2013年高考数学总复习 10-7二项式定理 理 新人教B版.doc

8

10-7二项式定理(理)

基础巩固强化

1.若(x 2

＋1)(2x ＋1)9

＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2

＋…＋a 11(x ＋2)11

，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋

a 11的值为( )

A ．2

B ．－1

C ．－2

D ．1

[答案] C

[解析] 令x ＋2＝1，则x ＝－1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)×(－2＋1)9

＝－2，故选C.

2．(2011·烟台月考)如果(3x －

1

3

x 2

)n

的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中

1

x 3

的系数是( )

A ．7

B ．－7

C ．21

D ．－21

[答案] C

[解析] ∵2n

＝128，∴n ＝7， ∴T r ＋1＝C r

7(3x )

7－r

·(－

1

3

x 2

)r

＝(－1)r ·37－r ·C r

7·x 7－5r

3

，令7－5r 3＝－3得r ＝6，

∴1x

3的系数为(－1)6·3·C 6

7＝21.

3．(2012·山西联合模拟)设f (x )＝(2x ＋1)6，则f (x )的导函数f ′(x )展开式中x 3

的系数为( )

A ．960

B ．480

C ．240

D ．160

[答案] A

[解析] ∵f (x )＝(2x ＋1)6

，∴f ′(x )＝12(2x ＋1)5

，其展开式中含x 3

的项为T 3＝12·C 2

5

(2x )

5－2

＝12×23×10x 3＝960x 3

，系数为960.

4．若(x ＋1)2n

的展开式中，x 的奇次项系数和与(x ＋1)n

展开式的各项系数和的差为480，则(x ＋1)2n

的展开式中第4项是( )

A ．120x 4

B ．210x 4

C ．120x 7

D ．210x 6

[答案] C

[解析]由题意得22n－1－2n＝480，即22n－2·2n－960＝0，(2n－32)(2n＋30)＝0，∴2n＝32.∴n＝5，从而(x＋1)2n＝(x＋1)10，它的展开式中第四项为T4＝T3＋1＝C310x10－3·13＝120x7.故选C.

5．(2012·陕西礼泉一中期末)在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )

A．第11项B．第13项

C．第18项D．第20项

[答案] D

[解析](1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数为C45＋C46＋C47＝C15＋C26＋C37＝5＋

6×5

2

＋

7×6×5

3×2

＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n＝－2＋3(n －1)＝3n－5，令a n＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D.

6．在(x＋

1

3

x

)24的展开式中，x的幂指数为整数的项共有( )

A．3项B．4项

C．5项D．6项

[答案] C

[解析]展开式第r＋1项T r＋1＝C r24(x)24－r·

?

?

?

?

?

?

1

3

x

r

∵12－

5r

6

为整数，0≤r≤24且r∈N，

∴r＝0,6,12,18,24，故选C.

7．(2011·广东理)x(x－

2

x

)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答) [答案]84

[解析]x4的系数，即(x－

2

x

)7展开式中x3的系数，

T r＋1＝C r7·x7－r·(－

2

x

)r

＝(－2)r·C r7·x7－2r，

令7－2r＝3得，r＝2，

∴所求系数为(－2)2C27＝84.

8

8 8．若(2x 2－1x

3)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n ＝________. [答案] 5

[解析] T r ＋1＝C r n (2x 2)n －r ·(－1x 3)r ＝(－1)r ·2n －r ·C r n x 2n －5r ，令2n －5r ＝0，得r ＝2n 5， ∵r ∈Z ，故最小的正整数n ＝5.

9．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________.

[答案] 5

[解析] 法1：令x ＝－2得a 0＝－1.

令x ＝0得27＝a 0＋2a 1＋4a 2＋8a 3.

因此a 1＋2a 2＋4a 3＝14.

∵C 03(2x )3·30＝a 3·x 3.

∴a 3＝8.

∴a 1＋2a 2＋3a 3＝14－a 3＝6.

∴a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6＝5.

法2：由于2x ＋3＝2(x ＋2)－1，故(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3

＝8(x ＋2)3－4C 13(x ＋2)2＋2C 23(x ＋2)－1，

故a 3＝8，a 2＝－12，a 1＝6，a 0＝－1.

故a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6－24＋24＝5.

10．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．

[答案] 7

[解析] C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7.

能力拓展提升

11.(2012·山西六校模拟)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )

A ．(－∞，15

) B ．[45，＋∞) C ．(－∞，－45

] D ．(1，＋∞) [答案] D

[解析] 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x

9－r ·y r .依题意有????? C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，

xy <0.由此得????? x 8·1－x －4x 7·1－x 2≤0，x 1－x <0.由此解得

8

x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)，选D.

12．(2012·河南豫东、豫北十所名校联考)已知n ＝∫e 611

x d x ，那么(x －3x

)n 展开式中含

x 2项的系数为( )

A ．125

B ．135

C ．－135

D ．－125

[答案] B

[解析] n ＝∫e 611x d x ＝ln x |e 61＝6，(x －3x )6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r

(－3x

)r ＝C r 6(－

3)r x

6－2r

，令6－2r ＝2得r ＝2，则x 2项的系数为C 26(－3)2

＝135.

13．已知a 、b 为常数，b >a >0，且a 、－32

、b 成等比数列，(a ＋bx )6

的展开式中所有项的系数和为64，则a 等于( )

A ．－12

B.12 C ．－1 D.32

[答案] B [解析] 由a 、－

32、b 成等比数列得ab ＝34

， 由(a ＋bx )6

展开式中所有项的系数和为64得 (a ＋b )6

＝64，

∴?????

b >a >0，

ab ＝34，

a ＋b

6

＝64，

∴?????

3

4a >a >0，a ＋3

4a ＝2.

∴a ＝1

2

.

14．在(x 2－13

x

)n

的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是

________．

[答案] 7

[解析] 由条件知n ＝8，∴T r ＋1＝C r

8(x

2

)

8－r

·(－

1

3

x

)r

8 令8－4r 3

＝0得，r ＝6， ∴展开式的常数项为(－1)6·2

6－8·C 68＝7. 15．已知(12

＋2x )n . (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

[解析] (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，

∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.

当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，

∴T 4的系数＝C 37(12)423＝352

， T 5的系数＝C 4

7(12

)324＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.

∴T 8的系数＝C 714(12

)727＝3432. (2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，可得n ＝12，设T k ＋1项的系数最大．

∵(12＋2x )12＝(12

)12(1＋4x )12， ∴????? C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4

∴展开式中系数最大的项为T 11.

T 11＝(12

)12C 10

12410x 10＝16896x 10. 16．(2012·厦门质检)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．

8 (1)试用组合数表示这个一般规律； (2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；

(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是

3

45，并证明你的结论．

[解析] (1)C r n ＋1＝C r n ＋C r －1n .

(2)第n ＋1行数是(1＋1)n 的展开式，∴第n 行前(包括第n 行)各数之和为1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.

(3)设C r －1n

C r n C r ＋1n ＝345， 由C r －1n C r n ＝34，得r n －r ＋1＝34

， 即3n －7r ＋3＝0.①

由C r

n C r ＋1n ＝45，得r ＋1n －r ＝45

， 即4n －9r －5＝0.②

解①②联立方程组得， n ＝62，r ＝27，

即C 2662C 2762C 28

62＝34 5.

1．(2011·新课标全国理，8)(x ＋a x )(2x －1x

)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )

A ．－40

B ．－20

C ．20

D ．40

8

[答案] D

[解析] ∵(x ＋a x

)(2x －1x

)5的展开式中各项系数和为2，∴令x ＝1时，(1＋a )(2－1)

5

＝2，∴a ＝1.

∵(2x －1x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·(－1x

)r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r

，当5

－2r ＝－1或1时，r ＝3或2，此时展开式为常数项，∴展开式的常数项为(－1)3·25－3

·C 3

5

＋(－1)2

·2

5－2

·C 2

5＝40.

2．(2011·三门峡模拟)若二项式(x －2x

)n

的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的

值可能为( )

A ．6

B ．10

C ．12

D ．15

[答案] C

[解析] ∵T 5＝C 4n (x )

n －4

·(－2x

)4＝24

·

是常数项，∴

n －12

2

＝0，∴n ＝12.

3．(2012·安徽理，7)(x 2＋2)(1x

2－1)5

的展开式的常数项是( )

A ．－3

B ．－2

C ．2

D ．3

[答案] D

[分析] 由多项式乘法的运算法则知，展开式中的常数项由两部分构成，前一个因式取

x 2时，后一个因式必须含1

x

2，前一个因式取2时，后一个因式必须为常数．

[解析] 第一个因式取x 2，第二个因式取1x

2得：1×C 45(－1)4

＝5；第一个因式取2，第二

个因式取(－1)5得：2×(－1)5

＝－2，展开式的常数项是5＋(－2)＝3.故选D.

[点评] 利用展开式的通项公式求二项式中的特定项是高考考查的重点．

4．(2011·重庆理，4)(1＋3x )n

(其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5

与x 6

的系数相等，则

n ＝( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

[答案] B

[解析] 展开式通项：T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r

， 由题意：35C 5

n ＝36C 6

n 即C 5

n ＝3C 6

n ，

8 ∴n ！5！n －

5！＝3·n ！6！n －6！， ∴1n －5＝36

， ∴n ＝7.选B.

5．在(3x －23x )11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则??01x αd x ＝( )

A.16

B.67

C.89

D.125

[答案] B

[解析] 因为展开式一共12项，

6．(2011·河南开封模拟)(ax －

1x )8的展开式中x 2

的系数为70，则a ＝________. [答案] ±1

[解析] 展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(ax )8－r

7．设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式(a x －1

x )6

的展开式中含x 2项的系数是________．

[答案] －192

[解析] y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ? ????x ＋π3的最大值为a ＝2，二项式?

????2x －1x 6的展开

8 式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r

·? ????－1x r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 3－r ，令3－r ＝2，则r ＝1，∴x 2项的系数为(－1)1×25×C 1

6＝－192.

8．(2011·安徽宣城模拟)在(x －2)5(2＋y )4的展开式中x 3y 2

的系数为________． [答案] 480

[解析] (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r

(－2)r ，

令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数C 25(－2)2

＝40；

(2＋y )4的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4(2)4－r

y r ，

令r ＝2得y 2的系数C 2

4(2)2＝12，

于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/em6q.html