圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_3
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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生(上海市市北中学 200071)
2003年北京高考数学卷第18(III )题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1:在圆锥曲线中,过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,Q ,则有MQ MP =. 证明:如图1,以M 为原点,AB 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*),设A (0,t ),B (0,-t ),知t ,-t 是02=++F Ey Cy 的两个根,所以0=E .
若CD ,EF 有一条斜率不存在,则P ,Q 与A ,B 重合,结论成立.
若CD ,EF 斜率都存在,设C (x 1,k 1x 1), D (x 2,k 1x 2),E (x 3,k 2x 3), F (x 4,k 2x 4),P (
,
p
)
,
Q
(
,
q
)
,
111131132)(:
x k x x x x x k x k y CE +-?--=,1321
31111131132)
()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --=+-?--=,同理242142)
(x x k k x x q --=
, 所以)
()()]()()[(13244321214321x x x x x x x x x x x x k k q p -?-+-+-=+
将x k y 1=代入(*)得0
)()(122
11=+++++F x Ek D x Ck Bk A ,又0=E 得2
1
121Ck Bk A D x x ++-=
+,
2
1
121Ck Bk A F x x ++=
, 同理 22243Ck Bk A D
x x ++-=
+, 2
2
243Ck Bk A F x x ++=,所以0=+q p ,即MQ MP =. 注:2003年高考数学北京卷第18(III )题,就是定理1中取圆锥曲线为椭圆,AB 为平行长轴的弦的特殊情形.
定理2:在圆锥曲线中,过弦AB 端点的切线交于点M ,过M 的直线l ∥AB ,过M 任作两条弦CD 和EF ,直线CE 与DF 交直线l 于P ,Q ,则有MQ MP =.
证明:如图2,以M 为原点,AB 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为02
2
=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*),设A
(11,y x ),B (21,y x ),则切线MA 的方程是02
211=++F y E
x D ,切线
MB 的方程是02
221=++F y E
x D ,得0)(21=-y y E ,所以0=E .(下
面与定理1的证明相同,略)
特别的,当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时,点M 在圆锥曲线的该对称轴上.
性质1:过点M (m ,0)做椭圆、双曲线122
22=±b y a x 的弦CD ,EF 是其焦点轴,则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l :
m
a x 2
=上.特别的,当M 为焦点时,l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时,l 就是过焦点的直线.
证明:如图3,过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,Q ,则根据定理1,定理2得
MQ MP =.
FH
FM HG
MQ HG
MP HE
EM =
=
=
,
过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ,得
n
a m a n a m a --=--+,得2
a mn =.
设M (m ,0),H (n ,0),焦点轴长为2a ,则有
注:性质1就是文[1]中的性质1,文[2]中的推论2.
若圆锥曲线为抛物线,把无穷远点作为其虚拟顶点,把图3中的DF 看作与焦
点轴平行的直线,于是得到性质2.
性质2:过点M (m ,0)做抛物线px y 22=
CE 、DF 的连线交点在直线l :m x -=上.特别的,当M
l 就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题,就是性质2中2,文[2]中的推论1.
性质3:直线l :m a x 2=
,过点M (m ,0)做椭圆、与CD 交于点I ,则DI DM CI CM =. DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM
=
=
=
.
证明:如图4,由定理1,定理2及性质1得:
122
22=±b
y a x 的弦CD 、EF ,则直线性质4:过点M (m ,0)做椭圆、双曲线
CE 、DF 的连线交点G 在直线l :m
a x 2
=上.
证明:如图5,过G 做GH 垂直焦点轴所在的直
线,由定理1,定理2得:
直线l :m
a x 2
=上,所以点G
DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM =
=
=
,由性质3得,点I 在
在直线l :m
a x 2
=上.
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5:直线l :m x -=,过点M (m ,0交于点I ,则
DI
DM CI
CM =
.
性质6:过点M (m ,0)做抛物线px y 22
=的弦CD 、EF ,则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l :m x -=上. 注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形,即取M 为焦点时,直线CE 、DF 性质7:过点M (m ,0)做椭圆、双曲线122
22=±b y a x 的弦CD ,则以C ,D m
a x 2
=上.
证明:如图6,设切线CG 交直线l 于G 1,连接G 1D ,若G 1D 与圆锥曲线有除D 点
外的公共点F ,做直线FM 交圆锥曲线于E ,由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上,所以C 、E 、G 1三点共线,与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾,所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ,G 1D 是圆锥曲线的切线,G 1与G 重合, G 在直线l 上.
性质8:过点M (m ,0)做抛物线px y 22=的弦CD ,则以C ,D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l : m x -=上.
注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形,就是文[4]中的定理1.
性质9:直线l :m a x 2=,过点M (m ,0)做椭圆、双曲线
2
2y x 的弦CD ,C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1,在焦
点轴所在直线上的射影为C 2、D 2,则
2
12
1DD DD CC CC =
.
2
2CC DD DI
CI DM
CM =
=
,所以
证明:如图7,由性质3得:
2
12
1DD DD CC CC =
.
px 2=的弦CD ,C 、D 在l
性质10:直线l :m x -=,过点M (m ,0)做抛2
1DD DD .
上的射影为C 1、D 1,在对称轴上的射影为C 2、D 2,则
注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3,文[5]性质11:在圆锥曲线中,过弦AB 中点M 任作两
和EF ,直线CE 与DF 交
FI
FM =
.
于点G ,过G 做GI ∥AB ,直线GI 交FE 于I ,则
1得:MQ MP =, 所
证明:如图8,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,
以
FI
FM IG
MQ IG
MP EI
EM =
=
=
.
性质12:在圆锥曲线中,过弦AB 端点的切线交
于点M ,过M 任作两条弦CD 和
EF ,直线CE 与DF 交于点G ,过G 做GI ∥AB ,直线GI 交FE 于I ,则
FI
FM EI
EM =
.
性质11,12可认为是性质1,2,3,5的推广,从性质11,12出发可以得到类似性质4,6,7,8,9,10的结论,限于篇幅,本文不再给出。
参考文献
1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报,2003,7
2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报,2002,6
3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报,2003,
4 4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报,1999,2
5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报,2003,7
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