2012北京市丰台区2012年高三二模（理科）数学试题及答案

北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数

1?i2?i

的虚部是

(B) ?35i

(A) ?i (C) –1 (D) ?35

2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正

视图的面积为

(A)

2 (B) 3 (D) 4

1x(C) 2 3．由曲线y?(A)

3132与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是

(B)

2316俯视图

12

(C) ln4? (D) ln4?1

开始 4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填

(A) n?7 (B) n?7

(C) n?6 (D) n?6

S?0，n?1，a?3 5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次 S?S?a 数恰为3次的概率是

(A) (C)

1812544125

(B) (D)

3612581125

a?a?2 n?n?1

否 是 输出S 结束 ????????6．在△ABC中，∠BAC=90o，D是BC中点，AB=4，AC=3，则AD?BC= (A) ?7 (C)

72(B) ?72

(D) 7

7．已知函数y?sinax?b(a?0)的图象如图所示，则函数y?loga(x?b)的图象可能是

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1

(A)

(B)

(C)

(D)

8．已知平面上四个点A1(0,0)，A2(23,2)，A3(23?4,2)，A4(4,0)．设D是四边形A1A2A3A4及其内

部的点构成的点的集合，点P0是四边形对角线的交点，若集合S?{P?D||PP0|?|PAi|,i?1,2,3,4}，则集合S所表示的平面区域的面积为 (A) 2

(B) 4 (C) 8

第二部分 （非选择题 共110分）

(D) 16

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在极坐标系中，圆??2sin?的圆心的极坐标是____．

10．已知椭圆

xm22?y22m?7?1(m?则该椭圆的离心率为______． 7)上一点M到两个焦点的距离分别是5和3，

11．如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆

于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______．

PCDB12．某地区恩格尔系数y(%)与年份x的统计数据如下表：

年份x 恩格尔系数y(%) 2004 47 2005 45.5 2006 43.5 2007 41 A??4055.25，据??bx从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为y此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．

13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲

不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：①点A，B都在函数y?f(x)图象上；②点A，B关

于原点对称，则称点对(A,B)是函数y?f(x)的一个“姐妹点对”（规定点对(A,B)与点对(B,A)

?x?4,?x?2x,2是同一个“姐妹点对”）．那么函数f(x)??x?0,x?0, 的“姐妹点对”的个数为_______；当

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2

函数g(x)?ax?x?a有“姐妹点对”时，a的取值范围是______． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

已知函数f(x)?cosx(3cosx?sinx)?（Ⅰ）求f()的值；

3?3．

（Ⅱ）求函数y?f(x)在区间[0,

?2]上的最小值，并求使y?f(x)取得最小值时的x的值．

16.（本小题共13分）

某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每超过1000．元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望Eξ=22．

ξ P （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．

17.（本小题共14分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90o， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．

（Ⅰ）若P是DF的中点，

(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP；

(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为63100 0.05 80 a 60 b 0 0.7 ，求PF的长度．

FEPADBC

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3

18.（本小题共13分）

已知数列{an}满足a1?4，an?1?an?p?3n?1(n?N?，p为常数)，a1，a2?6，a3成等差数列． （Ⅰ）求p的值及数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足bn?

19.（本小题共14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0，4)到焦点F的距离为5．斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点．

（Ⅰ）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；

（Ⅱ）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．

20.（本小题共13分）

设函数f(x)?xlnx?(a?x)ln(a?x)(a?0)． （Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)的最小值；

（Ⅱ）证明：对?x1，x2∈R+，都有x1lnx1?x2lnx2?(x1?x2)?ln(x1?x2)?ln2?；

2nn2an?n，证明：bn?49．

2n（Ⅲ）若?xi?1，证明：?xilnxi??ln2 (i,n?N*)．

i?1i?1n（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

北京市丰台区2012年高三二模

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 1 2 3 4 答案 D A C D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．(1,?2) 10．5 B 6 B 7 C 8 B 74 11．3，

377

12．31.25 13． 96 14．1，a?1

注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．

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4

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.解：因为f(x)?cosx(3cosx?sinx)?=3(1?cos2x2)?12sin2x?3＝3cosx?sinxcosx?23

3

＝

32cos2x?12sin2x?32

＝cos(2x??6)?32?6．

（Ⅰ）f()?cos(2?3??332?)?32

=?32??2 ????????7分 ??3．（Ⅱ）因为 x?[0,]，

所以

?6?2x??6?6???6．

5?12当 2x???，即x?时，函数y?f(x)有最小值是?1?32．

当x?

5?12时，函数y?f(x)有最小值是?1?32． ????????13分

16．解：（Ⅰ）依题意，E??100?0.05?80a?60b?0?0.7?22，

所以 80a?60b?17．

因为 0.05?a?b?0.7?1，

所以a?b?0.25．

?80a?60b?17,?a?0.1,由 ? 可得? ????????7分

a?b?0.25,b?0.15.??（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．

奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A，

则P(A)?0.05?0.05?2?0.05?0.1?2?0.05?0.15?0.1?0.1?0.0375．

答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ????????13分

17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．

因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，

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5

所以OP为三角形BDF中位线，

所以BF // OP，

因为BF?平面ACP，OP?平面ACP，

所以BF // 平面ACP． ????????4分 (ⅱ)因为∠BAF=90o， 所以AF⊥AB，

因为 平面ABEF⊥平面ABCD， 且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，

FEPAOCDB所以AF⊥平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，

所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O?xyz． 所以 B(1,0,0)，E(,0,1)，P(0,1,)，C(1,2,0)． 22????????11所以 BE?(?,0,1)，CP?(?1,?1,)，

22????????????????BE?CP45??????所以cos?BE,CP??????，

15|BE|?|CP|E11zFPABxCDy即异面直线BE与CP所成角的余弦值为

4515． ????????9分

（Ⅱ）解：因为AB⊥平面ADF，

??所以平面APF的法向量为n1?(1,0,0)．

设P点坐标为(0,2?2t,t)，

????????在平面APC中，AP?(0,2?2t,t)，AC?(1,2,0)，

???2t?2n)， 所以 平面APC的法向量为2?(?2,1,t??????????|n?n2|26???所以 cos?n1,n2????1??，

3|n1|?|n2|2t?222(?2)?1?()t解得t?23，或t?2（舍）．

53此时|PF|?

． ????????14分

n18．解：（Ⅰ）因为a1?4，an?1?an?p?3?1，

12所以a2?a1?p?3?1?3p?5；a3?a2?p?3?1?12p?6．

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6

因为a1，a2?6，a3成等差数列，

所以2(a2?6)=a1+a3， 即6p?10?12?4?12p?6， 所以 p?2． 依题意，an?1?an?2?3n?1， 所以当n≥2时，a2?a1?2?31?1，

a3?a2?2?32?1，

??

an?2n?1?an?2?2?3?1，

an?1n?an?1?2?3?1．

相加得an?1n?22n?a1?2(3?3???3?3)?n?1，

所以 an?a1?23(1?3n?1)1?3?(n?1)，

所以 ann?3?n．

当n=1时，a11?3?1?4成立，

所以 a3nn??n． （Ⅱ）证明：因为 ann?3?n，

所以 bn2n2n?(3n?n)?n?3n．

22因为 bn?1?bn?(n?1)2n2?2n+13n+1?n3n=?3n?1，(n?N*)．

若 ?2n2+2n?1?0，则n?1?32，即 n?2时 bn?1?bn．又因为 b11?3，b2?49，

所以b4n?9．

19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C：x2?2py(p?0)，

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????????8分

13分

7

????????因为点P到焦点F的距离为5， 所以点P到准线y??p2的距离为5．

p2?1，p?2．

因为P(x0，4)，所以由抛物线准线方程可得

所以抛物线的标准方程为x2?4y． ????????4分 即 y?14x，所以 y'?122124，4)， x，点P(±

12?4?2．

所以 y'|x??4??(?4)??2，y'|x?4?所以 点P(-4，4)处抛物线切线方程为y?4??2(x?4)，即2x?y?4?0； 点P(4，4)处抛物线切线方程为y?4?2(x?4)，即2x?y?4?0．

P点处抛物线切线方程为2x?y?4?0，或2x?y?4?0． ????????7分

（Ⅱ）设直线l的方程为y?2x?m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

?x2?4y联立 ?，消y得 x2?8x?4m?0，??64?16m?0．

?y?2x?m所以 x1?x2?8，x1x2??4m， 所以

x1?x22?4，

y1?y22?8?m，

即AB的中点为Q(4,8?m)．

所以 AB的垂直平分线方程为y?(8?m)??因为 四边形AMBN为菱形，

所以 M(0,m?10)，M，N关于Q(4,8?m)对称， 所以 N点坐标为N(8,m?6)，且N在抛物线上， 所以 64?4?(m?6)，即m?10，

所以直线l的方程为 y?2x?10． ????????14分

20．解：（Ⅰ）a?1时，f(x)?xlnx?(1?x)ln(1?x)，(0?x?1)，

则f?(x)?lnx?ln(1?x)?ln令f?(x)?0，得x?12x1?x12(x?4)．

．

．

8

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当0?x?当

1212时，f?(x)?0，f(x)在(0,)是减函数，

212,1)是增函数， 1121?x?1时，f?(x)?0，f(x)在(12所以 f(x)在x?时取得最小值，即f()?ln2． ????????4分

（Ⅱ）因为 f(x)?xlnx?(a?x)ln(a?x)，

所以 f?(x)?lnx?ln(a?x)?ln所以当x?a2+

xa?x．

时，函数f(x)有最小值．

?x1，x2∈R，不妨设x1?x2?a，则

x1lnx1?x2lnx2?x1lnx1?(a?x1)ln(a?x1)?2?x1?x22ln(x1?x22)

?(x1?x2)?ln(x1?x2)?ln2?． ????????8分

（Ⅲ）（证法一）数学归纳法

ⅰ)当n?1时，由（Ⅱ）知命题成立．

*

ⅱ）假设当n?k( k∈N)时命题成立，

k即若x1?x2???x2?1，则x1lnx1?x2lnx2???x2klnx2k??ln2．

k当n?k?1时，

x1，x2，?，x2k?1?1，x2k?1满足 x1?x2???x2k?1?1?x2k?1?1．

设F(x)?x1lnx1?x2lnx2???x2k?1?1lnx2k?1?1?x2k?1lnx2k?1，

k?1由（Ⅱ）得F(x)?(x1?x2)ln[(x1?x2)?ln2]???(x2=(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2=(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2由假设可得 F(x)??ln2?ln2??ln2所以当 n?k?1时命题成立．

由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，

2nnk?1?1?x2k?1)ln[(x2k?1?1?x2k?1)?ln2]

?1?x2k?1)ln(x2k?1?1?x2k?1)?(x1?x2?...?x2k?1)ln2 ?x2k?1)ln(x2k?1?1?x2k?1)?ln2．

k?1?1kk?1，命题成立．

2所以 若?xi?1，则

i?1?xi?1ilnxi??ln2 (i,n?Nn*)． ????????13分

（证法二）若x1?x2???x2?1，

n那么由（Ⅱ）可得

x1lnx1?x2lnx2???x2nlnx2n

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9

?(x1?x2)ln[(x1?x2)?ln2]???(x2n?1?x2n)ln[(x2n?1?x2n)?ln2] ?(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?(x1?x2?...?x2n)ln2 ?(x1?x2)ln(x1?x2)???(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?ln2

?(x1?x2?x3?x4)ln(x1?x2?x3?x4)??(x2n?1?x2n)ln(x2n?1?x2n)?2ln2 ???(x1?x2?...?x2n)ln[(x1?x2???x2n)?ln2]?(n?1)ln2??ln2n．

（若用其他方法解题，请酌情给分）

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????????13分

10

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