2012届邳州市宿羊山高级中学高三摸底考试数学模拟试题(正题)

高中数学试题

2012届邳州市宿羊山高级中学高三摸底考试模拟试题

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指 定位置上. 1．已知集合P 2,0,2,4 ,Q x|0 x 3 ，则P Q 2．命题“若实数a满足a≤2，则a 4

”的否命题是命题（填“真”、“假”之一）． 3. 已知复数z (2 i)i(i为虚数单位)，则z.

4. 已知等差数列{an}满足a3 a7 10

，则该数列的前9项和S9 .5．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是.

6. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方

2

差s 7．执行右图所示的程序框图，则输出的y的值是8．已知向量a (3,1),b ( 1,)，若向量a b与向量a垂直，则实数 的值为 .

第7题

2

1

2

x2 2x 1,

9. 设f(x)

2x 6,

x 0

，若f(t) 2，则实数t的取值范围是． x 0

10．若y Asin( x )(A 0, 0,| | 之差为

2

)的最小值为 2，其图象相邻最高点与最低点横坐标

第11题

，且图象过点，则其解析式是 ▲ . 2

xy 1(a b 0)的左22ab

22

11. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆

顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若 BAO BFO 90，则椭圆的

高中数学试题

离心率是 ▲ .

12. 直线l与函数y sinx(x 0, )的图像相切于点A，且l//OP，O为坐标原点，P为图像的

极值点，l与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则BA BC.

13. 已知圆O的方程为x2 y2 2，圆M的方程为(x 1)2 (y 3)2 1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是 ▲ .

14. 设等差数列 an 满足：公差d N，且 an 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若 an N*，

*

a1 35，则d的所有可能取值之和为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把 答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)

如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，点D是BC的中点. （Ⅰ）求证: AD 平面BCC1B1； （Ⅱ）求证:AC1

平面AB1D.

B1

A1

16．(本小题满分14分)

1

B

D

C

第15题

A

如图，在 ABC中，BC边上的中线AD长为3

，且cosB （Ⅰ）求sin BAD的值； （Ⅱ）求AC边的长．

1，cos ADC ．

48

A

B D

第16题

C

高中数学试题

某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过 ．．3km以外的路程按2.4元/km收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定 费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当 路程为100km时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm.

(Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；

(Ⅱ)若一次载客的路程不少于2km,则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益

y(y

F C

)取得最大值? x

18．(本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1( 4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线y t(0 t 8)与 线段AF1、AF2分别交于点P、Q.

(Ⅰ)当t 3时，求以F1,F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点Q作直线QR AF1交F1F2于点R，记 PRF1的外接圆为圆C.

① 求证:圆心C在定直线7x 4y 8 0上；

② 圆C是否恒过异于点F1的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

第18题

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已知f(x)为R上的偶函数，当x 0时，f(x) ln(x 2). (Ⅰ)当x 0时，求f(x)的解析式；

(Ⅱ)当m R时，试比较f(m 1)与f(3 m)的大小；

(Ⅲ)求最小的整数m(m 2)，使得存在实数t，对任意的x [m,10]，都有f(x t) 2ln|x 3|.

20．(本小题满分16分)

已知数列 an 满足[2 ( 1)n 1]an [2 ( 1)n]an 1 1 ( 1)n 3n，n N，a1 2.

*

(Ⅰ)求a2，a3的值；

(Ⅱ)设bn a2n 1 a2n 1，n N，证明: bn 是等差数列；

*

(Ⅲ)设cn an

12

n，求数列 cn 的前n项和Sn. 2

（参考答案）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1． 2 2．真

3.

4．45 5．

165

6. 7．1 8．4 9.1:8

59

x 10.y 2sin(2

3

)

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2 41

11

． 12. 13. 1或 7 14. 364

42

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把

答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)

证:（Ⅰ）因为 ABC是正三角形,而D是BC的中点，所以AD BC……………………………… 3分

又BC是两个相互垂直的平面ABC与面BCC1B1的交线,且AD 面ABC,

所以AD 面BCC1B1…………………………………………………………………………………… 7分

DE,由D是BC的中点, （Ⅱ）连接A1B,设AB1 A1B E,则E为A1B的中点,连接

得DE AC………11分 又DE 面AB1D,且AC 面AB1D,所以AC11………14分 AB1D16．(本小题满分14分) 解

:

（

Ⅰ

）

因

为

平面

cosB

8

，所

以

sinB

…………………………………………………………2分 8

1,

所以sin ADC ………………………………………………………… 4又cos ADC 4分

所以sin BAD sin( ADC B) sin ADCcosB cos ADCsinB

16

………………………………………………………………………7( )

4分 （Ⅱ）在 ABD中,由正弦定理,得

ADBD

,

即,解得sinBsin BADBD 2……………10分

222

故DC 2,从而在 ADC中,由余弦定理,得AC AD DC 2AD DCcos ADC

=

1

32 22 2 3 2 ( ) 16

4

,所以

AC 4………………………………………………………14分

17．(本小题满分14分)

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70 x 3 70 x 3

解: (Ⅰ) F(x) …………………………3

7 2.4 (x 3)x 32.4x 0.2x 3

分 设

折

旧

费

z kx2

,将(100,0.1)代入,得.

0.1 1002k

,解得

k

1

……………………………………5分 105

以

所

C(x x

12

x…………………………………………………………………………7分) 510

4.71

5x 1.62 x 3F C x10y (Ⅱ)因为,所以y ……………………………………11分

x

0.8 (2.5 1x)x 3 x105 ①当x 3时,由基本不等式,

得y 0.8 号)……………12分 ②

当

0.79(当且仅当x 500时取等2 x 3

时,由y在[2,3]上单调递减,得

ymax

4.722

5 1.6 0.75 5 0.79…………13分 21010

答: 该市出租汽车一次载客路程为500km时,每km的收益y取得最大值…………………………14分

18．(本小题满分16分)

x2y2

解:(Ⅰ)设椭圆的方程为2 2 1(a b 0),当t 3时,PQ的中点为(0,3),所以

ab

b=3……………3分 而

a2 b2 16

,所以

a2 25

，故椭圆的标准方程为

x2y2

1……………………………………5分 204

(Ⅱ)①解法一:易得直线AF1:y 2x 8;AF2:y 2x 8, 所

以

可

得

P(

t 88 t

,t),Q(,t)22

,再由

Q R

1

,A得F

R(4 t,0)………………………………………8分

则线段F1R的中垂线方程为x

t15t 16

, 线段PF1的中垂线方程为y x , 228

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15t 16 y x 28,解得 PRF的外接圆的圆心坐标为( t,7t 2)…………………10分 由 1 28t x 2

经验证,该圆心在定直线7x 4y 8 0上…………………………………………………… 11分 解法二: 易得直线AF1:y 2x 8;AF2:y 2x 8,所以可得P(

t 88 t

,t),Q(,t), 22

再由QR AF1,得R(4 t,0)……………………………………………………………………8分 设 PRF1的外接圆C的方程为x2 y2 Dx Ey F 0,

D t (4 t)2 (4 t)D F 0 72则y ,解得 ( 4) 4D F 0 E 4 t…………………………………10分

4 t 8 t 8

( )2 t2 D tE F 0 F 4t 16 22

t7t

, 2),经验证,该圆心在定直线7x 4y 8 0上…………………11分 28

722

②由①可得圆C的方程为x y tx (4 t)y 4t 16 0……………………………13分

4722

该方程可整理为(x y 2y 16) t(x y 4) 0,

4

所以圆心坐标为(

4

x2 y2 4y 16 0x x 4 13或 则由 ,解得 , 7

32 y 0 x y 4 0 y 4 13

所以圆C恒过异于点F1的一个定点,该点坐标为(19．(本小题满分16分)

432

,)…………………………………16分 1313

解: (Ⅰ)当x 0时，f(x) f( x) ln( x 2)…………………………………………………3分 (Ⅱ)当x 0时,f(x) ln(x 2)单调递增,而f(x)是偶函数,所以f(x)在( ,0)上单调递减, 所以f(m 1)＞f(3 m) |m 1| |3 m| (m 1)2 (3 m)2 m 2………………6分 所以当m 2时, f(m 1) f(3 m)；当m 2时, f(m 1) f(3 m)；

当m 2时, f(m 1) f(3 m)……………………………………………………………… 8分 (Ⅲ)当x R时,f(x) ln(|x| 2),则由f(x t) 2ln|x 3|,得ln(|x t| 2) ln(x 3)2, 即|x t| 2 (x 3)2对x [m,10]恒成立………………………………………………………12分

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t x2 5x 7从而有 对x [m,10]恒成立,因为m 2， 2

t x 7x 7

t (x2 5x 7)min m2 5m 7

………………………………………………………14所以 22

t ( x 7x 7)max m 7m 7

分

因为存在这样的t ,所以 m2 7m 7 m2 5m 7,即m2 6m 7 0…………………… 15分 又m 2,所以适合题意的最小整数m 1………………………………………………………16分

20．(本小题满分16分)

解: (Ⅰ)因为[2 ( 1)n 1]an [2 ( 1)n]an 1 1 ( 1)n 3n (*),且a1 2,所以将n 1代入(*)式,

得3a1 a2 2,故a2 8……1分 将n 2代入(*)式,得a2 3a3 7,故a3 5…………2分

(Ⅱ)在(*)式中,用2n代换n,得[2 ( 1)2n 1]a2n [2 ( 1)2n]a2n 1 1 ( 1)2n 6n, 即a2n 3a2n 1 1 6n ①,

再在(*)式中,用2n 1代换n,得[2 ( 1)2n]a2n 1 [2 ( 1)2n 1]a2n 1 ( 1)2n 1 (6n 3), 即3a2n 1 a2n 4 6n ②, ①－②,得3(a2n 1 a2n 1) 12n 3,即

bn 4n 1…………………6分

则由bn 1 bn (4(n 1) 1) (4n 1) 4,得 bn 是等差数列……………………………………… 8分

(Ⅲ)因为a1 2,由(Ⅱ)知,a2k 1 a1 (a3 a1) (a5 a3) (a2k 1 a2k 3)

2 (4 1 1) (4 2 1) (4 (k 1) 1)=(k 1)(2k 1) 2 ③,

将③代入②,得3(k 1)(2k 1) 6 a2k 4 6k,即a2k 6k2 3k 5………………………… 10分

171

(2k 1)2=4k2 5k ,c2k a2k (2k)2= 4k2 3k 5, 22233

则c2k 1 c2k 2k ,所以S2k (c1 c2) (c3 c4) (c2k 1 c2k)= [(2 1 )

22

333335

(2 2 ) (2 k )] [(2 1 ) (2 2 ) (2 k )] k2 k………

222222

所以c2k 1 a2k 1 13分

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2

所以S2k 1 S2k c2k ( k

511

k) ( 4k2 3k 5) 3k2 k 5…………………………… 22

15分

故

3n2 5n 12 211

(n为奇数)3k k 5(n 2k 1) 24Sn ………………………………162

5 k2 k n 5n(n 2k)(n为偶数) 2 4

分

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