财大概率论复习答案练习题解答

练习一

一、填空（3×5分，将正确答案填在横线上）

1．若A B，A C，P(A) = 0.9，P(B∪C) = 0.8，则P(A － B C) = ．

解 A BC,P(A BC) P(A) P(BC) 0.9 [1 P(B C)] 0.7

．

(ni{,}XY0)2．设X、Y为随机变量,已知P(X 0,Y 0) 2，则Pm

5

解 P(min{X,Y} 0) 1 P(min{X,Y} 0) 1 P(X 0,Y 0)

3．设X ～ U（0 ，2），则Y = X

y 0时,FY(y) P(X

2

2

的概率分布密度为

．

y) P( X

fX(x)dx; y 0时,FY(y) 0

y

4

fXy 0,y 0 [ y 0解fY(y) 0 ,y 0

0 ,y 0 0 ,y 0

4．设（X ，Y）～ N ( 1

， 2， 1，

2

2

222

，0) ，则 E(X

2

Y) =

2 ．

解 因(X,Y)~N( 1, 2, 1, 2,0),且 0,所以X,Y独立；

E(XY) E(X)E(Y) [D(X) (EX)][D(Y) (EY)] ( 1 1)(

2

）5．已知随机变量X ～ N（ ，，则由切比雪夫不等式，P X

2222222222

2)

2

3

．

解 P X 3

1

DX(3 )

2

1

9

22

89

二、选择（4×4分，将正确答案的编号填在横线上）

1．设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则 ． ① P(A B) = P(C) ② P(A) ＋ P(B) ≤ P(C) ③ P(A) ＋ P(B) － P(C) ≥ 1 ④ P(A) ＋ P(B) － P(C) ≤ 1

解 C AB,P(C) P(AB);P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(C) 1。选4

2．设X1 和X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x) 和f2(x) ，分布函数分别为F1(x) 和F2(x) ，则 ． ① f1(x) ＋ f2(x) 必为某一随机变量的概率密度 ② F1(x)F2(x) 必为某一随机变量的分布函数

③ f1(x)f2(x) 必为某一随机变量的概率密度 ④ F1(x) ＋ F2(x) 必为某一随机变量的分布函数

解

[f1(x) f2(x)]dx 2 1;lim[F1(x) F2(x)] 2;

x

f1(x)f2(x)dx 1,如f1 f2;选2

3．设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则下列结论正确的是 ． ① P(X ＋ Y ≤ 0) =

1212

② P(X ＋ Y ≤ 1) =

1212

③ P(X － Y ≤ 0) = ④ P(X － Y ≤ 1) =

= 1

解 X Y~N(1,2)关于x 1对称;选2

4．设随机变量X与Y的相关系数 满足 得 ．

，则必存在常数a ≠ 0和b使

① Y = a X ＋ b ② P(Y = a X ＋ b) = 0 ③ P(Y ≠ a X ＋ b) = 0 ④ P(Y ≠ a X ＋ b) = 1

解 1 P(Y aX b) 1;选3

三、计算（8×8分）

1

(x 2)， 2 x 0 4 1

1．已知连续随机变量X的密度为f(x) = ， cosx，0 x

2 2

0，其它

（1） 求X的分布函数；（2） 求P｛－1 ＜ X ＜ 1｝．

0 ,x 2

x

2(t 2)/4dt , 2 x 0

f(t)dt 0

x

(t 2)/4dt cost/2dt,0 x /2 20

1 ,x /2

解 (1) F(x)

x

0 ,x 2 (x 2)2/8 , 2 x 0

(1 sinx)/2 ,0 x /2 1 ,x /2

(2) P( 1 X 1) F(1) F( 1) 或 P( 1 X 1)

1 sin1

2

10

18

3 4sin1

8

0 1

(x 2)/4dx

cosx/2dx

2．设顾客在某银行的窗口等待的时间（单位：分）X ～ exp(5) ，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开． 他一个月要到银行5次，以Y表示一个月中他未等到服务而离开的次数，试求Y不小于1的概率．

解 设顾客未等到服务离开为A,则 P(A) P(X 10) Y~B(5,e

50

10

5e

5x

dx e

50

),P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C5(e

0 50

)(1 e

0 50

)

5 0

y x，0 x 1

其它

3．设二维随机变量（X ，Y）的联合概率密度为p(x ，y) = 求E X 、E Y 、D X 、D Y及Cov(X ，Y) ．

解 EX EY EX EY

2

1， 0，

，

10

10

dx

x

x x

x 1dy

10

2xdx 2/3

2

dx

10

10

xx

y 1dy 0x 1dy y 1dy

222

dx dx

2

2

xx x

1010

2xdx 1/22x/3dx 1/6

3

3

DX EX E(XY)

(EX)

10

1

2211 () , DY 2386

dx

x x

xy 1dy

10

2xdx 0, cov(X,Y)=0

4．设二维连续随机变量（X ，Y）的联合密度函数为

24(1 x)y，0 y x 1

p(x ，y) = ，试在0 ＜ y ＜ 1时，求 E(XY y) ．

0，其它

1

2 24(1 x)ydx,0 y 1 12y(1 y),0 y 1

解 FY(y) f(x,y)dx y=

0 , 其它 0 , 其它

2(1 x)

,y x 1f(x,y)

f(x|Y y) (1 y)2

fY(y) 0 , 其它

1

E(X|Y y)

xfX(x|Y y)dx

1y

2x(1 x)(1 y)

2

dx

2(1 y)

2

(

1 y2

2

1 y3

3

)=

1+2y3

5．甲、乙相约9：10在车站见面．假设甲、乙到达车站的时间分别均匀分布在9：00 ～ 9：30及9：10 ～ 9：50之间，且两人到达的时间相互独立．求甲、乙两人到达的时间相差不超过10分钟的概率．

1 ,0 x 30,10 y 50

解 (X,Y)的联合分布 f(x,y) 1200

0 , 其它 P(X Y 10)

11200

x y 10

f(x,y)dxdy(10 40)30

2

13

]

=[1200

1002

6．已知一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成．在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.2 ，为了使整个系统起作用，至少需有85个部件正常工作．求整个系统工作正常的概率．

（附： (1.25) = 0.8944 ， (0.3125) = 0.6217）

近似

解 设X为正常工作的部件数,则X~B(100,0.8)~N(80,16) P(X 85) 1 F(85) 1 (

85 80

4

) 1 0.8944 0.1056

7.设（X,Y）在0 x 1,0 y 1上服从均匀分布，求Z=X+Y的分布。

解 z 0,FZ(z) 0, 0<z 1,FZ(z) 1 z 2,FZ(z) 1

(2 z)

2

z

2

2

,

2

z ,0 z 1

fZ(z) FZ (z) 2 z,1 z 2

0 , 其它

,z 2,FZ(z) 1

四、证明（5分）

1．设0 ＜ P(B) ＜ 1 ，P(A∣B) ＋ P(A

证 由 1=P(A|B)+P(A|B)

P(AB)P(B)

|B)= 1 ，试证明A与B独立．

+

P(A B)1 P(B)

=

P(AB) P(B)P(AB) P(B)[1 P(A B)]

P(B)[1

P(B)]

=

P(AB) P) P(B) P(A)P(B) [P(B)] P)

P(B)[1 P(B)]

2

=1

P(AB) P(A)P(B)P(B)[1 P(B)]

所以

P(AB) P(B)P(A)P(B)[1 P(B)]

0 即 P(AB) P(A)P(B)；A,B独立.

练习二

一、填空题(共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在题中的横线上)

1．设A, B是任意两个随机事件，则P{(A B)(A B)(A B)(A B)}

解 (A B)(A B)=B,(A B)(A B) B,所以 原式=P( ) 0

2．随机变量X服从区间 [1，4]上的均匀分布，则P( 0<X<3) = .

解 P(0 X 3)

3 14 1

23

3. 设随机变量X服从参数为 的泊松（Poisson）分布，且已知E [(X 1) (X 2)] = 1，则 = 。

解 由 E[(X 1)(X 2)] EX 得

2

2

3EX 2

2

3 2 1

2 1 0 1

4．对于随机变量X，仅知其E（X）= 3，D（X）= 1/25，则可知

P{X 3 2}

1/252

2

解 P(X 3 2) 1 0.98

5、设随机变量X服从参数为(2, p)的二项分布，随机变量Y服从参数为(3, p)的二项分布，若

P{X 1}

59

，则P{Y 1} =

2

解 由 P(X 1) 1 P(X 0) 1 (1 p) 5/9,得1-p 2/3 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 p) 19/27

1

3

6. 设随机变量X~ (x), (x)

(1 x)

2

，则Y=2X的概率密度是

解 fY(y) fX(y/2)(y/2) y

2

(4 y)

2

二、单选题 ( 共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出了四个备选答案，其中有

一个符合题目要求，请选出正确答案并将其序号填入题干的括号内)

1. 下列命题中，真命题为 （ ）

A. 若 P（A）=0 ，则 A为不可能事件 B.若A,B互不相容，则P（A

B）＝1

C.若 P(A)=1，则A为必然事件 D.若A,B互不相容，则 P(A)=1-P(B)

解 A,B互斥,则AB ,AB A B,选B

2．甲，乙同时向某目标各射击一次，命中率为1/3和1/2。已知目标被击中，则它由甲命中的概率（ ）

A. 1/3 B. 2/5 C. 1/2 D. 2/3

解 设A,B分别为甲,乙命中,则P(A|A B)

P[A(A B)]P(A B)

1/3

1/3 1/2 1/6

12,选C

3．事件A,B若满足P（A）＋P（B）>1，则A与B一定（ ）。 A. 不相互独立 B. 相互独立 C. 互不相容 D. 不互斥

解 若A,B互斥,P(A B) P(A) P(B) 1,选D

4．下列函数中可以为分布密度函数的是 （ ）

1

A. f(x)＝ 1 x2

0

x 0其它

B. F(x)＝

sinx 0

x 〔0, 〕其它

e－（x－a)

C. f(x)＝

0

0

x a其它

x3

D. f(x)＝

0

1 1

3

－1 x 1其它

dx1+x

2

2

1, sinxdx 2,

a

e

(x a)

dx 1,

xdx 0,选C

3

2

5. 设离散型随机变量的分布列为下表，其分布函数为F(x),则F

解 (- , 1),F(x) 0;[ 1,0),F(x) 0.1;[0,1),F(x) 0.3;[1,2],F(x) 0.6;x 2,F(x) 1.选C

6. ～N（0,1）， ＝2 －1，则 ～（ ）

A. N(0,1) B. N(－1,4) C. N（－1,3） D. N（－1,1）

解 X~N( , )则aX B~N(a b,(a )),选B

2

2

7. 设随机变量X服从正态分布N( , （ ）

A. 单调增大

B. 单调减少

2

),

则随 的增大，概率P{X }应该

C. 保持不变

D. 增减不变

解 P(X )=F( ) F( ) (1) ( 1),选C

8. 设X1,

f1(x)

X

2

是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则（ ）。

必为某一随机变量的概率密度，

和

f2(x)

A. B.

f1(x) f2(x)F1(x)F2(x)

必为某一随机变量的分布函数， 必为某一随机变量的分布函数，

C.F1(x) D.

F2(x)

f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度。

解 选B

9. 设随机变量X的密度函数为 (x)，且 ( x) = (x)，F (x)是X的分布函数，则对任意实数

a，有（ ）。

A. F( a) 1 (x)dx， B.F( a) 0 (x)dx，

02C. F ( a) = F (a)， D.F ( a) = 2F (a) 1。

解 ( x) (x),则

a0

a

aa

(x)dx (x)dx,F(0) 0.5,选B

10. 设随机变量X与Y均服从正态分布，X ~ N ( , 42) , Y ~ N ( , 52)，记p1 = P{X 4} , p2

= P{Y + 5}，则（ ）。

A 对任何实数 ，都有p1 = p2， B 对任何实数 ，都有p1 < p2， C 只对 的个别值，才有p1 = p2， D 对任何实数 ，都有p1 > p2。

解 P(X 4) FX( 4) ( 1),P(Y 5) 1 FY( 5) 1 (1) ( 1),选A

三、计算题 ( 共6小题，每小题9分，共54分。解答应写出必要的文字说明、相应的

公式、演算步骤或过程 )

1. 甲、乙、丙三个厂生产同一型号的产品，其产品分别占总产量的25%、35%、40%，各个厂的次品率分别为5%、4%、2%，今将三个厂的产品堆放在一起，并从中任取一件，求下列事件的概率：（1）取得次品；（2）取得次品是甲厂生产的；（3）若取到的产品不是丙厂生产的，则取到的是甲厂生产的。

解 (1) 设产品是甲、乙、丙厂生产分别为A1,A2,A3,产品是次品为B,则 P(B) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3) 3.45%

(2) P(A0.25 0.051|B)

P(A1B)P(B)

3.45%

2569

36.23%

(2) P(AP(A1A3)0.251|A3)

P(A3)

0.25 0.35

512

41.67%

2. 已知随机向量 X,Y 的联合概率分布为

（1）求X,Y的边缘分布；（2）判断X与Y是否独立; （3）P(X

Y)。

解 (1)如上表. (2) P(X 1,Y 0) 0 P(X 1)P(Y 0)，不独立； (3) P(X Y) P(X 1,Y 1) P(X 1,Y 1) 0.1 0.3 0.4

3．假设随机变量Y服从参数为 = 1的指数分布，随机变量X若Y kk

0,

1,

若Y k

= 1, 2)，

（1）求X1和X2的联合概率分布；（2）求E (X1 + X2 )。

1解 P(X1 0,X2 0) P({Y 1}{Y 2}) P{Y 1}

x

e

dx 1 e

1

P(X1 0,X2 1) P({Y 1}{Y 2}) P( ) 02 P(X 1

1 1,X2 0) P({Y 1}{Y 2}) P{1 Y 2}

1

e

x

dx e

e

2

P(X1 1,X2 1) P({Y 1}{Y 2}) P{Y 2}

e

x

2

2

dx e

E(X1

X2)

EX 1

2

1 EX2

1 e 1 e

1

e

2

e

法二：

(k

E(X1 X2) 0 (1 e

1

) 1 (e

1

e

2

e

2

) 2 e

2

e

1

,

x a a x ax a(a 0)

4．设连续随机变量X的分布函数为

0

F（x）= A Barcsin

1

xa

,

,

试求：

（1）A和B取何值时分布函数是连续的； （2）随机变量X的概率密度；

（3）方程t

2

Xt

a

2

16

0

有实根的概率.

2

1

解 (1) 由连续性得 A B

2

1,A B 0 解得 A 1/2,B

;

(2) f(x) 1/( x a

(3) P(X

2

4 a/16 0)

P(X a/2) P(X a/2)

1 F(a/2) F( a/2)

13 23

2

1

0.5 arcsin(1/2)/ 0.5 arcsin( 1/2)/

1

5.设随机变量

X服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为：

3e 3x

fX(x)

0

x

0x 0

试求Y

2X

2

的概率密度函数与数学期望。

2

解 因为x 0时y 2x单调,所以 fY(y) fX EY

xe

3x

y 3e

/(e

3x

y 0dx 4

9

0

2x 3e

2 3x

dx 2xe

2 3x

|0

4

0

3x

dx 4xe|0 4

33

6. 随机掷6颗骰子，用切比雪夫不等式估计6颗骰子点数之和大于14小于28

的概率至少是多少。

解 设Xi为第i枚骰子点数,Y为6枚骰子点数之和,则

6

EY DY

i 16

EXi 6EXi 6

2

2

1 2 3 4 5 6

6

2

2

2

2

21,

7235 ()] 622i 1

35/259

P(14 Y 28) P(y 21 7) 1 1 2

71414

DXi 6 [

1 2 3 4 5 6

四、应用题（共1小题８分。解答应写出必要的文字说明、相应的公式、演算步骤或过程 ）

1.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱的平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量5吨的汽车承运，试利用中心极限定

理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977（Φ（2）=0.977，其中Φ（x）是标准正态分布函数）

n

解 设Xi为第i箱重量,Yn每车装n箱重量,则 Yn

2

i 1

Xi. EYn nEXi 50n(千克),

近似

DYn nDXi 5n,由中心极限定理,当n很大时

,Yn~N(50n,25n)

由

P(Yn 5000) F(5000) 0.977

查表得5000 50n

2,解得 n 98.0199(箱) 5000 50n

n<111单调减少）

（ (x)单调增加

练习三

一、填空题(共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在题中的横线上)

1．设A，B为两个随机事件，P A 0.6，P A B 0.2，则P AB _________

解 P(A B) P(A) P(AB) 0.2 P(AB) 0.4;P(AB) 1 P(AB) 0.6

2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为

解 记A为两件均为次品,B至少一件次品,则 P(A|B)

P(AB)P(B)

=

C4/C10

(C6C4 C4)/C10

1

1

2

2

2

2

15

3. 设随机变量 X服从N 1，4 ,则 P X 1 0 __________

解 P(X 1 0) F( 1) (0/2) (0) 1/2

1

4．随机变量X服从参数为的指数分布, 则 E (2X + 1) =

3

解 E(2X 1) 2EX 1 2(1/ ) 1 2 3 1 7

5. 设随机变量

P X u 2

X的数学期望为EX u、方差DX

2

，则由切比雪夫不等式估计

。

2

解 P(X 2 ) /(2 ) 1/4

2

6. 设二维随机变量 X，Y 的联合分布律为

则 a _____1/4_____，b ___1/6______。

解 p1. 1/4 a 1/2 a 1/4;由1/4 a b 1/3 1 b 1/6

二、单选题 ( 共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出了四个备选答案，其中有

一个符合题目要求，请选出正确答案并将其序号填入题干的括号内)

1. 对事件A,B.下列正确的命题是 （ ）

A．如A,B互斥，则A，B也互斥 B. 如A,B相容，则A，B 也相容 C. 如A,B互斥,且P(A)>0,P(B)>0,则A.B独立 D.如A,B独立,则A,B也独立

解 P(AB) 1 P(A B) 1 P(A) P(B) P(A)P(B) [1 P(A)][1 P(B)];选D

2．甲，乙同时向某目标各射击一次，命中率为1/3和1/2。已知目标被击中，则它由甲命中的概率（ ）

A. 1/3 B. 2/5 C. 1/2 D. 2/3

解 设Ai为第i人命中,则目标命中为A1 A2,P(A1|A1 A2) (1/3)/(1 2/6) 1/2;选C

3. 设F1 (x)与F2 (x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F (x) = a F1 (x) b F2 (x) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。

33322

a ,b ，a ,b a ,b 。a ,b （A） （B）， （C）， （D）

5

5

3

3

2222

解 a 0,b 0,a b 1;选A

4. 设随机变量X的概率度为f x ，Y X，则Y的概率密度为（ ）。

(A) f y (B) 1 f y (C) f y (D)

f y

-1-1

解 f

Y(y)=fX[g(y)](y)] y; 选C

5.下列函数为正态分布密度的是( )。 (A

)p(x)

x x2

2

(B)p(x)

2

(2

x 1)

2

(C)p(x)

解 选C

(x )

2

(D)p(x)

x 14

2

6. 已知随机变量X服从二项分布，且EX = 2.4，DX = 1.44，则二项分布的参数n，p的值为（ ）

(A) n = 4，p = 0.6 (C) n = 8，p = 0.3

(B) n = 6，p = 0.4 (D) n = 24，p = 0.1

解 由 np 2.4,np(1 p) 1.44 1 p 0.6 p 0.4,n 6；选B

7、 设随机变量Xi

（ ）。

1

~ 1 4012114

(i = 1, 2)，且满足P{X1 X2 = 0} = 1，则P{X1 = X2}等于

（A）0， （B）1， （C）1， （D）1

4

2

解 P(X1X2 0) p0, 1 p0,0 p0,1 p 1,0 p1,0 1,则p 1, 1 p1, 1 p 1,1 p1,1 0 又p0, 1 p0,0 p0,1 1/2;p 1,0 p0,0 p1,0 1/2故p0,0 0 P(X1 X2) p 1, 1 p0,0 p1,1 0; 选A

8. 设X为一随机变量,且DX < + , Y = aX + b (a,b为常数), 则必有( ) （A） DX = DY; （B）DY = aDX （C） DY = a2DX （D） DY = a2DX + b

解 DY E[aX b E(aX b)] aE(X EX) aDX;选C

2

2

2

2

9. 设X服从N 0，4 ，则E 。 X X 2 （ ）

A. 2 B.4 C. 0 D. 1

解

2

EX

2

(EX),EX

22

2

;E[X(X 2)] EX

22

2EX

2

2 ;选B

22

10. 设X1，X2， ，Xn是n个相互独立同分布的随机变量，EXi u，

DXi 4, i 1，2，

n

则对于X

49

1n

n

i 1

Xi

，有P X u 3 （ ）。

49n

A.

解 EX

49n

B.

1n

C. 1

1n

2

n

D.

59

4/n3

2

n

1

n

EXi

nu u,DX

i 1

DXi

4n

,P

X u 3 1

;选C

i 1

三、计算题 ( 共6小题，每小题9分，共54分。解答应写出必要的文字说明、相应的

公式、演算步骤或过程 )

1、一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。

解 设A0,A1,A2分别为箱中有0,1,2个次品,B为通过检验,则 P(A0|D)

P(A0D)P(D)

P(A0)P(D|A0)

P(A0)P(D|A0) P(A1)P(D|A1) P(A2)P(D|A2)

(1/3) 1

(1/3)(C100 C99 C98)/C100

10

10

10

10

C100

C100 C99 C98

10

10

10

10

2. 将2个球随机地放入3个盒子，设X表示第一个盒子内放入的球数，Y表示有球的盒子个数。求二维随机变量 X，Y 的联合概率分布。

解 X可取0,1,2;Y可取1,2;P(X 0,Y 1) C2/3,P(X 0,Y 2) P2/3, P(X 1,Y 1) 0,P(X 1,Y 2) C2P2/3,P(X 2,Y 1) 1/3, P(X 2,Y 2) 0;

1

1

2

2

1

2

2

2

3．设随机变量X的概率密度

c(4x 2x2), 0 x 2

f(x)

0, , 其它

求 （1）常数c；（2）P（X > 1）.

解 (1) 由 c(4x 2x)dx c(2x

02

2

2

23

38

x)|0 (2x

2

32

8323

c 1 得 c x)|1 1

3

2

38 12

(2) P(X 1)

38

21

(4x 2x)dx

2

12

4、设随机变量X服从参数为2的指数分布，随机变量Y 1 e 2X，求Y的概率密度函数。

解 由y 1 e

2x

得x ln 1 y /2,x y 1/(2 2y)

2[ ln(1 y)/2]

fY(y) fX[ ln(1 y)/2]1/(2 2y) 2e

/2 2y 1,0 1 y 1均匀分布

5、设随机变量的概率密度分布为：

2e

fX(x)

0,

2x

,x 0x 0

4e

fY(y)

0,

4y

,y 0y 0

求 E(X Y) ,E(2X 3Y2)

解 E(X Y) EX EY 1/2 1/4 3/4

E(2X 3Y) 2EX 3[DX (EY)]

2 (1/2) 3(1

/16 1/16) 5/8

2

2

6、一大批种子中良种占1/6，利用切比雪夫不等式估计在任意选出的6000粒种子中良种所占的比例与1/6比较上下不超过1%的概率。

近似

解 设X为6000粒种子中良种数,则X~B(6000,1/6)~N(1000,400) P(X/6000 1/6 1%) P

2 (3) 1 1

四、应用题（共1小题８分。解答应写出必要的文字说明、相应的公式、演算步骤或过程 ）

用机床制造大小相同的零件，由于随机误差每个零件的重量（单位：千克）在（0.95，1.05）上均匀分布。设每个零件重量相互独立。试求制造1200个零

件，问总重量大于1202kg的概率是多少？（Φ（2）=0.977，其中Φ（x）是标准正态分布函数）

解 设Xi为第i个零件重,则EX 1,DX (1.05 0.95)/12 0.1/12

1200

近似

2

2

Xi~N(1200EXi,1200DXi) N(1200,1)

i 1

1200

P( Xi 1202) 1 F(1202) 1 i 1

0.023

练习四

一、填空题（每小题2分，共1６分） 1 三个人能独立地破译密码的概率分别为

115

,

4

,

13

，此密码能被译出的概率为__________

解 设Ai为第i人破译密码，A为密码被破译,则A A1 A2 A3 P(A) 1 P(A) 1 P(A1A2A3) 1 (4/5)(3/4)(2/3) 3/5

２ 设事件A发生的概率为 . 则在三次实验中，事件A 恰好发生两次的概率为__________.

解 X为A发生次数,则X~B(3, );P(X 2) C3 (1 )

2

2

3 已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，那么P(AB)=______,P(A B)=______.

解 P(AB) P(A B) P(A) P(B) 0,P(AB) 1,P(AB) P(A B) 0.2

4 设随机变量X在区间[1,3]上服从均匀分布，则P（1.5<X<4.5）__________.

解 P(1.5 X 4.5)

31.5

12

dx

1.52

34

5 已知随机变量 ~N(3,16)，且P( c) P( c)，则c ________。

解 P( c) P( c) P( c) F(c) 0.5 c 3

6

x 1 0

0.3 1 x 1

设随机变量X的分布函数为：F(x) 则P（X=1）=0.61 x 2 1x 2

解 P(X 1) P(X 1) P(X 1) F(1) F(x)(x 1) 0.6 0.3 0.3

7 设随机变量X与Y相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，

则E（XY）=

解 E(XY) EX EY 1 3 3

8 设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=1，D(Y)=2，则解 D(2X Y) 2DX ( 1)DY 4 2 6

2

2

二、单项选择题（每小题３分，共１５分）

1 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 _______________ （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B）“甲、乙两种产品均畅销”

（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”

解 设B甲畅销C乙滞销，则A=BC=B C;选D

2 设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ）

（A）P(A B)=P(A)+P(B)（B）P(AB)=P(A)P(B) （C）A=B（D）P(A|B)=P(A)

解 P(AB) 0;选A

３ 设离散型随机变量X的分布律为：P(X k) b (k 1,2 ),且b 0，则 为（ ）。 (A)

1b 1

k

； (B)

b 1

1b 1

； (C) b 1； (D) 大于零的任意实数。

1b 1

解 由 b =

k 1

k

1,解的 ;选A

4 设F（x）和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有（ ） （A）f(x)单调不减（B）

解 选C

1,事件A发生；

0,事件A不发生，

100

F(x)dx 1（C）F（-∞）=0 （D）F(x)

f(x)dx

5设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi= i=1，2， ，100，且

P(A)=0.8,X1,X2, ,X100相互独立。令Y=

i 1

X

i

，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)

近似于（ ） （A）Ф(y)

近似

（B）Ф

(

y 804

)

（C）Ф(16y+80) （D）Ф

(4y+80)

解 Y~N(100p,100pq) N(80,16),FY(y) 选B

三、计算题（１小题６分，其余每小题9分，共51分） 1 20个学生排成一列，求其中甲位于首位的概率？

解 P19/P20 1/20

2 医学上用某方法检验“非典”患者，临床表现为发热、干咳，已知人群中既发热又干咳的病人患“非典”的概率为5%；仅发热的病人患“非典”的概率为3%；仅干咳的病人患“非典”的概率为1%；无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率为0.01%；现对某疫区25000人进行检查，其中既发热又干咳的病人为250人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，试求：(1)该疫区中某人患“非典”的概率；(2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率

解 设A为发热,B为干咳,D为患非典,则

(1) P(D) P(AB)P(D|AB) P(AB)P(D|AB) P(AB)P(D|AB) P(AB)P(D|AB)25000250002500025000

(2) P(AB|D) P(AB)P(D|AB)/P(D) 0.06/0.1593 0.3766, 1x A(1 x)

3 设连续型随机变量 的密度函数为 f(x)

0,其它

1

3%

500

1%

1000

5%

250

0.01%

23250

0.1593%

求：（１）常数A （２）X的分布函数F(x) （３）P 0.5 （４）E(

1 1

2

1)

解 (1) 由

A(1 x)dx 2A 1 A

12

;

(2) F(x)

x

0 ,x 1 0 ,x 1

2 x (1 x)

f(t)dt (1 t)/2dt , 1 x 1 , 1 x 1

1

4

1 ,x 11 ,x 1

2

2

(3) P( 0.5) F(0.5) F( 0.5) (1.5 0.5)/4 1/2(4) E(

2

1)

1 1

(x 1)(1 x)/2dx

2

10

(x 1)dx

2

13

1

2 3

4 对球的直径X作近似测量，设其值在区间[a,b]上均匀分布， 求球体积V的概率密度.

（球体积V

3

43

(

X2

)）

3

解 由 v x/6 得 x fV(v) fX/

1/xv

33

a b

v 660 , 其它

５ 设随机变量X在区间 [－1，3] 上服从均匀分布，记Xk =

1，X k 0，X k

（k = 1 ，2）．（1）

求（X1 ，X2）的联合分布；（2） 判断X1 与X2 是否相互独立？

解 (1) P(X1 0,X2 0) P(X 1,X 2) P(X 2) (3 2)/4 1/4

P(X1 0,X2 1) P(X 1,X 2) P(1 X 2) (2 1)/4 1/4P(X1 1,X2 0) P(X 1,X 2) P( ) 0,

P(X1 1,X2 1) P(X 1,X 2) P(X 1) [1 ( 1)]/4 1/2(2) P(X1 1) 1/2 p1.;P(X2 0) 1/4 p.0;p1. p.j 0 p1,0不独立

６ 设二维随机向量(X,Y)的联合分布列为

(1)求（X，Y）关于X，Y的边缘分布列； (2)X与Y是否相互独立；

解 (1)如表； (2) p0,0 1/4 (1/2) (13/24) p0. p.0不独立

四、应用题（1０分）

设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量，其数学期望是10千克，方差为0.2千克2，求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率。（ (2.236) 0.9871）

解 设Xi为第i袋重,则EXi 10,DXi 0.2,再设X为100袋重,则

100

近似

X

i 1

Xi~N(1000,20); P(990 X 1010) 2 1 2 0.9871 1

五、证明题（共８分）

设0 ＜ P(B) ＜ 1 ，P(A∣B) ＋ P(A|B) = 1 ，试证明A与B独立．

解 P(A|B) P(A|B)

[1 P(B)]P(AB) P(B)[1 P(A B)]

P(B)[1 P(B)]

1

P(AB) P(A)P(B)P(B)[1 P(B)]

练习五

一、填空题（每小题2分，共1６分）

１ 设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件

1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生____ABC ABC ABC_______ 3）A、B、C 不多于一个发生__AB BC AC_________

（BA）=0.8，则P（B A）2 设 A、B为随机事件， P(A)=0.5，P(B) 0.6，P=_____

解 P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B|A) 1.1 0.4 0.7

3 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行,恰好排成英文单词SCIENCE的概率为_____

解 基本事件总数=7!/ 2!2! ,概率p=4/7!

4 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，

则它是由甲单独射中的概率为_______________

解 设A,B分别为甲、乙命中,则P(A|A B) P(A)/[P(A) P(B) P(A)P(B)] 3/4

x 0; 0,

1

,0 x 1; 2

F（x）= , 则

2

,1 x 3; 3 1,x 3,

5 设随机变量X的分布函数P（X=1）=___________

解 P(X 1) P(X 1) P(X 1) 2/3 1/2 1/6

6 设离散型随机变量X的分布律为：P(X k) 2A(k 1,2 ),则A＝________

k

解 由 2A

k 1

k

2A1 A

=1,解得A=1/3

7

则常数a=___________.

解 由 pij 1 a a/6 5/6 得 a a 1 0,a ( 1

i,j

2

2

/2

8 设随机变量X~B(3,0.1)，则Y 2X 1的数学期望为.

解 E(2X 1) 2EX 1 2(3 0.1) 1 1.6

.二、单项选择题（每小题３分，共１５分）

1 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）

解 A B,则A B=A, AB B,B A ,P(B|A) P(B)/P(A);选A

2 设随机变量X～B（4，0.2），则P｛X>3｝=（ ）

（A） 0.0016 （B） .0272 （C） 0.4096 （D） 0.8192

解 P(X 3) P(X 4) 0.2;选A

4

3 设随机变量X的概率密度为f(x)，则f(x)一定满足（ ） （A）0≤f(x)≤1

解 选C

（B）P{X x}

X

f(t)dt

（C）

f(x)dx 1 （D）f(+∞)=1

4

则P{+=0}=（ ）

（A）0.2 （

B）0.3 （C）0.5 （D）0.7

解 P(X Y 0) P(X 0,Y 0) P(X 1,Y 1) 0.3 0.2 0.5;选C

5 则D（X）＝（ ） （A）0.21

2

（B）0.6

2

（C）0.84

2

（D）1.2

解 DX 2 0.7 3 0.3 (2 0.7 3 0.3) 0.21,选A

三、计算题（１小题６分，其余每小题9分，共51分）

１．设某玻璃制品第一次落地时被打破的概率为0.1，第二次落地时被打破的概率为0.4，第三次落地时被打破的概率为0.9，求该制品在三次落地过程中被打破的概率。

解 设Ai为第i次落地打破,B为三次落地打破,则B A1 A1A2 A1A2A3

P(B) P(A1) P(A1)P(A2|A1) P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 0.1 0.9 0.4 0.9 0.6 0.9

２．加工某种零件，如生产情况正常，则次品率为3%，如生产情况不正常，则次 品率为20%，按以往经验，生产情况正常的概率为80% （１） 任取一只零件，求它是次品的概率.

（２） 已知所制成的一个零件是次品，求此时生产情况正常的概率

解 设生产正常为A,取次品为B,则B AB AB (1) P(B) 0.8 3% 0.2 20% 6.4%; (2) P(A|B)

P(A)P(B|A)

P(B)

0.8 3%6.4%

3 8

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