污水处理模型（最终版）

污水处理模型

摘要

随着经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而水资源

更是关系着每个居民的日常生活，因此对于污水处理这一特殊的问题我们在解决时就应该本着高效的原则去实施，在这个污水处理问题中，我们先建立了一般情况下的模型，然后将该模型应用到实际问题中从而解决了实际问题。在模型的建立中我们要考虑工厂的净化能力，江水的自净能力，在保证江水经这一系列的处理后在到达下一个居民点后要达到国家标准，还要花费最少，对该问题进行全面的分析后可知这是一个运筹学方面关于线性规划的最优解问题，在该模型的建立中我们针对江水污水浓度在每个居民点之前小于国家标准这一条件对其建立线性约束条件，然后综合考虑费用最小，在结合三个处理厂各自的情况后，关于费

用抽象数模型的目标函数，运用LINGO9.0规划软件求解，最后求得使江面上所有

地段的水污染浓度达到国家标准时的最小费用为5万元。

关键词： 污水处理 自净系数 污水流量 处理系数 污水浓度

一、 问题重述

如下图，由若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度都已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知，处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数）该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。

工厂1 工厂2 工厂3 处理站1 处理站2 处理站3

居民点1 居民点2 居民点3 江水

先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：

设上游江水流量为1000?1012l/min，污水浓度为0.8mg/l,三个工厂的污水流量均为5?1012l/min，污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50（mg/l），处理系数均为1万元/(1012l/min)?(mg/l)，3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9，0.6。国家规定的污水浓度不能超过1mg/l。

（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多

少费用？

二、 问题分析

通过对该污水处理所花费用最少问题的分析，我们可知在此问题中有多个污水浓度，江水的原始污水浓度，工厂排出的污水浓度，处理厂排出的污水浓度，以及当处理厂排出污水与江水混合后再经江水自净后的浓度，在这几个浓度中只有经处理厂排出的污水的浓度是未知的，其关系着整个问题，要使总费用最少，江中每段的污水浓度都达到国家标准，江水中污水浓度在到达下一居民点之前须达到国家标准1（mg/l），那么问题的重点就在于对污水浓度的认识。在问题中有三个工厂以及对应的三个污水处理厂，那么这三个污水处理厂各向江中投放的污水浓度就要有一个界值，又因当处理厂将污水排到江中之后污水会随着江水不断向下游移动，因此下游污水的浓度与上游污水的浓度是紧密相关的，即江面中每段污水的浓度都是有联系的，在模型的建立过程中我们就要考虑应用递推的方法进行相邻两端之间污水浓度的联系，在问题的求解中因所花费用都是用来对污水的处理，因此对个处理厂排出的污水浓度的确定就显得至关重要，只有确定了这三个未知数即这三个界值后，我们才能建立目标函数从而进一步得到最小花费。基于对江水浓度的限定与对花费最少两方面的考虑，我们建立了线性规划模型。

具体问题分析如下： 对于第一个问题

(1)为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用的

解也就是说对于工厂1所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度就得达到国家标准。同时工厂2，3排出的经过处理的污水与江水经过自净的水混合后也要达到国家标准。这样在求解具体问题的时候每个限制条件在江水与工厂排出的水混合时进行设定。 对于第二个问题

(2)如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用,对居民点1来说其上游的江水污水浓度为0.8(mg/l),低于国家的标准污水浓度，无需考虑。也就是说在第二，三个居民点之前，污水浓度必须达到国家标准，此时处理问题的限制条件发生在第二三个居民点处。这时工厂1排出的污水经过污水厂的处理之后与江水混合，再经过江水自净到达居民点2 之前须达到国家标准，居民点3同理。

三、 模型假设

(1) 河水的水流量和污水浓度短时间内不受天气与居民用水影响，只与工厂的排放有关；

(2) 河水的自我净化能力在短时间内不会发生改变；既自净系数不变； (3) 工厂排出的污水能在很短的时间内很好地与江水均匀融合； (4) 各污染物之间不会发生化学反应，也没有物理沉淀； (5) 工厂均能正常运作，不发生任何事故；

(6) 河水和工厂的水流量均衡，污染物浓度平均；

四、 符号定义及模型假设

符号定义：

Qi 表示第i 段江水的流量 Si 表示各工厂排出污水的流量 Ci 表示第i 段江水中污水的浓度 Ai 表示第i个污水厂的污水浓度 Xi 表示第i个处理厂的污水浓度

Di 表示江水与处理厂的污水混合后的污水浓度 Ri 表示第i个处理厂的处理系数

ti 表示第i段江面的自净系数

M 表示所花费用

CO 表示国家规定的污水浓度，其中 CO=1mg/l

模型假设：

设有n个工厂，n个处理厂与n个居民点，模型中部分相关参数在途中已进行表示如下所示：

工厂i?1， 污水浓度Ai?1， 流量Si?1； 工厂i， 污水浓度Ai， 流量Si； 处理厂1， 污水浓度X1， 流量S1； 处理厂i， 污水浓度Xi， 流量Si； 处理厂i?1， 污水浓度Xi?1， 流量Si?1；

江水流量为Qi，江水上游污水浓度为Ci，各水段自净系数为ti； 工厂1， 污水浓度A1， 流量S1；

居民点 1??居民点i， 居民点i?1 。

当处理厂将污水处理完排放到江中之后，居民点1即要取水，此时所要满足的条件是（为了解决问题方便不妨假设S1?S2?SI?S0）

QIC1?S1X1/(QI?S0)?CO

同理对居民点i其所满足的为C1?C0,其中

Ci?(Ci?1)ti?Xi((Qi?(i?1)S0)Ci?1?S0Xi)/((Qi?(i?1)S0)?S0)

假设花费为M则有 目标函数：

M??RiS0(Ai?Xi) (i?1??n)

五、 模型的建立及求解

模型的建立：

对问题进行一般化处理后我们建立一般化的模型如下： 目标函数：

min M??RiS0(Ai?Xi) (i?1??n) 线性约束条件：

Di?(QiCi?S0Xi)/(Qi?S0)

Ci?1?tiDi

s?t Di?C0

Xi?Ai

模型求解：

在上面的一般模型中我们比较仔细的考虑了江水流量与处理厂的流量问题，但在现实生活中因污水处理厂的处理能力有限，因此其流量相对于江水流量而言较小，我们对其进行理想化的处理即整个江水的流量为一常数Q，在求解i段江面的混合污水浓度时忽略污水厂的流量。得到的简化模型如下所示：

min M??RiS0(Ai?Xi) (i?1,2,3)

Di?Ci?S0Xi/Qi Ci?1?tiDi

s?t Di?C0

Xi?Ai

对于问题(1)求解：

min M?5(100?X1)?5(60?X2)?5(50?X3)

0.005X1?0.2

0.0045X1?0.005X2?0.28

0.0027X1?0.003X2?0.005X3?0.568

s?t X1?100

X2?60 X3?50

利用lingo 求解可得当X1?40，X2?20，X3?50时，M?500. 所以要想使江面所有地段均达到国家标准，所花最小费用为500万元。 对于问题二求解：

min M?5(100?X1)?5(60?X2)?5(50?X3)

0.0045X1?0.2

0.0027X1?0.003X2?0.568

s?t X1?100

X2?60

X3?50

利用lingo 求解可得当X1?62.222225，X2?60，X3?50时，M?188.8889,所以要使个居民点上游江水均达到国家标准，所花最少费用为188.8889万元。

六、 模型的评价

优点：

1) 该方案简单易行,原理清晰,依据可靠,论证有力,结论最优

2 ) 该模型将现实中的污水处理问题用简单的线性规划问题进行分析计算，结构简单，计算方便，有利于对相似问题进行求解和对模型进行扩充，比如工厂的流水作业问题，物品运输问题，空气污染净化等问题的建模求解。

3) 此问题所建立的模型是从一般问题到特殊问题的过渡，所用的数学方法为线性规划，易于用多种数学软件编程求解，例如LINDO，C++，MATLAB等。 缺点：

1．该模型在处理此问题时有假设与理想化的思想，与实际问题的求解还有一定的距离，比如这三个污水厂排出的污水流量相等，实际中居民点是一个面，再此模型中将其看作了一个点来进行处理

2) 模型只从费用单方面考虑，忽略了处理厂与江水流量变化等的实际问题，使得模型的建立偏离一定实际，从而计算结果不准确。

七、 参考文献

1、谭永基，蔡志杰. 数学模型[M].上海：复旦大学出版社. 2005

2、薛定全，陈阳泉. 高等应用数学问题的MATLAB求解[M].北京：清华大学出版社.2004

3、郑汉鼎，刁在筠编著 数学规划[M].,济南：山东教育出版社，1997

4、谢金星，薛毅编著 优化建模与 LINDO/LINGO软件[M]. 北京：清华大学出版社 2005

附录： (1)

Min 5A1-5X1+5A2-5X2+5A3-5X3

s.t

0.005X1<=0.2

0.0045X1+0.005X2<=0.28

0.0027X1+0.003X2+0.005X3<=0.568 X1<=100 X2<=60 X3<=50 A1=100 A2=60 A3=50

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 500.0000

VARIABLE VALUE A1 100.000000 0

X1 40.000000 00

A2 60.000000 00

X2 20.000002 00

A3 50.000000 00

X3 50.000000 00

ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000000 3

3) 0.000000 REDUCED COST 0.00000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000DUAL PRICES 100.00002 1000.000000

4) 0.150000 0.000000

5) 60.000000 0.000000

6) 40.000000 0.000000

7) 0.000000 5.000000

8) 0.000000 00

9) 0.000000 00

10) 0.000000 0

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE

COEF E DECREASE

A1 5.000000 INFINITY

X1 -5.000000 INFINITY

A2 5.000000 INFINITY

X2 -5.000000 0.555556

A3 5.000000 INFINITY

X3 -5.000000 INFINITY

-5.0000 -5.0000 -5.00000 OBJ COEFFICIENT ALLOWABLE INCREAS INFINITY 0.500000 INFINITY 5.000000 INFINITY 5.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 0.200000 0.111111 0.200000

3 0.100000

4 0.150000

5 60.000000

6 40.000000

7 50.000000

8 100.000000

9 60.000000

10 50.000000 (2)

Min 5A1-5X1+5A2-5X2+5A3-5X3 st

0.0045X1<=0.28

0.0027X1+0.003X2<=0.568 X1<=100 X2<=60 X3<=50 A1=100 A2=60

0.280000 0.568000 100.000000 60.000000 50.000000 100.000000 60.000000 50.000000 0.200000 INFINITY INFINITY INFINITY 30.000006 INFINITY INFINITY INFINITY A3=50

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 188.8889

VARIABLE VALUE REDUCED COST 0

00

00

00

00

00

000

00

000

000

00

A1 100.000000 X1 62.222225 A2 60.000000 X2 60.000000 A3 50.000000 X3 50.000000 ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000000 3) 0.220000 4) 37.777775 5) 0.000000 6) 0.000000 7) 0.000000 0.00000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000DUAL PRICES

1111.111206 0.000 0.0000 5.000 5.000 -5.0000 8) 0.000000 -5.000000

9) 0.000000 -5.000000

NO. ITERATIONS= 1

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE

COEF E DECREASE

A1 5.000000 INFINITY

X1 -5.000000 INFINITY

A2 5.000000 INFINITY

X2 -5.000000 INFINITY

A3 5.000000 INFINITY

X3 -5.000000 INFINITY

RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE

RHS SE DECREASE

2 0.280000 0.280000

3 0.568000 0.220000

ALLOWABLE INCREAS INFINITY 5.000000 INFINITY 5.000000 INFINITY 5.000000 RIGHTHAND SIDE ALLOWABLE INCREA 0.170000 INFINITY 4 100.000000 INFINITY 37.777775

5 60.000000 73.333336 60.000000

6 50.000000 INFINITY 50.000000

7 100.000000 INFINITY 100.000000

8 60.000000

9 50.000000

60.000000 50.000000 INFINITY INFINITY

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