高中数学易错题举例解析1

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

高中数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。

x>0 x + y>0 x>1 x + y>3 ，但 与 不等价。 y>0 xy>0 y>2 xy>2

【例1】已知f(x) = ax + ，若 3 f(1) 0,3 f(2) 6,求f(3)的范围。 ① 3 a b 0

错误解法 由条件得 b

3 2a 6 ②2

xb

②×2－① 6 a 15 ③ ①×2－②得

③+④得

103

83 b3 b3 23433

④

,即103

f(3)

433.

3a

错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数

f(x) ax

xb

，其值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定

取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

f(1) a b

正确解法 由题意有 b, 解得：

f(2) 2a

2 a

13

[2f(2) f(1)],

b3373 169

b

23

[2f(1) f(2)], 59

f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得

f(3) 3a f(2)

163

f(3) .

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有

反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】

(1) 设 、 是方程x2 2kx k 6 0的两个实根，则( 1)2 ( 1)2的最小

值是(A)

494

(B)

8

(C)

18

(D)不存在

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得： 2k, k 6,

( 1) ( 1)

2

2

2

2 1

2

2

2 1

( ) 2 2( ) 2 4(k

34)

2

494

.

有的学生一看到

494

，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思

维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根 、 k 2

或k 3.

，∴ 4k 4(k 6) 0

2

22

当k 3时，( 1) ( 1)的最小值是8；

22

当k 2时，( 1) ( 1)的最小值是18。

这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 (2) 已知(x+2)+

2

y2

4

=1, 求x2+y2的取值范围。

2

2

2

2

2

错解 由已知得 y=－4x－16x－12，因此 x+y=－3x－16x－12=－3(x+

83

)+

2

283

，

82828

∴当x=－ 时，x2+y2有最大值 ，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。

333分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。

第2页（共18页）

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

事实上，由于(x+2)+

2

y2

4

=1 (x+2)=1－

2

y2

4

≤1 －3≤x≤－1，

28

]。 3

x

从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1,

2

注意有界性：偶次方x≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数a>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

1212

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )+(b+ )的最小值。

ab

错解 (a+

1a

)2+(b+

1a

1b

)2=a2+b2+

1b

1a

2

+

1b

2

+4≥2ab+

2ab

+4≥4ab

1ab

+4=8,

∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.

2

2

分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的

条件是a=b=

12

,第二次等号成立的条件是ab=

1ab

，显然，这两个条件是不

能同时成立的。因此，8不是最小值。 事实上，原式= a2+b2+

2ab]+[(

由ab≤(∴原式≥∴(a +

●不进行分类讨论，导致错误

n

【例4】(1)已知数列 an 的前n项和Sn 2 1，求an.

1a

2

+

1b

2

+4=( a2+b2)+(

1a

2

+

1b

2

)+4=[(a+b)2－

1a

+

1b

)2－

2ab

]+4

1ab

2

2

= (1－2ab)(1+

a b2

)+4，

12

)=

2

14252

得：1－2ab≥1－ (当且仅当a=b=

1b

=

12

, 且

1ab

2

2

≥16，1+

1ab

2

2

≥17，

12

×17+4=

12

时，等号成立)，

1a

)2 + (b + )2的最小值是

25

。 2

nn 1nn 1n 1

1) 2 2 2. 错误解法 an Sn Sn 1 (2 1) (2

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

错误分析 显然，当n 1时，a1 S1 3 21 1 1。 错误原因：没有注意公式an Sn Sn 1成立的条件是。

因此在运用an Sn Sn 1时，必须检验n 1时的情形。即： S1(n 1)

。 an

Sn(n 2,n N)

(2)实数a为何值时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y2 点。

错误解法 将圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线 y 得 x (2a

2

2

12

x有两个公共

12

x联立，消去y，

12

)x a 1 0(x 0). ①

2

0

1

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 2a 0 ， 解之得

2 2 a 1 0.a

178.

错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a 0时，圆与抛物线有

两个公共点。

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或

有

第4页（共18页）

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

两个相等正根。

0

当方程①有一正根、一负根时，得 2解之，得 1 a 1.

a 1 0.

因此，当a

178

或 1 a 1时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y2

1212

x有

两个公共点。

思考题：实数a为何值时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y2

x，

(1)有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共

点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问

题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列 an 的全n项和为Sn.若S3 S6 2S9，求数列的公比q.

a1(1 q)1 q

3

错误解法

S3 S6 2S9,

6

3

a1(1 q)1 q

6

2

a1(1 q)1 q

9

，

整理得q(2q q 1）＝0.

3

由q 0得方程2q q 1 0.

63

(2q 1)(q 1) 0, q

33

42

或q 1

。

错误分析 在错解中，由

a1(1 q)1 q

3

3

a1(1 q)1 q

6

2

a1(1 q)1 q

9

，

整理得

q(2q q 1）＝0时，应有a1 0和q 1。

36

在等比数列中，a1 0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q 1的情况，再在q 1的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法 若q 1，则有S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1.但a1 0，即得

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

S3 S6 2S9,与题设矛盾，故q 1.

又依题意 S3 S6 2S9

a1(1 q)1 q

3

a1(1 q)1 q

6

2

a1(1 q)1 q

9

363333q(2q q 1）＝0,即(2q 1)(q 1) 0,因为q 1，所以q 1 0,所以

2q 1 0.解得 q

3

42

.

说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2 2x仅有一个交点。

错误解法 设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1，则它与抛物线的交点为 y kx 1

，消去y得(kx 1)2 2x 0.整理得 k2x2 (2k 2)x 1 0. 2

y 2x

直线与抛物线仅有一个交点， 0,解得k

12

. 所求直线为y

12x 1.

错误分析 此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k 0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,1)，所以

x 0,即y轴，它正好与抛物线y

2

2x相切。

2

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线y 2x只有一个交点。

第6页（共18页）

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

y kx 1

③一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1(k 0),则 2，

y 2x

22

kx (2k 2)x 1 0.令 0,解得k = ,∴ 所求直线为y

12

12

x 1.

综上，满足条件的直线为：y 1,

x 0,y

12

x 1.

《章节易错训练题》

1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是 A(集合元素的确定性) (A)

(D) 0或1或2

0 (B) 0或1

(C) 0或2

2、已知A = {x | x2 + tx + 1 = 0}， 若A∩R* = ，则实数t集合T = ___。

tt 2 (空集)

3、如果kx+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)

(A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1<k≤0 (D) －1<k<0 4、命题A:x 1＜3，命题B:(x 2)(x a＜)0，若A是B的充分不必要条件，

则a的取值范围是C(等号)

（A）(4, ) （B） 4, （C）( , 4) （D） , 4 1

5、若不等式x2－logax<0在(0, )内恒成立，则实数a的取值范围是A(等号)

2(A) [∪(1,2)

6、若不等式(－1)a < 2 +取值范围是A(等号) 3

(A) [－2，)

2

3

(B) (－2， )

2

3

(C) [－3， )

2

(D) (－3，

n

2

1

,1) (B) (1, + ) 16

(－1)n + 1

(C) (

1

,1) 161

(D) (,1)

2

n

对于任意正整数n恒成立，则实数a的

3) 2

7、已知定义在实数集R上的函数f(x)满足：f(1) 1；当x 0时，f(x) 0；对

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

于任意

的实数x、y都有f(x y) f(x) f(y。证明：f(x)为奇函数。(特殊与一般关)系)

8、已知函数f(x) =

1－2x

，则函数f(x)的单调区间是_____。递减区间(－ ，x + 1

－1)和(－1， + )

（单调性、单调区间） 9、函数y = 义域）

log0. 5(x2－1) 的单调递增区间是________。[－，－1）（定

log 2(x+2) x>0

10、已知函数f (x)= x ， f (x)的反函数f －1(x)=

x≤0 x－1 2－2 x>1

x 0≤x<1 x－1

（漏反函数定义域即原函数值域）

x

。

11、函数 f (x) = log 1 (x + a x + 2) 值域为 R，则实数 a 的取值范围

2

2

是D(正确使用△≥0和△<0) (A) (－22 ,2)

(B) [－22 ,2]

(C) (－ ,－2)∪(22 ,+ ) (D) (－ ,－22 ]∪

[22 ,+ )

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件) （A）2

x 4x 3x x 6

22

3（B）

42（C）

3

25

（D）0

25

13、函数y=义域）

的值域是________。(－∞, )∪(,1)∪(1,+∞) （定

14、函数y = sin x (1 + tan x tan )的最小正周期是C （定义域）

2

(A)

2

x

(B) (C) 2 (D) 3

15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 x [0,1) 时，f (x) = 2 x，则

f (log 1 23) = D(对数运算)

2

(A)

23 16

(B)

16 23

(C) －

16 23

(D) －

23 16

第8页（共18页）

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

16、已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值。 （1）讨论f(1)和f( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

（2）过点A(0,16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程。(2004天津) （求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。）

sin cos

17、已知tan ( －)= － 则tan = ； = 。22

353cos －2sin 3 、（化齐次式） 23

18、若 3 sin 2 + 2 sin 2 －2 sin = 0，则cos 2 + cos 2 的最小值是 __ 。

14

(隐含条件) 9

13

19、已知sin + cos = ， (0， )，则cot = _______。－(隐含

54条件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的

角，若a =2、

b 2、A ，则∠B = B(隐含条件)

4

（A）

12

（B）

6

（C）

6

或

5 6

（D）

12

或

11 12

11

21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则(a + )2 + (b + )2的最小值是_______。

ab

25

(三相等) 2

22、已知x ≠ k (k Z)，函数y = sin2x + （三相等） 23、求y

2sin

2

4

sin2x

的最小值是______。5

x

8cos

2

x

的最小值。

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

错解1 y

2sin

2

x

8cos

2

x

2

2sin

2

xcos

8

2

x

8|sinxcosx|

16|sin2x|

16,. ymin 16.

错解2

y (

2sin

2

x

sin

2

x) (

8cos

2

x

cos

2

x) 1 22 28 1 1 62.

2sin

2

错误分析 在解法1中，y 16的充要条件是即|tanx|

12

x

8cos

2

x

且|sin2x| 1.

且|sinx| 1.这是自相矛盾的。 ymin 16.

在解法2中，y 1 62的充要条件是

2sin

2

x

sin

2

x且

8cos

2

x

cos

2

x，即sin

2

x 2，cos

2

x 22,这是不

可能的。

正确解法1 y 2csc2x 8sec

2(1 cot

2

2

x

2

x) 8(1 tan

2

x)

10 2(cotx 4tan

2

2

x)

2

x

10 2 2cot 18.

x 4tan

其中，当cotx 4tan

22

x，即cot

2

x 2时，y 18. ymin 18.

正 确 解 法2 取正常数k，易得

y (

2sin

2

x

ksin

2

x) (

8cos

2

x

kcos

2

x) k

2 2k 2 k k 6 2k k.

其中“ ”取“＝”的充要条件是

第10页（共18页）

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

2sin

2

x

ksin

2

x且12

8cos

2

x

kcos

2

x，即tan

2

x

12

且k 18.

因此，当tan

2

x 时，y 6

n－1

2k k 18, ymin 18.

24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2数)

(n≥2)，则an = ________。2－1(认清项

n

25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列， 则 b2 (a2－a1) = A(符号) (A) －8

99

(B) 8 (C) － (D)

88

26、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等

比数列吗？

当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列； 当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。 （忽视公比q = －1）

27、已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件：

a1 a,an f(an 1)(n 2,3,4,...),a2 a1，f(an)－f(an－1) = k(an－an

－1

)(n = 2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令bn an 1 an(n N*)，

证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）当|k| 1时，求

liman。

n

（等比数列中的0和1，正确分类讨论）

28、不等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件) 29、i是虚数单位，

(A) －1

2

(－1+i)(2+i)

i3

(B) －i

的虚部为（ ）C(概念不清)

(C) －3

(D) －3 i

30、实数m，使方程x (m 4i)x 1 2mi 0至少有一个实根。

错误解法 方程至少有一个实根，

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

22

(m 4i) 4(1 2mi) m 20 0 m 25,或m 25.

错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法 设a是方程的实数根，则

a (m 4i)a 1 2mi 0,

2

a ma 1 (4a 2m)i 0.

2

由于a、m都是实数，

a2 ma 1 0

,解得 m 2.

4a 2m 0

31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。

343443

( ，－ )或(－ )；(，)或(－ 555555

43

，－ )(漏解) 55

32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。

a = (h，4h+8) (其中h R)(漏解)

33、已知 |a|＝1，|b|＝2，若a//b，求a·b。

①若a，b共向，则 a·b＝|a| |b|＝

2，

2。(漏解)

②若a，b异向，则a·b＝－|a| |b|＝－

34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则

正三棱锥A－BCD的体积为____________。

2 3

a (隐含条件) 24

35、在直二面角 －AB－ 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 、 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解) (A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 60 或 120

36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

第12页（共18页）

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津) (条件不充分(漏PA 平面EDB，DE 平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。)

x 2 2

37、若方程 + y = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+

m

)(漏解)

x 2 2

38、已知椭圆 + y = 1的离心率为 ，则 m 的值为 ____ 。4 或

m2

1

(漏解) 4

39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点

2

，则椭圆的方程3

F1、F2 组成的三角形的周长为 4 + 2且∠F1BF2 =

是 。

x 2

4

+ y = 1或x +

2 2

y 2

4

= 1(漏解)

40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c 0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若OP OQ 0，求直线PQ的方程； （3）设AP AQ（ 1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FM FQ。(2004天津)

(设方程时漏条件a>，误认短轴是b = 2；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)

41、 已知双曲线的右准线为x 4，右焦点F(10,0),离心率e 2,求双曲线方程。

a

2

错解1 x

c

4,c 10, a

2

40, b

2

c a

22

60.故所求的双曲线方

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

程为

x

2

40

y

2

60

1.

ca

2

2

2

错解2 由焦点F(10,0)知c 10, e

x

2

2, a 5,b c a 75.

故所求的双曲线方程为

25

y

2

75

1.

错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。

正解1 设P(x,y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x 4，

(x 10) y|x 4|

2

2

右焦点F(10,0)，离心率e 2，由双曲线的定义知

2

2

2. 整理

得

(x 2)16

y

48

1.

正解2 依题意，设双曲线的中心为(m,0),

a2

m 4 c

则 c m 10 解得

c

2. a

a 4

222

c 8,所以 b c a 64 16 48, m 2.

故所求双曲线方程为

(x 2)16

2

y

2

1.

48

2

42、求与y轴相切于右侧，并与⊙C:x y 6x 0也相

2

的圆的圆心

的轨迹方程。

错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为

(x 3) y

2

2

9.

第14页（共18页）

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

设点P(x,y)(x 0)为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与y轴相切于M点， 与⊙C相切于N点。根据已知条件得

|CP| |PM| 3，即

(x 3) y

2

2

x 3，化简得y

2

12x(x 0).

错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y 0(x 0且x 3)也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y = 12x(x>0)和y 0

2

(x 0且x 3)。因此，在求轨迹时，

一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

43、（如图3－2－2），具有公共y轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角

2

求曲线C y轴－ 等于60 .已知 内的曲线C 的方程是y 2px (p 0)，

在 内的射影的曲线方程。

错误解法 依题意，可知曲线C 是抛物线， 在 内的焦点坐标是F (

p2

,0),p 0.

因为二面角 y轴－ 等于60 ，

且x 轴 y轴，x轴 y轴，所以 xox 60 .

设焦点F 在 内的射影是F(x,y)，那么，F位于x轴上

从而y 0, F OF 60 , F FO 90 ,

图3－2

p1pp

.所以点F(,0)是所求射影的焦点。依题意，2244

射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C 在 内的射影的曲线

所以OF OF cos60

方程是y px.

错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 2

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

的焦点，其次，没有证明默认C在 内的射影(曲线)是一条抛物线。

正确解法 在 内，设点M(x ,y )是曲线上任意一

（如图3－2－3）过点M作MN ，垂足为N， 过N作NH y轴，垂足为H.连接MH， 则MH y轴。所以 MHN是二面角 y轴－ 的平面角，依题意， MHN 60 .

/

在Rt MNH中,HN HM cos60 又知HM//x 轴（或M与O重合），

12

x .

HN//x轴（或H与O重合），设N(x,y)，

图3－2

1

x x

则 2

y y

x 2x

y y.

因为点M(x ,y )在曲线y2 2px (p 0)上，所以y2 2p(2x). 即所求射影的方程为 y2 4px(p 0).

32

32

44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率e ，已知点P(0,)

到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。

错误解法 依题意可设椭圆方程为

xa

22

yb

22

1(a b 0)

则 e

2

ca

22

a ba

2

22

1

ba

22

34

，

所以

ba

22

14

，即 a 2b.

第16页（共18页）

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d，

2

2

则 d x (y

32

)

2

a(1

2

yb

22

) y 3y

2

2

2

94

3(y

12

12

) 4b 3.

所以当y 时，d2有最大值，从而d也有最大值。

所以 4b2 3 (7)2，由此解得：b2 1,a2 4.

2

于是所求椭圆的方程为

x

4

y

2

1.

错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当y

12

时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑

2

事实上，由于点(x,y)在椭圆上，所以有 b y b，因此在求dy到的取值范围。

的最大值时，应分类讨论。即：

若b

12

，则当y b时，d2（从而d）有最大值。

2

于是(7) (b

12

32

),从而解得b

12

2

7

32

12

,与b

12

矛盾。

所以必有b ，此时当y

2

时，d（从而d）有最大值，

2

2

22

所以4b 3 (7)，解得b 1,a 4.

于是所求椭圆的方程为

x

2

4

y

2

1.

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网

相关搜索：高中数学直线方程及其应用

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。

第18页（共18页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/emv4.html