教案二不动点与压缩映射原理

教案二 不动点与压缩映射原理（简介）

不动点与压缩映射原理（简介）(教材：第二章 §5） 四、解方程举例

例9 用不动点方法讨论方程

(29)

的根的存在性，并用迭代法求其根． 分析：设

．由

，

，

不难用初等微积分方法获得曲线

内有唯一实根

．

的形状如下图所示,且知道方程(29)在

改用不动点方法来讨论，设 由于

，因此在

上

，

．

(30)

不满足压缩映射的条件之(i)．至于条

件之（ii），对于一元函数可用微分中值定理来检验．由于

，

，

故难以由此来确定是否满足（ii）．事实上，由 可知

在

上确实不满足定义7的(ii)．

,

解：先对原方程（29）作变形，例如把它改写成 且令

．

（31）

；

(29)ˊ

此时，由

推知

在

上递增，而当

，

时，有

，

．再由

即

又知 从而

所以，（31）式所示的点

；且由

在，恒有

，，

．

．

上为一压缩映射，它在

，迭代收敛于

中存在唯一不动

，对任一

．

显然,把方程(29)改写成(29)ˊ的做法不是唯一的．例如，再把(29)改写成 且令

(32)

(29)″

；

．

同理可以验证：在上不是压缩映射；但在更小的范围上却是

一个压缩映射．通过迭代计算

教案二

，可求得相同的不动点．

不动点与压缩映射原理（简介）

7.1 连续函数的介值性：若至少存在一点

，使

在．

上连续，且，则

7.2 二分法求根：若在区间上连续，且，．

令则，若

，，则令

．若；若

，则为的根；否

．

，则令

再将二等分为与，并使

依此无限地做下去，若每个区间则因为

为一区间套．从而存在在

连续，且

，

的中点都使

，必使

，故

．这是

7.3 牛顿切线法：设在

，

上二阶可导，且满足

．

如图所示为的一种情形．

令

．

这里，的数列

是曲线

在点

处的切线与轴的交点．如此得到

必有（证明参看本科教材）

．

7.4 如图所示，函数即满足

在上存在两个不动点：与．

．

7.5 若在区域

，

恒有

则

在

上满足李普希茨条件，即存在，使对一切

， )．

上处处连续，且一致连续(这里

证：当，且时，有

．

7.6 由于

因此

足柯西条件．

，当时，对一切自然数有．即满

7.7

．

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