大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案

习题5

5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：

2mg?T2?2ma┄①

T1?mg?ma┄②

(T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④

2Ta?r? ，J?mr/2┄⑤

联立，解得：a?14g，T?118mg 。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：??ml，在杆上取

一小质元dm??dx，有微元摩擦力： df??dmg???gdx， 微元摩擦力矩：dM???gxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩：

lM?2???gxdx?2014?mgl；

td?，有：??Mdt?0dt（2）根据转动定律M?J??J?14??00Jd?，

?mglt??112ml?0，∴t?2?0l3?g。

112ml，

2或利用：?Mt?J??J?0，考虑到??0，J?有：t?

?0l3?g。

5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为

R ,其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，

下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：

mg?T?ma┄①

TR?J?┄② a?R? ，J?12mR┄③ 2mgM?2mv02联立，解得：a?考虑到a?dvdt，T?t0Mmg，∴?dv??M?2m2mg2mgtdt，有：v?。

M?2mM?2m，

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J?MR2/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ 解一：

分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 Mg?T1?MaA人

T2?M4g?M4aB物

T1R?T2R?J?滑轮

由约束方程: aA?aB?R?和J?MR/4,解上述方程组 得到a?解二：

选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重

g22.

物上升的速度，注意到u为匀速，

dudt?0，系统对轴的角动量为：

L?14MvR?M(u?v)R?((人)14M4R)??232MvR?MuR

(B物体)(A物体)34MgR， ddt(32MvR?MuR)，∴a?而力矩为：M???MgR?MgR?dLdt根据角动量定理M?有：

34MgR?g2。

5-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解：设球的半径为R，总重量为m，体密度??3m4?R3，

考虑均质球体内一个微元：dm??r2sin?drd?d?， 由定义：考虑微元到轴的距离为rsin?

J??(rsin?)dm，有：

2J????002??R0(rsin?)2??r2sin?drd?d?

R0?2???15r5?[??(1?cos?)dcos?]?0?225mR。

2

5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k?40N/m，当??0时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0的位置上细棒至少应具有多大的角速度?，才能转动到水平位置？

解：以图示下方的三角桩为轴，从??0~??90时， 考虑机械能守恒，那么： ??0时的机械能为：

1122(重力势能)?（ml）?(转动动能)， 223120??90时的机械能为：kx

2mg?l0有：mg?111222?（ml）??kx 2232l根据几何关系：(x?0.5)2?1.52?12，得：??3.28rad?s?1

5-7．如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，

下降过程机械能守恒， 有：mgR?∴??4g3R12J? ，而J?212mR?mR?2232mR

2 vc?R??4Rg3

vA?2R??16Rg 32（重力）?mR?（向心力）? （2）Fy?mg7mg，方向向上。 3

5-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和

3123l．轻杆原来

静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以

1212v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 23232ll22)??2m?()? 33v0l

解：根据角动量守恒，有：

mv0?2349l??m?2v0?l?m(v0l?有：(l?∴??

293v0l)??2132l

5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为

12MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)

12MR??mR?

222解：（1）利用角动量守恒：mvR?得：??2mv；

(2m?M)R（2）选微分dm??rdrd?，其中：面密度??M?M?R2，

f??grdm??R0?grM?R2322πrdr?23?MgR

12MR?mR)??0，

22∴由Mf??t?J???有：知：?t?将??2?M?2m?4?Mg2mv?2m?RR?

?MgR??t?(?M代入，即得：?t?3mv 。

2?Mg

5-10．有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后

??的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

3??解：由碰撞时角动量守恒，考虑到v1和v2方向相反，以逆时针为正向，有：

(已知棒绕O点的转动惯量J?1m1l)

2

m2v1l?3m2(v1?v2)1 m1l2??m2v2l，得：??3m1ll0又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：

Mf???m1lgxdx?212?m1gl，利用?M2l?3?gf?Jd?dt，有：

103dt???0??1tm1ld?，得：t??2m2(v1?v2)2?m1gl?m1g。

5-11．如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m2，半径为7cm；物体的质量为5kg，

用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为xmax。 由机械能守恒：

xmax?2mgk12kxmax?mgxmax，有：

2?0.49m；

122（2）当物体下落时，由机械能守恒：考虑到??vRkx?12212mv?2212J?2?mgx，

，有：

12kx?212mR??2J??mgx，

欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令

kx?12(mR?J)?2?2d?dx?0，有：

mgk?0.245(m)，

d?dx?mg，将

d?dx?0代入，有：x?∴当x?0.245m时物体速度达最大值，有：

1mgx?kx222vm?，代入数值可算出：vmax?1.31m/s 。 ax1J(m?2)2r

5-12．设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度?成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 解：（1）已知Mf??k?，而动力矩M?Pf?，

通电时根据转动定律有：M?Mt0?Jd?dt

Pk?2kJt代入两边积分有：

?dt???0J?P?k?2d?，可求得：??(1?ePk)；

（2）见上式，当t??时，电扇稳定转动时的转速：?稳定?（3）断开电源时，电扇的转速为?0??k??Jd?dt；

Pk，只有Mf作用，那么：

?，考虑到

Jd?dt??d?d?，有：??0kJd????00d?，

kkk5-13．如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为?，

得：???0?JP 。

细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以?0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？ 解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A和转轮B、绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，

J?0?J??Rmv???13J?A，又vA??R，

12mR

2?0

（2）物体A运动后，由牛顿定律：T??mg?ma （1）

对转轮B，由定轴转动定律： ?TR?J?，（2）约束关系：a?R?（3）

可求出：T?

13?mg。

5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度?为多少？

解：此过程角动量守恒：mRv?J??0，有： ???mRvJ。

5-15．在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为

12R处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度?0匀

速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为

12MR．求：

2 R ??R/2 (1) 圆盘对地的角速度． (2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着

?度v的大小及方向？

12R圆周对圆盘的速

?v

解：(1) 设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为?，则人对与地固联的转轴的角速度为 ?????v1R2???2v ① R人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒． 设盘的质量为M，则人的质量为M / 10，有：

? ?1MR?2222?2M11M1??????R??0?MR???R??? ②

10?2??210?2??将①式代入②式得：???0?2v21R ③

(2) 欲使盘对地静止，则式③必为零．即 ?0 +2v / (21R)＝0 得： v＝－21R?0 / 2

式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方

向一致．

答案：???0?2v21R；v＝－21R?0 / 2

式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．

思考题

5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体 (m1

m1g?T1?m1a （1）

T2?m2g?m2a （2） (T1?T2)r?J? （3）

a?r? （4）

联立方程可得 T1、T2， T2?T1 。 5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度?按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度?怎样变化？ 答：增大

5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒； （C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C）

5-4．在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。

答：以Ⅰ为轴转动惯量 J?9ma；

以Ⅱ为轴转动惯量 J?3ma； 以Ⅲ为轴转动惯量 J?7.5ma。

222

5-5．如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为?0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。

试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？

答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。 由J1?0?J2?，有小圆柱的最终角速度为： ??J1?0J2 。

5-6．均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。

?一锤子沿竖直方向在x?d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。

答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。

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