 t) dt与 tnlntdt(n 1,2,)的大小，说明理由

n

1

（Ⅱ）设un

1

lnt ln(1 t) dt(n 1,2,)，求极限limun

n

n

(19) (本题满分10分) 设函数f(x)在

2

0,3

上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

2f(0) f(x)dx f(2)+f(3)，

（Ⅰ）证明：存在 (0,2)，使f( ) f(0) （Ⅱ）证明：存在 (0,3)，使f( ) 0 (20) (本题满分11分)

"

11 a 设A 0 10，b 1 1 1 1

已知线性方程组Ax b存在2个不同的解 （Ⅰ）求 ，a

（Ⅱ）求方程组Ax b的通解 (21) (本题满分11分)

0 14 设A 13a，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列

为 4a0 T

,求a，Q 2,1)

(22) (本题满分11分)

设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y) Ae

2x2 2xy y2

，

x , y ,求常数A及条件概率密度fYX(yx)

(23) (本题满分11分)

箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，

（Ⅰ）求随机变量(X，Y)的概率分布 （Ⅱ）求Cov(X，Y)

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

x x3

（1）函数f(x) 的可去间断点的个数为

sin x

(A)1. (B)2.

(C)3.

(D)无穷多个.

（2）当x 0时，f(x) x sinax与g(x) x2ln(1 bx)是等价无穷小，则

11

. （B）a 1，b . 6611

(C)a 1，b . （D）a 1，b .

66xsint

dt lnx成立的x的范围是 （3）使不等式 1t

(A)a 1，b (A)(0,1).

(B)(1,

). (C)(, ). 22

(D)( , ).

（4）设函数y f x 在区间 1,3 上的图形为

x

则函数F x

f t dt的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）设A,B均为2阶矩阵，A ,B*分别为A,B的伴随矩阵，若|A| 2,|B| 3，则分

OA 块矩阵 的伴随矩阵为

BO

O3B* (A) . *

O 2A O3A*

(C) . *

O 2B

O

(B) *

3A

2B*

. O 2A*

. O

O

(D) *

3B

100 TT

（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP 010 ，

002

若P ( 1, 2, 3),Q ( 1 2, 2, 3)，则QAQ为

T

210

(A) 110 .

002 200 (C) 010 .

002

110

(B) 120 .

002 100

(D) 020 .

002

（7）设事件A与事件B互不相容，则 (A)P(AB) 0.

(B)P(AB) P(A)P(B). (D)P(A B) 1.

(C)P(A) 1 P(B).

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y 0} P{Y 1}

1

，记Fz(Z)为随机变量Z XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断

2

点个数为

(A) 0.

(B)1. (C)2. (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cosxx .

z

. x(1,0)

（10）设z (x ey)x，则

en ( 1)nn

（11）幂级数 x的收敛半径为 . 2

nn 1

（12）设某产品的需求函数为Q Q(P),其对应价格P的弹性 p 0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

300

（13）设 (1,1,1)T, (1,0,k)T，若矩阵 T相似于 000 ，则k .

000

(14) 设X1，X2,…,Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分

2

别为样本均值和样本方差，记统计量T X S，则ET 2

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）

22

求二元函数f(x,y) x2 y ylny的极值.

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1

dx (x 0). （17）（本题满分10 分） 计算二重积分

(x y)dxdy，其中D {(x,y)(x 1)

D

2

(y 1)2 2,y x}.

（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在 a,b 上连续，在 a,b 上可导，则

a,b ，得证f(b) f(a) f'( ) b a .

（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x 0处连续，在 0, ,( 0)内可导，且

x 0

limf'(x) A，则f '(0)存在，且f' (0) A.

（19）（本题满分10 分）

设曲线y f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x) 0.已知曲线y f(x)与直线

y 0,x 1及x t(t 1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的 t倍，求该曲线的方程.

（20）（本题满分11 分） 设

1 1 1 1

A= 111 , 1 1 .

0 4 2 2

（Ⅰ）求满足A 2 1，A2 3 1的所有向量 2， 3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 2, 3，证明 1, 2, 3线性无关. （21）（本题满分11 分） 设二次型

f(x1,x2,x3) ax12 ax22 (a 1)x32 2x1x3 2x2x3.

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12 y22，求a的值. （22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

e xf(x,y)

0

（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率PX 1Y 1. （23）（本题满分11分）

0 y x其他

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求

以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.

（Ⅰ）求PX 1Z 0；

（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数f(x)在区间[ 1,1]上连续，则x 0是函数g(x)

（A）跳跃间断点. （C）无穷间断点.

（B）可去间断点. （D）振荡间断点.

x

f(t)dtx

的（ ）

（2）如图，曲线段方程为y f(x)，函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数，则定积分

a

xft(x)dx等于（ ）

（A）曲边梯形ABOD面积.

（B） 梯形ABOD面积. （D）三角形ACD面积.

（C）曲边三角形ACD面积.

（3）

已知f(x,y)

（A）fx (0,0)，fy (0,0)都存在 （B）fx (0,0)不存在，fy (0,0)存在 （C）fx (0,0)存在，fy (0,0)不存在 （D）fx (0,0)，fy (0,0)都不存在

（4）设函数f连续，

若F(u,v)

Duv

22dxdy，其中Duv为图中阴影部分，则

F

u

（ ）

（A）vf(u) （B）

2

vv

f(u2) （C）vf(u) （D）f(u)

uu

3

（5）设A为阶非0矩阵，E为n阶单位矩阵，若A 0，则（ ）

（A）E A不可逆，E A不可逆. （B）E A不可逆，E A可逆.

（C）E A可逆，E A可逆. （D）E A可逆，E A不可逆.

12

（6）设A 则在实数域上域与A合同的矩阵为（ ）

21

（A）

21

.

1 2 21

. 12

（B）

2 1

.

12 1 2

.

21

（C）

（D）

（7）随机变量X,Y独立同分布，且X分布函数为F x ，则Z max X,Y 分布函数为（ ）

（A）F

2

x .

2

（B）F x F y .

（D） 1 F x 1 F y .

（C）1 1 F x .

（8）随机变量X~N 0,1 ，Y~N 1,4 且相关系数 XY 1，则（ ）

（A）P Y 2X 1 1. （C）P Y 2X 1 1.

（B）P Y 2X 1 1.

（D）P Y 2X 1 1.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

x2 1,x c

（9）设函数f(x) 2在( , )内连续，则c .

x c x,

1x x3

（10）设f(x ) ，则 2

x1

x4

f(x)dx ______.

2

(x y)dxdy . D

22

（11）设D {(x,y)x y 1}，则

（12）微分方程xy y 0满足条件y(1) 1的解是y .

1

（13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则4A E _____.

2

（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX EX .

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) （本题满分10分） 求极限lim

x 0

1sinxln. x2x

(16) （本题满分10分）

设z z(x,y)是由方程x y z x y z 所确定的函数，其中 具有2阶导数

2

2

且 1时.

（Ⅰ）求dz （Ⅱ）记u x,y

u1 z z

，求. xx y x y

(17) （本题满分11分） 计算

max(xy,1)dxdy,其中D {(x,y)0 x 2,0 y 2}.

D

(18) （本题满分10分） 设f x 是周期为2的连续函数， （Ⅰ）证明对任意的实数t，有（Ⅱ）证明G x

t 2

t

f x dx f x dx；

2

x

2f t t 2f s ds dt是周期为2的周期函数． t

(19) （本题满分10分）

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