2022年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第5讲两角和与差

实用文档 2021年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第5讲两角和与差的

正弦余弦和正切理

一、选择题

1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ? ????π4－α，则sin 2α等于( )

A.12 B ．－12 C.22 D ．－2

2

解析 由cos 2α＝cos ? ????

π4－α

得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝2

2(cos α＋sin α)

由α为锐角知cos α＋sin α≠0.

∴cos α－sin α＝2

2，平方得1－sin 2α＝1

2.

∴sin 2α＝1

2.

答案 A

2．若1＋cos 2α

sin 2α＝1

2，则tan 2α等于 ( )． A.5

4 B ．－5

4 C.4

3 D ．－4

3

解析 1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2

α

2sin αcos α＝cos α

sin α＝1

2，

∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α

1－tan 2α＝41－4＝－4

3，故选D.

答案 D

3．已知α，β都是锐角，若sin α＝5

5，sin β＝10

10，则α＋β＝ (

)． A.π

4 B.3π

4

实用文档 C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4 解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255

，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4. 答案 A

4．已知sin θ＋cos θ＝43?

????0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为 ( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13

解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79

，又0<θ<π4

，∴sin θ

23. 答案 B

5．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ? ??

??1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为

( )． A ．1 B.110 C ．1或110 D ．1或10

解析 tan(α＋β)＝1?tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg

10a ＋lg ? ????1a

1－lg 10a ·l g ? ????1a ＝1?lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110

. 答案 C

6．已知cos ? ????α－π6＋sin α＝435，则sin ?

????α＋7π6的值是( )． A ．－235 B.236 C ．－45 D.45

解析 cos ?

????α－π6＋sin α＝435?32sin α＋32cos α ＝435?sin ?

????α＋π6＝45，

实用文档 所以sin ? ????α＋7π6＝－sin ?

????α＋π6＝－45. 答案 C

二、填空题

7．已知cos ? ????α＋π4＝13，α∈?

????0，π2，则cos α＝________. 解析 ∵α∈?

????0，π2，∴α＋π4∈? ????π4，3π4， ∴sin ?

????α＋π4＝223. 故cos α＝cos [?

????α＋π4－π4] ＝cos ? ????α＋π4cos π4＋sin ?

????α＋π4sin π4 ＝13×22＋223×22＝4＋26

. 答案 4＋26

8．设α为锐角，若cos ?

????α＋π6＝45，则 sin ?

????2α＋π12的值为________． 解析 ∵α为锐角且cos ?

????α＋π6＝45， ∴α＋π6∈? ????π6，2π3，∴sin ?

????α＋π6＝35. ∴sin ? ????2α＋π12＝sin ??????2?

????α＋π6－π4 ＝sin 2? ????α＋π6cos π4－cos 2?

????α＋π6sin π4 ＝2sin ? ????α＋π6cos ? ????α＋π6－22??????2cos 2?

????α＋π6－1 ＝2×35×45－22??????2×? ????452－1＝12225

－7250＝17250. 答案 17250

9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．

实用文档 解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ? ????2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2.

答案 1－ 2

10．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈? ??

??－π2，π2，则A ＋B ＝________.

解析 由题意知tan A ＋tan B ＝－3a <－6，tan A ·tan B ＝3a ＋1>7，∴tan A <0，tan B <0， tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a 1－3a ＋1

＝1. ∵A ，B ∈? ????－π2，π2，∴A ，B ∈? ??

??－π2，0， ∴A ＋B ∈(－π，0)，∴A ＋B ＝－3π4

. 答案 －3π4 三、解答题

11．已知函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π3＋sin ?

????2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求函数f (x )在区间????

??－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3

＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ?

????2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2

＝π. (2)因为f (x )在区间??????－π4，π8上是增函数，在区间??????π8，π4上是减函数．又f ? ??

??－π4＝－1，f ? ????π8＝2，f ? ????π4＝1，故函数f (x )在区间????

??－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.

12．已知sin α＋cos α＝355，α∈? ????0，π4，sin ? ????β－π4＝35，β∈? ??

??π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；

(2)求cos(α＋2β)的值．

实用文档 解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95

， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45

. 又2α∈?

????0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43

. (2)∵β∈? ????π4，π2，β－π4∈? ????0，π4，sin ?

????β－π4＝35， ∴cos ?

????β－π4＝45， 于是sin 2? ????β－π4＝2sin ?

????β－π4cos ? ????β－π4＝2425. 又sin 2?

????β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425， 又2β∈? ??

??π2，π，∴sin 2β＝725， 又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈?

????0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55

. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×? ????－2425－55×725＝－11525. 13．函数f (x )＝6cos 2ωx

2＋ 3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图

象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．

(1)求ω的值及函数f (x )的值域；

(2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈? ??

??－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋ 3sin ωx

＝23sin ?

????ωx ＋π3， 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，

所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4

. 函数f (x )的值域为[－23，23]．

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